高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔：第一部分 考點四 平面向量 Word版含解析

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1、 考點四　平面向量 一、選擇題 1．(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,5)，若(a＋λb)⊥c，則實數(shù)λ＝(　　) A．－ B． C．－2 D．2 答案　C 解析　因為a＝(1,2)，b＝(－2,3)，所以a＋λb＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.故選C. 2．已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　因為＝(3，－4)，所以與其同方向的單位向量e＝

2、＝(3，－4)＝，故選A. 3．設(shè)向量e1，e2為平面內(nèi)所有向量的一組基底，且向量a＝3e1－4e2與b＝6e1＋ke2不能作為一組基底，則實數(shù)k的值為(　　) A．8 B．－8 C．4 D．－4 答案　B 解析　由a與b不能作為一組基底，則a與b必共線，故＝，即k＝－8.故選B. 4．(2019·湖南長沙一中一模)若非零向量a，b滿足|a|＝2|b|＝4，(a－2b)·a＝0，則a在b方向上的投影為(　　) A．4 B．8 C． D． 答案　A 解析　由(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0得a·b＝＝＝8，從而a在b方向上的投影為＝＝4，故選A. 5．在平行四邊形ABC

3、D中，點E為CD的中點，BE與AC的交點為F，設(shè)＝a，＝b，則向量＝(　　) A．a(chǎn)＋b B．－a－b C．－a＋b D．a(chǎn)－b 答案　C 解析　由△CEF∽△ABF，且E是CD的中點，得＝＝，則＝＝(＋)＝＝－a＋b，故選C. 6．(2019·遼寧朝陽四模)已知P為等邊三角形ABC所在平面內(nèi)的一個動點，滿足＝λ(λ∈R)，若||＝2，則·(＋)＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．與λ有關(guān)的數(shù)值 答案　C 解析　設(shè)BC的中點為O，則||＝，因為＝λ(λ∈R)，所以點P在直線BC上，即在方向上的投影為||，所以·(＋)＝2·＝2||2＝6，故選C. 7．已知向量a＝(－2

4、，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是(　　) A．∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C． D． 答案　A 解析　因為a與b的夾角為鈍角，所以a·b<0且a，b不共線，即－2λ－1<0且－2＋λ≠0，故λ的取值范圍是∪(2，＋∞)． 8．若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點，且滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 答案　A 解析　(－)·(＋－2)＝0， 即·(＋)＝0， ∵－＝， ∴(－)·(＋)＝0，即||＝||， ∴△ABC是等腰三角形，故選A. 二、填空題

5、 9．(2019·山東棲霞模擬)若向量a＝(2，x)，b＝(－2,1)不共線，且(a＋b)⊥(a－b)，則a·b＝________. 答案?。? 解析　因為a＋b＝(0，x＋1)，a－b＝(4，x－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，所以0×4＋(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝1或x＝－1，因為向量a＝(2，x)，b＝(－2,1)不共線，所以x＝－1不成立，即x＝1，所以a·b＝2×(－2)＋1×1＝－3. 10．向量e1，e2，a，b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若a－b＝xe1＋ye2，則y＝________. 答案　－3 解析　由題圖易得a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e

6、2，則a－b＝(－e1－4e2)－(－2e1－e2)＝e1－3e2，所以x＝1，y＝－3. 11．(2019·四川棠湖中學(xué)適應(yīng)性考試)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，若點P滿足＋＋＝0，則||＝________. 答案　2 解析　因為＋＋＝0，所以P為△ABC的重心，故P的坐標(biāo)為，即(2,2)，故||＝2. 12．(2019·山東德州二模)已知△ABC中，||＝2，·＝－2.點P為BC邊上的動點，則·(＋＋)的最小值為________． 答案?。? 解析　以BC的中點為坐標(biāo)原點，建立如圖的直角坐標(biāo)系，可得B(－1,0)，C(1,0)，設(shè)P(a

7、,0)，A(x，y)，由·＝－2， 可得(x＋1，y)·(2,0)＝2x＋2＝－2，即x＝－2，y≠0，則·(＋＋)＝(1－a，0)·(x－a－1－a＋1－a，y＋0＋0)＝(1－a)(x－3a)＝(1－a)(－2－3a)＝3a2－a－2＝32－，當(dāng)a＝時，·(＋＋)的最小值為－. 三、解答題 13．已知＝a，＝b，任意點M關(guān)于點A的對稱點為S，點S關(guān)于點B的對稱點為N. (1)用a，b表示向量； (2)設(shè)|a|＝1，|b|＝2，⊥，求a與b的夾角． 解　(1)由題意可得，AB是△SMN的中位線， 故有＝2＝2(－)＝2(b－a)． (2)記a與b的夾角為θ，因為⊥， 所以·

8、＝0，即2(b－a)·a＝0，則b·a－a2＝0，所以|b|·|a|·cosθ－|a|2＝0，又|a|＝1，|b|＝2，則2cosθ－1＝0，即cosθ＝， 而θ∈[0，π]，所以θ＝. 14．(2019·四川成都龍泉中學(xué)模擬)已知平面向量a＝(，－1)，b＝. (1)證明：a⊥b； (2)若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f(t)． 解　(1)證明：∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b. (2)∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d， ∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(

9、t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0. 又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0， ∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝(t≠0)． 一、選擇題 1．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個選項中，一定能使＋＝0成立的是(　　) A．a(chǎn)＝2b B．a(chǎn)∥b C．a(chǎn)＝－b D．a(chǎn)⊥b 答案　C 解析　“＋＝0，且a，b都是非零向量”等價于“非零向量a，b共線且反向”，則答案為C. 2．(2019·全國卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，則·＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 答案　C 解析　∵＝－＝(3，t)－(2,

10、3)＝(1，t－3)，||＝1，∴＝1，∴t＝3，∴＝(1,0)， ∴·＝2×1＋3×0＝2.故選C. 3．(2019·山東臨沂、棗莊二模)已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則＝(　　) A．－2 B．－ C．－ D． 答案　A 解析　∵＝＋＝＋＝－＋＝－，∴λ＝1，μ＝－，∴＝－2，故選A. 4．△ABC所在的平面內(nèi)有一點P，滿足＋＋＝，則△PBC與△ABC的面積之比是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　因為＋＋＝，所以＋＋＝－，所以＝－2＝2，即P是AC邊的一個三等分點，且PC＝AC，由三角形的面積公式可知，＝＝. 5．(201

11、9·福建模擬)已知向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，且|a|＝，|b|＝1，則向量b與a－b的夾角為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　因為|a＋b|＝|a－b|，所以a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，所以a⊥b.如圖，設(shè)＝a，＝b，則向量b與a－b的夾角為∠BDE，因為tan∠BDA＝，所以∠BDA＝，∠BDE＝.故選B. 6．如圖，在△ABC中，＝，P是BN上的一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　∵＝，∴＝5， ∵＝m＋，∴＝m＋， ∵P是BN上的一點，∴B，P，N三點共線，

12、 ∴m＋＝1，∴m＝，故選D. 7．O是平面內(nèi)一定點，A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點，動點P滿足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，則點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的(　　) A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 答案　B 解析?。剑溅耍驗椋谥本€與∠A的角平分線重合，則點P的軌跡是∠A的角平分線，一定經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，故選B. 8．(2019·廣東深圳適應(yīng)性考試)在平行四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝2，＝，＝，若·＝12，則∠ADC＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　如圖所示，平行四邊形ABCD中， ＝＋＝－－， ＝＋＝－－， 因為·＝12，所

13、以·＝·＝2＋2＋·＝×32＋×22＋×3×2×cos∠BAD＝12， 則cos∠BAD＝，即∠BAD＝， 所以∠ADC＝π－＝，故選C. 二、填空題 9．(2019·湖北四地七校聯(lián)考)正三角形ABC的邊長為1，則·＋·＋·＝________. 答案　－ 解析　∵正三角形ABC的邊長為1，∴·＋·＋·＝－(·＋·＋·) ＝－(1×1×cos60°×3)＝－. 10．(2019·安徽A10聯(lián)盟4月聯(lián)考)在四邊形ABCD中，＝，＝(2,4)，＝(－3，－5)，則在上的投影為________． 答案　 解析　由＝得四邊形ABCD是平行四邊形， 且＝＋＝(2,4)＋(－3，－5)

14、＝(－1，－1)， 則＝＋＝(2,4)＋(－1，－1)＝(1,3)， ∴在上的投影為||cos〈，〉＝＝＝. 11．(2019·唐山模擬)在△ABC中，(－3)⊥，則角A的最大值為________． 答案　 解析　因為(－3)⊥，所以(－3)·＝0，(－3)·(－)＝0，2－4·＋32＝0，即cosA＝＝＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)||＝||時等號成立．因為0

15、建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由題意可得， A(2,0)，B(0,0)，C(0，2)，O，D(cosθ，2＋sinθ)， 即＝， ＝， ＝， 則＋＋＝， |＋＋|＝ ＝ ＝ ， 當(dāng)sin(θ＋φ)＝－1時，|＋＋|取到最小值＝－1. 三、解答題 13．(2019·安徽渦陽一中第二次質(zhì)檢)如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，e1，e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量＝xe1＋ye2，則把有序數(shù)對(x，y)叫做向量在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，假設(shè)＝3e1＋2e2. (1)計算||的大小； (2)設(shè)向量a＝(m，－1)，若a與共線，求實數(shù)m的值；

16、(3)是否存在實數(shù)n，使得向量與b＝(1，n)垂直？若存在，求出n的值；若不存在，說明理由． 解　(1)e1·e2＝1×1×cos60°＝， 所以||＝|3e1＋2e2|＝ ＝＝. (2)因為a＝(m，－1)＝me1－e2，又a與＝3e1＋2e2共線，所以存在實數(shù)λ使得a＝λ，即me1－e2＝λ(3e1＋2e2)＝3λe1＋2λe2，由平面向量基本定理得解得m＝－. (3)假設(shè)存在實數(shù)n，使得與向量b＝(1，n)垂直， 則·b＝0，即 (3e1＋2e2)·(e1＋ne2)＝3e＋(3n＋2)e1·e2＋2ne＝3|e1|2＋(3n＋2)e1·e2＋2n|e2|2＝3＋(3n＋2)

17、×＋2n＝0，得n＝－，所以存在實數(shù)n＝－，使得向量與b＝(1，n)垂直． 14．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝4，AB＝2. (1)若△ABC為等邊三角形，且AD∥BC，E是CD的中點，求·； (2)若AC＝AB，cos∠CAB＝，·＝，求||. 解　(1)因為△ABC為等邊三角形，且AD∥BC， 所以∠DAB＝120°，又AD＝2AB，所以AD＝2BC， 因為E是CD的中點，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋. 又＝－，所以 ·＝·(－) ＝2－2－· ＝×16－×4－×4×2×＝11. (2)因為AB＝AC，AB＝2，所以AC＝2， 因為·＝，所以·(－)＝， 所以·－·＝. 又·＝||||cos∠CAB＝4×＝， 所以·＝＋·＝. 所以||2＝|－|2＝2＋2－2·＝4＋16－2×＝. 所以||＝.