《工程流體力學》PPT課件.ppt

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1、第二章 流體靜力學,流體靜力學研究流體的平衡規(guī)律，由平衡條件求靜壓強分布，并求靜水總壓力。 靜止是相對于坐標系而言的，不論相對于慣性系或非慣性系靜止的情況，流體質點之間都沒有相對運動，這意味著粘性將不起作用，所以流體靜力學的討論不須區(qū)分流體是實際流體或理想流體。,21 流體靜壓強及其特性,22 流體的平衡微分方程及其積分,24 非慣性系中液體的平衡,23 重力作用下的液體平衡,25 作用于平面上的靜水總壓力,26 作用于曲面上的靜水總壓力,21 流體靜壓強及其特性,一、靜止流體的壓強,Pn,n,平均靜壓強：靜止流體中某一有限小面積A表面上的總壓力P與該面積之比，即 ：,點的靜壓強：當A無限縮小

2、至趨于一點k時，上述比值取A0的極值，即為k點的流體靜壓強，即 ：,p(x,y,z)是連續(xù)函數，單位為N/m2，即應力的單位 。,k,靜止流體中一點的應力,在這個表達式中，已包含了應力四要素：作用點、作用面、受力側和作用方向。,法向應力沿內法線方向，即受壓的方向（流體不能受拉）。這個法向應力稱為靜 壓強，記作 pn(x,y,z)，因目前還不知靜壓強是否與作用面方位有關，腳標中須標上作用面法線方向。,二、流體靜壓強的特性,靜止流體的應力只有法向分量（流體質點之間沒有相對運動不存在切應力）。,Pn,n,1 流體靜壓強的作用方向為作用面的內法線方向,2 靜壓強的大小與作用面的方位無關,在靜止流體中取

3、出以 M 為頂點的四面體流體微元，它受到的質量力和表面力必是平衡的，以 y 方向為例，寫出平衡方程,Y 是單位質量力在 y 方向的分量,M,上圖中四面體的體積積分為：,此時，pn，px，py，pz已是同一點（M點）在不同方位作用面上的靜壓強，其中斜面的方位 n 又是任取的，這就證明了靜壓強的大小與作用面的方位無關。,當四面體微元趨于M點時，即取dx，dy，dz0的極限，可得 pn=py，同理有 pn=px，pn=pz。,靜止流體的應力狀態(tài)只須用一個靜壓強數量場 p = p(x, y, z) 來描述，有了這個靜壓強場，即可知道在任意一個作用點、以任意方位 n 為法向的面元上的應力為：,靜壓強 p

4、n(x,y,z) 與作用面的方位無關，僅取決于作用點的空間位置，是空間坐標的單值函數，所以可將腳標去掉寫成 p(x,y,z) 。,22 流體的平衡微分方程及其積分,平衡微分方程的推導,表面力在 y 方向上的分量只有左右一對面元上的壓力，合力為,o,在靜止流體中取出六面體流體微元，分析其在 y 方向的受力。,微元所受 y 方向上的質量力為,o,平衡方程為,或,同理有,和,其中 X, Y, Z 是質量力 f 的三個分量。,稱為靜壓強場的梯度。它 是數量場 p(x,y,z) 對應的一 個矢量場。,稱為哈密爾頓算子,它同時具有矢量和微分（對跟隨其后的變量）運算的功能。用它來表達梯度，非常簡潔，并便于記

5、憶。,平衡微分方程的矢量形式,其中,的三個分量是壓強在三個坐標軸方向的方向導數，它反映了數量場在空間上的不均勻性。 流體的平衡微分方程實質上表明了質量力和壓差力之間的平衡。 壓強對流體受力的影響是通過壓差來體現的。,歐拉平衡微分方程的物理意義,上式即為流體平衡微分方程，又稱為歐拉平衡微分方程（L. Euler, 1775. Sweetzland）適用于連續(xù)介質流體。（可壓、不可壓）,歐拉，L. ( Leonhard Euler 1707-1783) 瑞士數學家、力學家。,歐拉，1707年4月15日生于瑞士巴塞爾，1783年9月18日卒于俄國彼得堡，俄國皇帝聘請的外籍院士。 歐拉是18世紀著述最

6、多的數學家。他的著述涉及當時數學的各個領域，許多數學名詞是以歐拉命名的，如歐拉積分、歐拉數、各種歐拉公式等。 歐拉將數學分析方法用于力學，在力學各個領域中都有突出貢獻；他是剛體動力學和流體力學的奠基者，彈性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論的開創(chuàng)人。他曾用兩種方法來描述流體的運動，即分別根據空間固定點（1755）和根據確定流體質點（1759）描述流體速度場。這兩種方法通常稱為歐拉表示法和拉格朗日表示法。 歐拉奠定了理想流體的運動理論基礎，給出反映質量守恒的連續(xù)性方程（1752）和反映動量變化規(guī)律的流體動力學方程（1755）。 歐拉寫有專著和論文800多種。,歐拉平衡微分方程的積分,在微分方程兩邊同時點乘以微元長度

7、矢量 得,因為p=p(x,y,z)，故有,對不可壓縮流體，密度為常數，則,可見單位質量力在微元長度上所作的功應為某一函數W的全微分，令 ，則,用矢量表示，即,稱W為質量力 的勢函數。由此可見：,在不可壓縮平衡流體中，質量力必定有勢（函數）。,再作積分：,式中，C為積分常數。若已知流場中某一點O的質量力勢函數，W0和靜壓強p0，則可消去常數C，得,此即不可壓流體的平衡微分方程的積分式。,將以上定義的質量力的勢函數W代入平衡微分方程得：,在上式中，因為勢函數W僅為空間坐標的函數，故 W-W0 也僅為空間坐標點的函數而與空間點O上的壓力p0無關。由此推論： * 在平衡液體中，已知（邊界）點上的壓強將

8、等值地傳遞到流體內的一切點上；該點上壓強 p0 的任意大小變化，將導致流體內所有點上產生同樣大小的壓強改變。,定義：平衡流體中壓強相等的點所組成平面或曲面稱為等壓面 。,帕斯卡定律,等壓面,1 等壓面與等勢面重合； 因為在等壓面上dp=0，故由前述平衡方程式得dW=0。 2 等壓面恒與質量力正交。 由性質1及勢函數定義得：,等壓面的性質,寫成矢量形式為：,為等壓面上的任意微分長度矢量，上式表明質量力與等壓面上的任意線矢量相互垂直，則 與等壓面正交。 應用：在重力作為質量力的慣性系中，等壓面為與地球同心的球面，即水平面。（這點下節(jié)還要詳細討論） 。,23 重力作用下的液體平衡,一.流體靜力學基本

9、方程,z 軸垂直向上，流體不可壓縮。,積分,或,此即為重力作用下的流體靜力學基本方程，表明在重力場中連通的同種靜止液體中： 壓強隨位置高程線性變化； 等壓面是水平面，與質量力垂直； 是常數。,要知道靜止流體中具體的壓強分布，關鍵是知道其中某一點的壓強，從而確定積分常數 C。,對靜止流體中任意兩點，上式可寫成：,或,* 對于氣體，由于重度較小，故在兩點間高程差（z1-z2）不大時，任意兩點的靜壓強近似相等 。,如果靜止液體有自由面，將自由面作為基準面 z=0，自由面上的壓強為 p0 ，則,若令 h= -z（向下為正），則,此式亦稱為水靜力學基本方程，它表明，靜止液體內任一點的靜壓強由兩部分組成：

10、自由面上的氣體壓強；液面下深度為h的單位底面積液柱體的重量，即 。,帕斯卡定律,亦即：靜止流體中任一點的壓強變化，將等值地傳給該流體中的其它各點（水壓機，水力起重機的工作原理） 。,對上式兩邊求壓強的微分得：（坐標固定不變，則h為常數）,重力作用下的等壓面（靜止液體中）,復習討論：,自由液面； * 水下深度相同的面（即液體內的任一水平面）； 兩種均質不摻混液體的交界面。,等壓面的重要意義,* 等壓面的概念和流體(水)靜力學基本方程同為流體靜力學中十分重要的內容。掌握和運用等壓面非常有助于簡化問題。 * 但應著重指出，水靜力學基本方程及等壓面的概念，只對互相連通的同一種流體才可應用（因為必須保證

11、在方程中為常數，若為兩種流體時，變化，則許多結論不成立），故類等壓面概念應加以甄別應用 。,B,二. 絕對壓強、相對壓強、真空（值）壓強,A,絕對壓強基準,A點絕對壓強,B點真空壓強,A點相對壓強,B點絕對壓強,相對壓強基準,O,大氣壓強 pa,O,壓強,壓強 p記值的零點不同，有不同的名稱：,以完全真空為零點，記為 pabs,絕對壓強,兩者的關系為: pr= pabs- pa,以當地大氣壓 pa 為零點，記為 pr,相對壓強為負值時，其絕對值稱為真空壓強。,相對壓強,真空壓強,B,A,絕對壓強基準,A點絕對壓強,B點真空壓強,A點相對壓強,B點絕對壓強,相對壓強基準,O,大氣壓強 pa,O,

12、壓強,今后討論壓強一般指相對壓強，省略下標，記為 p，若指絕對壓強則特別注明。,三、壓強的表示方法,1用單位面積上的力表示，如前定義。 2以工程大氣壓表示，即以98,000 N/m2為基本單位，相當于736mm汞柱對柱底產生的壓強。 * 3. 用液柱高表示。 由流體靜力學基本方程式，即 可見壓強項具有長度的單位。,也可這樣理解：一定的液柱高可以產生一定的靜水壓強，壓強和柱高是一一對應的，例如10m水柱可產生98,000N/m2的靜水壓強，因此98,000N/m2壓強可以說等于10m水柱高，即一個工程大氣壓（標準大氣壓為10.33m水柱高）。,如果 z = 0 為靜止液體的自由表面，自由表面上壓

13、強為大氣壓，則液面以下 h 處的相對壓強為 h ，所以在液體指定以后高度也可度量壓強，稱為液柱高，例如：m(H2O)，mm(Hg) 等。特別地，將水柱高稱為水頭。把真空壓強轉換成水柱高表示，稱為真空度。,一個工程大氣壓為 98.10 kN/m2，相當于 10 m(H2O) 或 736 mm(Hg),四. 位置水頭、壓強水頭、測壓管水頭,流體靜力學基本方程式 中，各項都為長度量綱，統(tǒng)稱為水頭（液柱高）。,* 各項的物理意義：,1在流體靜力學基本方程中，第一項z表示靜止流體（液體）中某點在參考坐標系中的幾何位置，稱為水頭，或水位。顯然，流體質點的位置越高，因這種高度作用形 成的能量愈大，故z可視為

14、單位重量流體的位能。 所以，水頭是一個狀態(tài)的概念，即表示一個位置高度，同時又表示一種能量狀態(tài)。,* 各項的物理意義：,2式中第二項（壓強項）具有長度的單位，同時從能量的觀點看， 可代表單位重量液體所具有的壓能。若液體中某點的壓強為p時，表明該處對應于液柱高產生的壓強。在此壓強的作用下，該點上的液體質點若用一開口玻璃管（稱為測壓管）與大氣相通，則質點將上升一個高度 （稱為測壓管高度或壓強水頭）才靜止下來，此時液體的壓能轉化成高度為 的位能。設此質點質量為dm，此時經轉化得到的位能為dmg 。,故 就代表單位重量液體所具有的壓強勢能，簡稱壓能，壓能是易流動連續(xù)介質中特有的能量形式 。,* 各項的物

15、理意義：,3在靜止流體中，機械能只有位能和壓能，二者之和稱為 勢能。單位重量液體所具有的勢能（ ）稱為單位勢能，通常又稱為測壓管水頭。 于是流體靜力學基本方程亦可表述為： 在重力作用下，同一種連通的靜止流體中，各點的測壓管水頭都彼此相等。,可見：位置水頭（位能）與壓強水頭（壓能）可以互相轉換，但它們之和 測壓管水頭（單位勢能）是保持不變的。,在內有液體的容器壁選定測點，垂直于壁面打孔，接出一端開口與大氣相通的玻璃管，即為測壓管。,O,O,測壓管內的靜止液面上 p = 0 ，其液面高程即為 測點處的 ，所以 叫測壓管水頭。,測壓管水頭的含義,如果容器內的液體是靜止的，一根測壓管測得的測壓管水頭也

16、就是容器內液體中任何一點的測壓管水頭。如接上多根測壓管，則各測壓管中的液面都將位于同一水平面上。,O,O,測靜壓只須一根測壓管,敞口容器和封口容器接上測壓管后的情況如圖,五. 測壓原理和流體壓強的測量,測壓管的一端接大氣，這樣就把測管水頭揭示出來了。再利用液體的平衡規(guī)律，可知連通的靜止液體區(qū)域中任何一點的壓強，包括測點處的壓強。一般用于測相對壓強、小量程壓強 。,1 用測壓管測量,A,一般以水銀為工作液體，可測量較大液體壓強或氣壓（相對壓強），由于連通的靜止液體區(qū)域包括多種液體，故須在它們的分界面處作過渡（利用等壓面）。,2 用U型管測量,即使在連通的靜止流體區(qū)域中任何一點的壓強都不知道，也可

17、利用流體的平衡規(guī)律，知道其中任何二點的壓差，這就是比壓計的測量原理。,3 用比壓計測量,流體的平衡規(guī)律必須在連通的靜止流體區(qū)域（如測壓管中）應用，不能用到管道中去，因為管道中的流體可能是在流動的。,24 非慣性系中液體的平衡,一. 非慣性系中靜止液體的平衡方程,慣性系中靜止液體的平衡方程,非慣性系中靜止液體的平衡方程,這樣非慣性系中平衡方程在處理上就和慣性系沒有區(qū)別了。,替代,用,表面力中仍無切應力,二. 兩個例子,所有流體質點加速度大小、方向都相同，重力加上慣性力仍是均勻的，因此等壓面還是平面，但不再是水平的，除非加速度在鉛垂方向。,相對于勻加速直線運動坐標系靜止的液體,質點加速度為向心加速

18、度，沿水平徑向，與質點離開軸的距離成正比，呈軸對稱情況。單位質量流體的慣性力為離心加速度，與向心加速度反向，重力加上慣性力不再均勻，等壓面成為旋轉拋物面，由于離軸越遠，離心力越大，所以等壓面坡度越陡。,相對于繞鉛垂軸勻速轉動的坐標系靜止的液體,如果鉛垂方向只有重力作用（慣性力在鉛垂方向無分量），那么鉛垂方向壓強分布仍與自由面下垂直距離 h 成正比。,相對平衡原理可用來測量加速度或轉速。,h,l,目的： 研究平衡流體中應力（壓強）的各種特性或規(guī)律，是求作用在水力設施上的總水壓力。,靜止液體對物體表面的總壓力問題？,在已知靜止液體中的壓強分布之后，通過求解物體表面 A 上的矢量積分,即可得到總壓力

19、，實際上這是一個數學問題。,完整的總壓力求解包括其大小、方向 、作用點。,H,這是一種比較簡單的情況，是平行力系的合成，即 作用力垂直于指向作用面。,靜壓強在平面域 A 上分布不均勻，沿鉛垂方向呈線性分布。,25 作用于平面上的靜水總壓力,一.作用在矩形平面上的靜水總壓力,1靜水壓強分布圖（物體表面相對壓強沿水深的分布圖 ） 繪制依據：水靜力學基本方程,繪制步驟： 1按比例，用線段長度代表壓強大小。 2用箭頭代表方向垂直指向作用面。,壓力圖法求矩形平面上的靜水總壓力,H,H,H,h,h,h,2靜水總壓力的計算,令 為壓強分布圖的面積，則, 矩形平面上靜水總壓力等于壓強分布圖的面積 與平面寬度b

20、的乘積 。 總壓力的作用點通過壓強分布圖的形心點C。,梯形壓力分布圖的形心距底邊,三角形壓力分布圖的形心距底邊,結論：,總壓力的大小,二.作用在任意形狀平面上的靜水總壓力,分析法求任意形狀平面上的靜水總壓力,總壓力的作用點：-y方向坐標,其中Ic稱為任意平面A對通過形心C并且與x軸平行的軸線的慣性矩。,總壓力的作用點：-x方向坐標,其中Ixy稱為任意平面A的慣性積。,如果在ox軸方向平面具有對稱性，則總壓力作用點必落在對稱軸oy上，因為壓力分布是對稱的，此時,平面上靜水壓強的平均值為作用面（平面圖形）形心處的壓強pc ；總壓力大小等于作用面形心 C 處的壓強 pc 乘上作用面的面積 A 。 平

21、面上均勻分布力的合力的作用點將是其形心；而在一般情況下，靜壓強分布是不均勻的，浸沒在液面下越深處壓強越大，所以總壓力 的作用點位于作用面形心以下。,結論：,總壓力的大小,特例：對矩形平面用分析法求總壓力,總壓力的作用點：,靜力奇象,由于曲面上各點的法向不同，對曲面 A 求解總壓力 時，必須先分解成各分量計算，然后再合成。,h,H,26 作用于曲面上的靜水總壓力,h,n,Px,Ax,Ax 是曲面 A 沿 x 軸向 oyz 平面的投影，hxC 是平面圖形 Ax 的形心處的水深。,x,z,y,A,x 方向水平力的大小,h,n,Px,Ax,x,z,y,靜止液體作用在曲面上的總壓力在 x 方向分量的大小

22、等于作用在曲面沿 x 軸方向的投影面上的總壓力。,y 方向水平力大小的算法與 x 方向相同。,A,結論：,h,n,Pz,Px,Ax,Az,Az 是曲面 A 沿 z 軸向 oxy 平面的投影，Vp 稱為壓力體，是曲面 A 與 Az 之間的柱體體積。,x,z,y,Vp,A,z 方向水平力的大小,h,n,Pz,Px,Ax,Az,x,z,y,靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂向分量的大小等于壓力體中裝滿此種液體的重量。,總壓力垂向分量的方向根據情況判斷。,Vp,A,結論：, 壓力體是計算曲面上垂直壓力時為便于計算引入的一個概念，它不一定是真正的水體。 壓力體必須由下列界面構成： 1與受壓曲面相接觸的水體

23、面； 2自由液面或其延長面； 3通過曲面的邊緣向液面或液面的延長面所作的鉛垂面。 理解這幾點是正確繪制壓力體的關鍵，關于垂向分力的方向，則很容易判斷，原則為： 當壓力體由實際液體構成時，Pz向下；反之則朝上。 至于Pz的作用線，應通過壓力體的體積形心。（這一點不作要求） 。,關于壓力體這一重要概念，必須指出其特點，以便正確理解：,壓力體應由曲面 A 向上一直畫到液面所在平面。壓力體中，不見得裝滿了液體。,a,有液體,A,A,無液體,復雜柱面的壓力體,嚴格的壓力體的概念是與液體重度 聯系在一起的，這在分層流體情況時，顯得尤為重要。,A,B,Pz,AB面所受垂向力,總壓力各分量的大小已知，總壓力的大小和方向就確定了：,總壓力的作用點為水平方向壓力作用線和過壓力體形心的鉛垂線的交點。,特別地，當曲面是圓柱或球面的一部分時，總壓力是匯交力系的合成，必然通過圓心或球心。,曲面上靜水總壓力的合成,第2章習題,第2次作業(yè)：習題22，24， 26， 28，213。 第3次作業(yè)：習題220 (a)、 (c)、 (g)、(h)， 221， 222，225，227。 課后復習：對照第2章復習思考題進行。,