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1、考點專練(二十三)
一、選擇題
1．設(shè)0≤x<2π且＝sin x－cos x，則 ( )
A．0≤x≤π B.≤x≤π
C.≤x≤π D.≤x≤π
解析：由＝
＝sin x－cos x得sin x≥cos x.
又x∈[0,2π)，∴x∈[，π]．
答案：B
2．(2012年遼寧鞍山五模)若＝－，則cos α＋sin α的值為( )
A．－ B．－
C. D.
解析：＝
＝－(sin α＋cos α)
＝－?cos α＋sin α＝.
答案：C
3．已知A、B為直角三角形的兩個銳角，則sin A·sin B ( )
A．有最大值和最小值
2、0 B．有最小值，無最大值
C．既無最大值也無最小值 D．有最大值，無最小值
解析：∵A＋B＝，∴B＝－A.
∴sin Asin B＝sin Asin(－A)
＝sin Acos A＝sin 2A.
∵0
3、x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin(2x＋)＋1，所以當2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)時取得最大值＋1，最小正周期T＝＝π.
答案：B
5．若函數(shù) f(x)＝sin 2x－2sin2x·sin 2x(x∈R)，則 f(x)是 ( )
A．最小正周期為π的偶函數(shù)
B．最小正周期為π的奇函數(shù)
C．最小正周期為2π的偶函數(shù)
D．最小正周期為的奇函數(shù)
解析： f(x)＝(1－2sin2x)sin 2x＝cos 2xsin 2x＝sin 4x，顯然f(x)是最小正周期為的奇函數(shù)．
答案：D
6．定義運算＝ad－bc.若cos α＝，
＝，0<β<α<，則
4、β等于 ( )
A. B.
C. D.
解析：依題設(shè)得：
sin α·cosβ－cos α·sin β＝sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴cos(α－β)＝.
又∵cos α＝，∴sin α＝.
sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin α·cos(α－β)－cos α·sin(α－β)＝×－×＝，∴β＝.
答案：D
二、填空題
7．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________.
解析：原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝＝＝.
答案：
8．(2011年江蘇)已知t
5、an(x＋)＝2，則的值為________．
解析：tan(x＋)＝＝2，∴tanx＝，
tan 2x＝＝，則＝＝.
答案：
9．(2011年上海)函數(shù)y＝sin(＋x)cos(－x)的最大值為________．
解析：y＝cos x·(cos x＋sin x)＝cos2x＋sin x·cos x＝·＋sin 2x
＝cos 2x＋sin 2x＋＝sin(2x＋)＋.故ymax＝＋.
答案：＋
三、解答題
10．(2011年天津)已知函數(shù)f(x)＝tan(2x＋)．
(1)求f(x)的定義域與最小正周期；
(2)設(shè)α∈(0，)，若f()＝2cos 2α，求α的大?。?
解
6、：(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得
x≠＋，k∈Z.
所以f(x)的定義域為
{x∈R|x≠＋，k∈Z}．
f(x)的最小正周期為.
(2)由f()＝2cos 2α，得
tan(α＋)＝2cos 2α，
＝2(cos2α－sin2α)，
整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)
因為α∈(0，)，所以sin α＋cos α≠0，因此(cos α－sin α)2＝，即sin 2α＝.
由α∈(0，)，得2α∈(0，)，所以2α＝，即α＝.
11．(2012年山東德州一模)已知函數(shù)f(x)＝2cos2－sin x.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和
7、值域；
(2)若α為第二象限角，且f(α－)＝，
求的值．
解：(1)∵f(x)＝2cos2－sin x
＝1＋cos x－sin x＝1＋2cos(x＋)，
∴周期T＝2π，f(x)的值域為[－1,3]．
(2)∵f(α－)＝，∴1＋2cos α＝，即cos α＝－.
∵α為第二象限角，∴sin α＝.
∴＝
＝＝＝.
12．(1)化簡：(0<θ<π)；
(2)求證：cos8x－sin8x＋sin 2xsin 4x＝cos 2x.
解：(1)原式
＝
＝＝.
因為0<θ<π，所以0<<，所以cos >0，
所以原式＝－cos θ.
(2)證明：左邊＝(cos
8、4x－sin4x)(cos4x＋sin4x)＋sin22xcos 2x
＝(cos2x－sin2x)(cos4x＋sin4x)＋sin22xcos 2x
＝cos 2x(cos4x＋sin4x)＋sin22xcos 2x
＝cos 2x(cos4x＋sin4x＋2sin2xcos2x)
＝cos 2x(cos2x＋sin2x)2＝cos 2x＝右邊，
∴原等式成立．
[熱點預(yù)測]
13．(2012年山東海陽3月模擬)已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈(，2π)，且a⊥b.
(1)求tan α的值；
(2)求cos(＋)的值．
解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，
故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4 cos2α＝0，
即＝0.
由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0.
解之，得tan α＝－或tan α＝.
∵α∈(，2π)，∴tan α<0，
∴tan α＝－.
(2)∵α∈(，2π)，∴∈(，π)．
由tan α＝－，求得tan＝－或tan ＝2(舍去)．
∴sin＝，cos＝－，
∴cos(＋)＝coscos－sinsin＝－×－×＝－.
2013高考數(shù)學總復(fù)習 考點專練23 文 新人教A版
