2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件 新人教A版選修4-5.ppt

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1、二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.會用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式. 2.了解貝努利不等式，并會證明貝努利不等式. 3.體會歸納猜想證明的思想方法.,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識點(diǎn) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,思考1 用數(shù)學(xué)歸納法證明問題必須注意的步驟是什么？,答案 (1)歸納奠基：驗(yàn)證初始值nn0. (2)歸納遞推：在假設(shè)nk(kn0，kN)成立的前提下，證明nk1時(shí)問題成立.,思考2 證明不等式與證明等式有什么不同？,答案 證明不等式需注意的是對式子進(jìn)行“放縮”.,梳理 (1)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明

2、不等式時(shí)，由nk時(shí)命題成立，推導(dǎo)nk1命題成立時(shí)，常常要與其他方法，如 、 、 、 等結(jié)合進(jìn)行. (2)貝努利(Bernoulli)不等式 如果x是實(shí)數(shù)，且x1，x0，n為大于1的自然數(shù)，則有 .,比較法,分析法,綜合法,放縮法,(1x)n1nx,(3)貝努利不等式的推廣 事實(shí)上，把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實(shí)數(shù)時(shí)， 仍有類似不等式成立. 當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿足1或者0時(shí)，有(1x)1x(x1)； 當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿足01時(shí)，有(1x)1x(x1).,題型探究,類型一 數(shù)學(xué)歸納法與放縮法結(jié)合證明不等式,證明,(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k2)時(shí)，命題成立，,即當(dāng)nk1時(shí)，命題成立. 由(1)(2)可知

3、，不等式對一切nN，n2都成立.,反思與感悟 在歸納遞推過程中常用到放縮法，這也是在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)常用的方法之一.,左邊右邊，不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，不等式成立，,則當(dāng)nk1時(shí)，,所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立.,由(1)(2)知，對于任意大于1的正整數(shù)n，不等式均成立.,證明,類型二 利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式,當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.,解答,證明,證明 當(dāng)n1時(shí)，,假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，不等式成立，,由可知，對任意nN不等式都成立.,反思與感悟 (1)首先掌握好數(shù)學(xué)歸納法求解問題的步驟及等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，這是解決這類問

4、題的基礎(chǔ). (2)此類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式有關(guān)，有時(shí)要證明的式子是直接給出，有時(shí)是根據(jù)條件從前幾項(xiàng)入手，通過觀察、猜想，歸納出一個(gè)式子，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明.,證明,當(dāng)nk1時(shí)，,達(dá)標(biāo)檢測,1.用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3，nN)，第一步驗(yàn)證 A.n1 B.n2 C.n3 D.n4,1,2,3,4,解析 由題意知，n的最小值為3，所以第一步驗(yàn)證n3是否成立.,解析,答案,1,2,3,4,解析,答案,1,2,3,4,解析 當(dāng)nk1時(shí)，目標(biāo)不等式為,解析,答案,1,2,3,4,解答,1,2,3,4,又aN，正整數(shù)a的最大值為25.,(1)當(dāng)n1時(shí)，不等式顯然成立.,1,2,3,4,當(dāng)nk1時(shí)，有,1,2,3,4,即nk1時(shí)不等式也成立.,數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧 (1)證明不等式時(shí)，由nk到nk1的推證過程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關(guān)系，需要我們在證明時(shí)，對原式進(jìn)行“放大”或者“縮小”才能使用到nk時(shí)的假設(shè)，所以需要認(rèn)真分析，適當(dāng)放縮，才能使問題簡單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常用的方法之一. (2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成證明過程.,規(guī)律與方法,本課結(jié)束,