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1、
第17講 任意角、弧度制及任意角的三角函數
1．任意角
(1)角的概念的推廣
①按旋轉方向不同分為正角、負角、零角．
②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．
(2)終邊相同的角
終邊與角α相同的角可寫成α＋k·360°(k∈Z)．
(3)弧度制
①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．
②規(guī)定：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零，|α|＝，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑．
③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制，比值與所取的r的大小無關，僅與角的大小有關．
④弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π
2、弧度．
⑤弧長公式：l＝|α|r，扇形面積公式：S扇形＝lr＝|α|r2.
2．任意角的三角函數定義
設α是一個任意角，角α的終邊上任意一點P(x，y)，它與原點的距離為r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分別是：sin α＝，cos α＝，tan α＝，它們都是以角為自變量，以比值為函數值的函數．
3．三角函數線
設角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過P作PM垂直于x軸于M，則點M是點P在x軸上的正射影．由三角函數的定義知，點P的坐標為(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，單位圓與
3、x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與α的終邊或其反向延長線相交于點T，則tan α＝AT.我們把有向線段OM、MP、AT叫做α的余弦線、正弦線、正切線．
三角函數線
有向線段MP為正弦線
有向線段OM為余弦線
有向線段AT
為正切線
一條規(guī)律
三角函數值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
(2) 終邊落在x軸上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；終邊落在y軸上的角的集合；終邊落在坐標軸上的角的集合可以表示為.
兩個技巧
(1)在利用三角函數定義時，點P可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點，|OP|＝r一定是正
4、值．
(2)在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數線是一個小技巧．
三個注意
(1)注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角．
(2)角度制與弧度制可利用180°＝π rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．
(3)注意熟記0°～360°間特殊角的弧度表示，以方便解題．
一例題
1．下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是
( )．
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
5、2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在( )．
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
3．若sin α＜0且tan α＞0，則α是( )．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．已知角α的終邊過點(－1,2)，則cos α的值為( )．
A．－ B. C．－ D．－
5．(2011·江西)已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸非負半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點，且sin θ＝－，則y＝________.
角的集合表示及象限角的
6、判定
6(1)寫出終邊在直線y＝x上的角的集合；
(2)若角θ的終邊與角的終邊相同，求在[0,2π)內終邊與角的終邊相同的角；
(3)已知角α是第二象限角，試確定2α、所在的象限．
7 角α與角β的終邊互為反向延長線，則( )．
A．α＝－β B．α＝180°＋β
C．α＝k·360°＋β(k∈Z) D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)
三角函數的定義
8已知角θ的終邊經過點P(－，m)(m≠0)且sin θ＝ m，試判斷角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．
9(2011·課標全國)已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x
7、軸的非負半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ＝( )．
A．－ B．－ C. D.
弧度制的應用
10已知半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.
(1)求弦AB所對的圓心角α的大??；
(2)求α所在的扇形的弧長l及弧所在的弓形的面積S.
11 已知扇形周長為40，當它的半徑和圓心角取何值時，才使扇形面積最大？
三角函數線及其應用
12在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍．并由此寫出角α的集合：
(1)sin α≥； (2)cos α≤－.
利用單位圓解三角不等式(組)的一般步驟是：
(1)用邊界值定出角的終邊位置；
(2)
8、根據不等式(組)定出角的范圍；
(3)求交集，找單位圓中公共的部分；
(4)寫出角的表達式．
13求下列函數的定義域：
(1)y＝； (2)y＝lg(3－4sin2x)．
14(本題滿分12分)(2011·龍巖月考)已知角α終邊經過點P(x，－)(x≠0)，且cos α＝x，求sin α、tan α的值．
15 已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sin α＋cos α＋tan α.
1C2A3C4A5?。? 7D9B
6解 (1)在(0，π)內終邊在直線y＝x上的角是，
∴終邊在直線y＝x上的角的集合為.
(2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．
依題意
9、0≤＋＜2π?－≤k＜，k∈Z.
∴k＝0,1,2，即在[0,2π)內終邊與相同的角為，，.
(3)∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z.
∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z.
∴2α是第三、第四象限角或角的終邊在y軸非正半軸上．
∵k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°，k∈Z，
當k＝2m(m∈Z)時，m·360°＋45°＜＜m·360°＋90°；當k＝2m＋1(m∈Z)時，
m·360°＋225°＜＜m·360°＋270°；∴為第一或第三象限角．
8由題意得，r＝，∴＝m，∵m≠0，∴m＝±
10、，
故角θ是第二或第三象限角．
當m＝時，r＝2，點P的坐標為(－，)，角θ是第二象限角，
∴cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝－.
當m＝－時，r＝2，點P的坐標為(－，－)，角θ是第三象限角．
∴cos θ＝＝＝－，tan＝＝＝.
10(1)由⊙O的半徑r＝10＝AB，知△AOB是等邊三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，∴弧長l＝α·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝××10＝，而S△AOB＝·AB·＝×10×＝，
∴S＝S扇形－S△AOB＝50.
11解 設圓心角是θ，半徑是r，則2r＋rθ＝40，
S＝lr＝r(40－2r)＝
11、r(20－r)≤2＝100.
當且僅當r＝20－r，即r＝10時，Smax＝100.
∴當r＝10，θ＝2時，扇形面積最大，即半徑為10，圓心角為2弧度時，扇形面積最大．
12解
(1)作直線y＝交單位圓于A、B兩點，連接OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α的終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為
.
(2)作直線x＝－交單位圓于C、D兩點，連接OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為
.
13解 (1)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.
由三角函數線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部
12、分所示)．
∴定義域為(k∈Z)．(2)∵3－4sin2x＞0，
∴sin2x＜，∴－＜sin x＜.
利用三角函數線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，
∴定義域為(k∈Z)．
14∵P(x，－)(x≠0)，
∴P到原點的距離r＝，(2分)又cos α＝x，∴cos α＝＝x，
∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.(6分)
當x＝時，P點坐標為(，－)，
由三角函數定義，有sin α＝－，tan α＝－；(9分)
當x＝－時，P點坐標為(－，－)，∴sin α＝－，tan α＝.(12分)
15取直線3x＋4y＝0上的點P1(4，－3)，則|OP1|＝5，則sin α＝－，cos α＝，tan α＝－，故sin α＋cos α＋tan α＝－＋＋×＝－；
取直線3x＋4y＝0上的點P2(－4,3)，
則sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
故sin α＋cos α＋tan α＝－＋×＝－.
綜上，sin α＋cos α＋tan α的值為－或－.
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第17講 任意角、弧度制及任意角的三角函數
