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1、考點專練(四十四)
一、選擇題
1．(2012年大同調(diào)研)直線y＝kx＋2與圓x2＋y2＝1沒有公共點的充要條件是
( )
A．k∈(－，)
B．k∈(－，)
C．k∈(－∞，－)∪(，＋∞)
D．k∈(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：由直線y＝kx＋2與圓x2＋y2＝1沒有公共點可知，圓心(0,0)到直線y＝kx＋2的距離大于圓的半徑，即>1，由此解得－
2、2＝2c2(c≠0)，則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長為 ( )
A. B．1
C. D.
解析：因為圓心(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝＝＝
因此根據(jù)三角形的關系，弦長的一半就等于＝，所以弦長為.
答案：D
3．已知圓C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直線l：x－y＋3＝0，當直線l被C截得弦長為2時，則a等于 ( )
A. B．2－
C.－1 D.＋1
解析：圓心(a,2)到直線l的距離d＝，由2＋()2＝4，得a＝－1.
答案：C
4．若直線y＝x＋b與曲線y＝3－有公共點，則b的取值范圍是
3、( )
A．[－1,1＋2] B．[1－2，1＋2]
C．[1－2，3] D．[1－2，3]
解析：曲線y＝3－表示圓(x－2)2＋(y－3)2＝4的下半圓，如圖所示，當直線y＝x＋b經(jīng)過點(0,3)時，b取最大值3，當直線與半圓相切時，b取最小值，由＝2?b＝1－2或1＋2(舍)，故bmin＝1－2，b的取值范圍為[1－2，3]．
答案：C
5．已知圓C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＝8－m2(m>3)，則兩圓的位置關系是 ( )
A．相交 B．內(nèi)切
C．外切 D．相離
解析：將兩圓方程分別化為標準式
圓C1：(x
4、－m)2＋y2＝4
圓C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝9，
則|C1C2|＝
＝>＝5＝2＋3
∴兩圓相離．
答案：D
6．已知點P(a，b)(ab≠0)是圓x2＋y2＝r2內(nèi)的一點，直線m是以P為中點的弦所在直線，直線l的方程為ax＋by＝r2，那么 ( )
A．m∥l，且l與圓相交 B．m⊥l，且l與圓相切
C．m∥l，且l與圓相離 D．m⊥l，且l與圓相離
解析：∵點P(a，b)(ab≠0)在圓內(nèi)，
∴a2＋b2＝r.
∴l(xiāng)與圓相離．
答案：C
二、填空題
5、
7．過點A(2,4)向圓x2＋y2＝4所引切線的方程為________．
解析：顯然x＝2為所求切線之一．另設直線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，那么＝2，k＝，即3x－4y＋10＝0.
答案：x＝2或3x－4y＋10＝0
8．(2011年湖北)過點(－1，－2)的直線l被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長為，則直線l的斜率為________．
解析：將圓的方程化成標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圓心為(1,1)，半徑r＝1.由弦長為得弦心距為.設直線方程為y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，∴＝，化簡得7k2－24k＋17＝0，
6、∴k＝1或k＝.
答案：1或
9．在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且只有四個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是________．
解析：如圖，圓x2＋y2＝4的半徑為2，圓上有且僅有四個點到直線的距離為1，問題轉化為原點(0,0)到直線12x－5y＋c＝0的距離小于1.
即<1，|c|<13，∴－13
7、|AB|＝2時，求直線l的方程．
解：將圓C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得標準方程為x2＋(y－4)2＝4，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2.
(1)若直線l與圓C相切，
則有＝2.
解得a＝－.
(2)過圓心C作CD⊥AB，則根據(jù)題意和圓的性質，
得
解得a＝－7或a＝－1.
故所求直線方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
11．自點A(－3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光線l所在直線的方程．
解：
已知圓(x－2)2＋(y－2)2＝1關于x軸的對稱圓C′的方程為
(x－2)2
8、＋(y＋2)2＝1，如圖所示．可設光線l所在直線方程為
y－3＝k(x＋3)，
∵直線l與圓C′相切，
∴圓心C′(2，－2)到直線l的距離d＝＝1，
解得k＝－或k＝－.∴光線l所在直線的方程為
3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
12．(2012年湛江六校聯(lián)考)已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，問是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由．
解：依題意，設l的方程為y＝x＋b ①
x2＋y2－2x＋4y－4＝0 ②
聯(lián)立①②消去y得：
2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－
9、4＝0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有
③
∵以AB為直徑的圓過原點，
∴⊥，即x1x2＋y1y2＝0，
而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2
∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
由③得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，
即b2＋3b－4＝0，∴b＝1或b＝－4，
∴滿足條件的直線l存在，其方程為
x－y＋1＝0或x－y－4＝0.
[熱點預測]
13．(1)已知直線x＋y＝a與圓x2＋y2＝4交于A，B 兩點，且|O＋O|＝|－|(其中O為坐標原點)，則實數(shù)a等于 ( )
A．2 B．－
10、2
C．2或－2 D.或－
(2)(2013屆江西省百所重點高中階段性診斷考試)已知A(－2,0)，B(0,2)，實數(shù)k是常數(shù)，M、N是圓x2＋y2＋kx＝0上不同的兩點，P是圓：x2＋y2＋kx＝0上的動點，如果M、N關于直線x－y－1＝0對稱，則△PAB面積的最大值是________．
解析：(1)由＋|＝|－|知OA⊥OB，所以由題意可得＝，所以a＝±2.
(2)由題意知圓心(－，0)在直線x－y－1＝0上，
∴－－1＝0，∴圓心坐標為(1,0)，半徑為1，又可得直線AB的方程為x－y＋2＝0，∴圓心到直線AB的距離為，
∴△PAB面積的最大值為×2×(1＋)＝3＋.
答案：(1)C (2)3＋
2013高考數(shù)學總復習 考點專練44 文 新人教A版
