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1、1,,,,,,,第四章 平面任意力系,本章內(nèi)容: 1 平面任意力系的簡化 2 平面任意力系的平衡 3 物體系統(tǒng)的平衡,,2,,,,,,,第一節(jié) 平面任意力系向一點(diǎn)的簡化,各力的作用線在同一平面內(nèi)任意分布的力系稱為平面任意力系。例如：,,3,,,,,,,一、力的平移定理,作用于剛體上的力可以等效地平行移動至剛體上任一指定點(diǎn)，但必須在該力與指定點(diǎn)所決定的平面內(nèi)附加一力偶，該附加力偶的矩等于原力對指定點(diǎn)的矩。此結(jié)論稱為力的平移定理。該過程可逆。,,,4,,,,,,,證明：,,,,5,,,,,,,,二、平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)的簡化,,,主矢,主矩,,,主矢與簡化中心無關(guān)，而主矩一般與簡化中心有關(guān)。
2、,在一般情形下，平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn) 簡化，可得一個力和一個力偶。這個力等于該力系的主矢，作用線通過簡化 中心；這個力偶的矩等于該力系對于簡化中心 的主矩。,6,,,,,,,,三、平面任意力系簡化結(jié)果的討論,原力系合成為一個合力偶,原力系平衡,原力系合成為一個作用線通過簡化中心O的合力,,,,,原力系合成為一個作用線不通過簡化中心O的合力，,固定端支座的約束力,=,=,其到簡化中心的距離為,7,,,,,,,,主矢 的大小以及與 軸所夾的銳角分別為,8,,,,,,,,力系對原點(diǎn) 的主矩為,合力作用線的位置如圖c所示。,由于主矢 且主矩 ，故力系合成為一個合力，合力矢 ，其作用線離坐
3、標(biāo)原點(diǎn) 的距離為,9,例 4-2 如圖所示，水平梁 受均布載荷的作用，其載荷集度（單位長度上的載荷）為 ，梁長 。試求均布載荷合力的大小及其作用線位置。,顯然其合力 的方向與均布載荷的方向相同，,即,現(xiàn)來確定合力 的作用位置：,取梁的 端為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)系。,在 處取微段 ，則均布載荷在 上的合力,此微力對點(diǎn) 的矩為,對上式積分，得所有均布載荷對點(diǎn) 的矩的代數(shù)和,,,,,,,10,設(shè)點(diǎn) 至合力 作用線的垂直距離為 ，根據(jù)合力矩定理，有,從而解得,,,,,,,11,第二節(jié) 平面任意力系的平衡方程,一、平面任意力系的平衡方程,1. 平面任意力系平衡方程的基本形式,平面任意力系平衡的必要
4、與充分條件是：力系的主矢和對于任一點(diǎn)的主矩都等于零，即,或,即平面任意力系平衡的解析條件為：,力系中所有力在作用面內(nèi)任意兩個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零，并且各力對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)的矩的代數(shù)和等于零。,平面任意力系的平衡方程,顯然,由以上方程僅可以求解三個未知量,,,,,,,12,例 4-3 如圖a所示，懸臂梁 上作用有矩為M的力偶和集度為 的均布載荷，在梁的自由端還受一集中力 的作用，梁長為 。試求固定端 處的約束力。,（2）畫受力圖,如圖b所示,（3）列平衡方程,選取坐標(biāo)系 ，并以點(diǎn) 為矩心，建立平衡方程：,,,,,,,13,（4）求解未知量,所得結(jié)果均為正值，說明圖中假設(shè)的約束力的方向是
5、正確的。,2. 平面任意力系平衡方程的其它形式,（1）一投影二力矩式,其中， 、 為力系作用面內(nèi)的任意兩點(diǎn)，但其連線不能垂直于 軸。,（2）三力矩式,其中，力系作用面內(nèi)的任意三點(diǎn) 、 、 三點(diǎn)不共線 。,,,,,,,14,,,,,,,,例 4-4一重力為 的物塊懸掛在圖a所示構(gòu)架上。已知 ， 。若不計構(gòu)架自重，試求支座 處的約束力以及 桿所受的力。,圖a,解:（1）選取滑輪、 桿與物塊組成的剛體系為研究對象。,（2）畫受力圖,如圖b所示,（3）列平衡方程,選取坐標(biāo)系 ，并分別以點(diǎn) 、 為矩心，建立平衡方程：,15,,,,,,,,（4）求解未知量,桿所受的力與 是作用力與反作用力的關(guān)系，
6、即桿 所受的力為 ，是拉力。,例 4-5橫梁 用三根桿支撐，并受載荷如圖a所示。已知 ， ，試求三桿所受的力。,16,,,,,,,,解:（1）選取橫梁 為研究對象。,（2）畫受力圖,如圖b所示三根桿均為二力桿，假設(shè)各桿均受拉。,（3）列平衡方程,選取坐標(biāo)系 ，并以 與 作用線的交點(diǎn) 為矩心，建立平衡方程：,（4）求解未知量,三桿所受的力分別為,(壓),(拉),(壓),17,,,,,,,,二、平面平行力系的平衡方程,各力作用線在同一平面內(nèi)并相互平行的力系稱為平面平行力系。,平面平行力系獨(dú)立的平衡方程只有兩個，為:,其二力矩式為:,其中， 、 為力系作用面內(nèi)任意兩點(diǎn)，其連線不能與各力
7、平行。,18,,,,,,,,例 4-6一外伸梁如圖a所示,沿全長有均布載荷 作用，兩支座中間作用一集中力 。已知 ，不計梁自重，試求 、 兩支座處的約束力。,解:（1）選取橫梁 為研究對象。,（2）畫受力圖,如圖b所示。其中均布載荷的合力 。,（3）列平衡方程,選取坐標(biāo)系 ，并以 為矩心，建立平衡方程：,（4）求解未知量得,19,例 4-7塔式起重機(jī)結(jié)構(gòu)簡圖如圖所示。設(shè)機(jī)架自重為 ，作用線距右軌 為 ；滿載時荷重為 ，距右軌 為 ；平衡物重為 ，距左軌 為 ；軌道 、 的間距為 。要保證起重機(jī)在空載和滿載時都不翻倒，試問平衡物的重 應(yīng)為多少？,解:（1）選取起重機(jī)整體為研究對象
8、，其受力圖如圖 。,（2）確定空載時平衡物的重量,當(dāng)空載時， 。為使起重機(jī)不繞點(diǎn) 翻倒，必須滿足 。,解得,,,,,,,20,將上式代入空載條件 ，可得空載時平衡物的重量,,（3）確定滿載時平衡物的重量,當(dāng)滿載時，為使起重機(jī)不繞點(diǎn) 翻倒，必須滿足 。,解得,將上式代入空載條件 ，可得空載時平衡物的重量,,綜合考慮到上述兩種情況，平衡物的重量應(yīng)滿足不等式,,,,,,,21,第三節(jié) 物體系的平衡問題,當(dāng)系統(tǒng)中未知量的數(shù)目等于其獨(dú)立平衡方程的數(shù)目時，所有的未知量都能由平衡方程求出，這樣的問題稱為靜定問題。,如圖a所示均為靜定問題。,當(dāng)系統(tǒng)中未知量的數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，未知量就不能全部
9、由平衡方程求出，這樣的問題稱為靜不定問題或超靜定問題。而總未知量數(shù)目與總獨(dú)立平衡方程數(shù)目之差稱為靜不定次數(shù)。,如圖b 所示均為靜不定問題。,,,,,,,22,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例 4-8壓榨機(jī)如圖所示，已知曲柄 上作用一矩 的力偶， ， ， ，機(jī)構(gòu)在圖示位置處于平衡狀態(tài)。若不計構(gòu)件自重，試求此時的水平壓榨力 。,,23,解:（1）選取曲柄 為研究對象。,圖a,圖b,圖c,因為桿 為二力桿(圖b)，,所以其受力圖如圖a 。,得,（2）選取桿 與滑塊 組成的分系統(tǒng)為研究對象，其受力圖如圖c所示。,以未知力 、 的交點(diǎn) 為矩心，列平衡方程：,解得
10、,由于 ，故得水平壓榨力,,,,,,,24,例 4-9一靜定多跨梁如圖所示。已知 ， ， ， ， 。試求支座 、 與鉸鏈 的約束力。,解:（1）選取 梁為研究對象，其受力圖如圖a所示。,列平衡方程,解得,， ，,,,,,,,25,（2）選取 為研究對象，其受力圖如圖b所示。,根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系有， 、 。,列平衡方程,解得,， ， （逆時針）,,,,,,,26,例 4-10在圖中，已知重物的重力為 ， ，定滑輪半徑為 ，動滑輪半徑為 ，其中 ， 。試求 、 支座的約束力以及 桿所受的力。,
11、解:（1）選取整體為研究對象，其受力圖如 圖a所示。,列平衡方程,解得,， ，,,,,,,,27,（2）選取桿 為研究對象，其受力圖如圖b所示。,以點(diǎn) 為矩心，列平衡方程：,其中， 、 ，代人上式，即得桿 所受的力,(拉力）,,,,,,,28,例 4-11圖示的三鉸剛架由 和 兩個桁架通過中間鉸 連接而成。若鉸支座 和 等高，桁架重量各為 ，在左邊桁架上作用一水平力 ，尺寸 、 、 和 均為已知。試求鉸支座 、 的約束力和中間鉸 處的壓力。,圖a,解:（1）選取整體為研究對象，其受力圖如 圖a所示。,列平衡方程,解得,，,,,,,,,29,圖b,（2）選取桿 為研究
12、對象，其受力圖如圖b所示。,列平衡方程,代入 ，解得,， ，,（3）選取桿整體為研究對象。,代入 ，解得,若支座 、 位于不同高程，又應(yīng)如何求解？,,,,,,,30,例 4-12如圖所示，編號為1、2、3、4的四根桿件組成一平面結(jié)構(gòu)，其中 、 、 為光滑鉸鏈， 、 為光滑接觸， 為結(jié)構(gòu)中點(diǎn)。在水平桿2上作用有力 。若不計各桿自重，試證：無論力 的位置 如何改變，其豎桿1總是受到大小等于 的壓力。,解:本題歸結(jié)為求解二力桿桿1的內(nèi)力。,（1）首先選取桿2、4與銷釘 組成的分系統(tǒng)為研究對象，其受力圖如圖b所示，以點(diǎn) 為矩心，列平衡方程,圖b,(a),,,,,,,31,圖a,（2）選取整體為研究對象,其受力圖如圖a所示。以點(diǎn) 為矩心，列平衡方程,解得,圖c,（3）再選取水平桿2為研究對象，其受力圖如圖c所示，以點(diǎn) 為矩心，列平衡方程,求得,(b),(c),將式（b）、式（c）代入式（a），即得,于是，命題得證。,,,,,,,
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