《自動控制原理》答案李紅星第三章.pdf

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1、3-1 設(shè)系統(tǒng)的微分方程式如下： （1） ) ( 2 ) ( 2 . 0 t r t c = （3）若要求σ%=16%，當(dāng)T 不變時K 應(yīng)當(dāng)取何值？ 圖T3.3 習(xí)題3-6 圖 【解】 ： （1）求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： T K s T s T K K s Ts K s / 1 / ) ( 2 2 + + = + + = Φ 因此有： 25 . 0 2 1 2 / 1 ), ( 8 25 . 0 16 1 = = = = = = ? KT T s T K n n ω ζ ω （2） % 44 % 100 e % 2 - 1 - = = ζ ζπ σ %) 2 )

2、( ( 2 8 25 . 0 4 4 = Δ = = ≈ s t n s ζω （3）為了使σ%=16%，由式 % 16 % 100 e % 2 - 1 - = = ζ ζπ σ 可得 5 . 0 = ζ ，當(dāng)T不變時，有： ) ( 4 25 . 0 4 ) ( 4 25 5 . 1 1 / 1 1 2 2 1 ? ? = = = = = = = s T K s T T n n ω ω . 0 0 2 2 2 ζ ζ 3-7 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 T3.4 所示。已知系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量 σ % %，峰值 時間 s。 3 . 16 = 1 = p t 圖T3.4 習(xí)題3-7 圖 （

3、1） 求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G ； ) (s （2） 求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) Φ ； ) (s（3） 根據(jù)已知的性能指標 σ %、 確定系統(tǒng)參數(shù) p t K 及 τ ； （4） 計算等速輸入 s t t r ) ( 5 . 1 ) ( = 時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解 （1） ) 1 10 ( 10 ) 1 ( 10 1 ) 1 ( 10 ) ( + + = + + + = τ τ s s K s s s s s K s G （2） 2 2 2 2 2 10 ) 1 10 ( 10 ) ( 1 ) ( ) ( n n n s s K s s K s G s G s ω ζω ω τ + + = +

4、+ + = + = Φ （3）由 ? ? ? ? ? = ? = = = ? ? 1 1 3 . 16 2 1 2 ζ ω π σ ζ ζπ n p o o o o t e 聯(lián)立解出 ? ? ? ? ? = = = 263 . 0 63 . 3 5 . 0 τ ω ζ n 由（2） ，得出 18 . 13 63 . 3 10 2 2 = = = n K ω 318 . 1 = K 。 （4） 63 . 3 1 263 . 0 10 18 . 13 1 10 10 ) ( lim 0 = + = + = = → τ K s sG K s v 413 . 0 63 . 3 5 . 1 =

5、 = = v ss K A e 3-8 已知單位反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 ，求 （ 1）開環(huán)傳遞函數(shù) ； （ 2） s n % t σ ω ? ； （ 3）在 作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 。 3-9 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 T3.5 所示， ) 1 25 . 0 )( 1 1 . 0 ( ) ( + + = s s s K s G 試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時的增益 K 的取值范圍。 圖T3.5 習(xí)題3-9 圖 解： 3-10 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 2 2 )( 4 ( ) 1 ( 7 ) ( 2 + + + + = s s s s s s G 試分別求出當(dāng)輸入信號 和 時

6、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 t t t r ), ( 1 ) ( = 2 t 解 ) 2 2 )( 4 ( ) 1 ( 7 ) ( 2 + + + + = s s s s s s G ? ? ? = = 1 8 7 v K 由靜態(tài)誤差系數(shù)法 ) ( 1 ) ( t t r = 時， 0 = ss e t t r = ) ( 時， 14 . 1 7 8 = = = K A e ss 2 ) ( t t r = 時， ∞ = ss e 3-11 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 () (0.1 1)(0.2 1) K GS ss s = + + ， 若 r(t) = 2t ＋2 時，要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

7、0.25，試求K 應(yīng)取何值。 3-12 設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 T3.6 所示， 圖 T3.6 習(xí)題 3-12 圖 （1） 當(dāng) 時，求系統(tǒng)的動態(tài)性能指標 0 25, 0 f KK == % σ 和 s t ； （2） 若使系統(tǒng) ζ =0.5，單位速度誤差 0.1 ss e = 時，試確定 和 0 K f K 值。 （1） %2 5 . 4 % 1.75 ts σ = = （5分） （2） 0 100, 6 f KK = = （5分） 3-13 已知系統(tǒng)的特征方程， 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性， 并確定在右半 s 平面根的個數(shù)及純虛根。 （1） 0 10 11 4 2 2 ) ( 2 3 4 5 =

8、+ + + + + = s s s s s s D （2） 0 48 32 24 12 3 ) ( 2 3 4 5 = + + + + + = s s s s s s D （3） 0 2 2 ) ( 4 5 = ? ? + = s s s s D （4） 0 50 25 48 24 2 ) ( 2 3 4 5 = ? ? + + + = s s s s s s D 解（1） =0 10 11 4 2 2 ) ( 2 3 4 5 + + + + + = s s s s s s D Routh： S 5 1 2 1 1 S 4 2 4 1 0 S 3

9、 ε 6 S 2 ε ε 12 4 ? 1 0 S 6 S 0 10 第一列元素變號兩次，有 2 個正根。 （2） =0 48 32 24 12 3 ) ( 2 3 4 5 + + + + + = s s s s s s D Routh： S 5 1 1 2 3 2 S 4 3 24 48 S 3 31 22 4 3 4 ? = 32 3 48 3 16 ? = 0 S 2 42 431 6 4 12 ? = 4 8 S 12 16 4 48 12 0 ? =

10、 0 輔助方程 , 12 48 0 2 s+= S 2 4 輔助方程求導(dǎo)： 0 24 = s S 0 48 系統(tǒng)沒有正根。對輔助方程求解，得到系統(tǒng)一對虛根 sj 12 2 , = 。 （3） 0 2 2 ) ( 4 5 = ? ? + = s s s s D Routh： S 5 1 0 - 1 S 4 2 0 - 2 輔助方程 0 2 2 4 = ? s S 3 8 0 輔助方程求導(dǎo) 0 8 3 = s S 2 ε - 2 S ε 16 S 0 -2

11、 第一列元素變號一次，有 1 個正根；由輔助方程 可解出： 0 2 2 4 = ? s ) )( )( 1 )( 1 ( 2 2 2 4 j s j s s s s ? + ? + = ? ) )( )( 1 )( 1 )( 2 ( 2 2 ) ( 4 5 j s j s s s s s s s s D ? + ? + + = ? ? + = （4） 0 50 25 48 24 2 ) ( 2 3 4 5 = ? ? + + + = s s s s s s D Routh： S 5 1 24 -25 S 4 2 4 8 - 5 0 輔助方程 0 50 48

12、2 2 4 = ? + s s S 3 8 9 6 輔助方程求導(dǎo) 0 96 8 3 = + s s S 2 24 - 50 S 338/3 S 0 -50 第一列元素變號一次，有 1 個正根；由輔助方程 可解出： 0 50 48 2 2 4 = ? + s s ) 5 )( 5 )( 1 )( 1 ( 2 50 48 2 2 4 j s j s s s s s ? + ? + = ? + ) 5 )( 5 )( 1 )( 1 )( 2 ( 50 25 48 24 2 ) ( 2 3 4 5 j s j s s s s s s

13、s s s s D ? + ? + + = ? ? + + + = 3-14 某控制系統(tǒng)方塊圖如圖 T3.7所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K 值范圍。 圖 T3.7 習(xí)題 3-14 圖 解 由結(jié)構(gòu)圖，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： ) 4 ( ) 1 2 4 ( ) ( 2 3 2 + + + + = s s s s s K s G ? ? ? = = 3 4 v K K k 系統(tǒng)型別 開環(huán)增益 0 2 4 4 ) ( 2 3 4 5 = + + + + + = K Ks Ks s s s s D Routh： S 5 1 4 2K S 4 1 4K K S 3

14、K ) 1 ( 4 K ? ? 1 ? K S ) 1 ( 4 16 47 32 2 K K K ? ? + ? 933 . 0 536 . 0 < ? K ∴使系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 值范圍是： 933 . 0 536 . 0 < < K 。 3-15 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 5 )( 3 ( ) ( + + = s s s K s G 要求系統(tǒng)特征根的實部不大于 ，試確定開環(huán)增益的取值范圍。 1 ? 解 系統(tǒng)開環(huán)增益 15 K K k = 。特征方程為： 0 15 8 ) ( 2 3 = + + + = K s s s s D 做代換 1 ? ′ =s s 有：

15、0 ) 8 ( 2 5 ) 1 ( 15 ) 1 ( 8 ) 1 ( ) ( 2 3 2 3 = ? + ′ + ′ + ′ = + ? ′ + ? + ? ′ = ′ K s s s K s s s s D Routh ： S 3 1 2 S 2 5 K - 8 S 5 18 K ? 18 ? K 使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍為： 15 18 15 15 8 ? T S T TK K + ? + 2 2 1 1 4 2 ? + ? K 綜合所得，使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值 1 4 2 ? + 0 3-17 船舶橫搖鎮(zhèn)定系統(tǒng)方塊圖如圖 T3.

16、8 所示，引入內(nèi)環(huán)速度反饋是為了增加船只的 阻尼。 圖 T3.8 習(xí)題 3-17 圖 （1） 求海浪擾動力矩對船只傾斜角的傳遞函數(shù) ) ( ) ( s M s N Θ ； （2） 為保證 為單位階躍時傾斜角 N M θ 的值不超過 0.1，且系統(tǒng)的阻尼比為 0.5，求 、 和 應(yīng)滿足的方程； 2 K 1 K 3 K （3） 取 =1 時，確定滿足（2）中指標的 和 值。 2 K 1 K 3 K 解 （1） ) 5 . 0 1 ( ) 5 . 0 2 . 0 ( 5 . 0 1 2 . 0 5 . 0 1 2 . 0 5 . 0 1 1 2 . 0 5 . 0 ) ( ) ( 2 1 3 2 2

17、 2 1 2 3 2 2 K K s K K s s s K K s s s K K s s s M s a N + + + + = + + + + + + + + = Θ （2）令： 1 . 0 5 . 0 1 5 . 0 ) ( ) ( 1 lim ) ( ) ( ) ( lim ) ( 2 1 0 0 ≤ + = ? ? = ? = ∞ → → K K s M s s s s M s s M s N s N N s Θ Θ θ 得 。 由 8 2 1 ≥ K K ) ( ) ( s M s N Θ 有： ? ? ? ? ? = + = + = 5 . 0 2 5 . 0 2 . 0 5

18、. 0 1 3 2 3 1 n n K K K K ω ξ ω ， 可得 2 1 3 2 5 . 0 1 25 . 0 2 . 0 K K K K + = + （3） 時， ， 1 2 = K 8 1 ≥ K 5 25 . 0 2 . 0 3 ≥ + K ，可解出 。 072 . 4 3 ≥ K 3-18 系統(tǒng)方塊圖如圖 T3.9 所示。 試求局部反饋加入前、 后系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)、 靜態(tài)速度誤差系數(shù)和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。 圖 T3.9 習(xí)題 3-18 圖 解：局部反饋加入前，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1 ( ) 1 2 ( 10 ) ( 2 + + = s s s s G ∞ =

19、 = ∞ → ) ( lim s G K s p ∞ = = → ) ( lim 0 s sG K s v 10 ) ( lim 2 0 = = → s G s K s a 局部反饋加入后，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 20 ( ) 1 2 ( 10 1 20 1 1 ( 10 1 2 ) ( 2 + + + = + + + ? + = s s s s s s s s s s G ） （ ） ∞ = = → ) ( lim 0 s G K s p 5 . 0 ) ( lim 0 = = → s sG K s v 0 ) ( lim 2 0 = = → s G s K s a 3-19 系統(tǒng)方

20、塊圖如圖 T3.10 所示。已知 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 2 1 t t n t n t r = = = ，試分別計算 作用時的穩(wěn)態(tài)誤差，并說明積分環(huán)節(jié)設(shè)置位置對減小輸入和干擾作用下 的穩(wěn)態(tài)誤差的影響。 ) ( ) ( ), ( 2 1 t n t n t r 和 圖 T3.10 習(xí)題 3-19 圖 解 ) 1 )( 1 ( ) ( 2 1 + + = s T s T s K s G ? ? ? = 1 v K ) ( 1 ) ( t t r = 時， ； 0 = ssr e K s T s T s s T s T s T s K s T s s N s E s en + +

21、 + + ? = + + + + ? = = Φ ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( ) ( ) ( 2 1 1 2 1 2 1 1 ) ( 1 ) ( 1 t t n = 時， K s s s s N s s e en s en s ssn 1 1 ) ( lim ) ( ) ( lim 1 1 1 0 1 0 ? = Φ = Φ = → → K s T s T s s T s s T s T s K s T s N s E s en + + + + ? = + + + + ? = = Φ ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 (

22、 1 ) 1 ( 1 ) ( ) ( ) ( 2 1 1 2 1 2 2 2 ) ( 1 ) ( 2 t t n = 時， 0 1 ) ( lim ) ( ) ( lim 2 1 2 0 2 0 = Φ = Φ = → → s s s s N s s e en s en s ssn 在反饋比較點到干擾作用點之間的前向通道中設(shè)置積分環(huán)節(jié)， 可以同時減小由輸入和干 擾因引起的穩(wěn)態(tài)誤差。 3-20 系統(tǒng)方塊圖如圖 T3.11 所示。 圖 T3.11 習(xí)題 3-20 圖 （1） 為確保系統(tǒng)穩(wěn)定，如何取K 值？ （2） 為使系統(tǒng)特征根全部位于 平面 s 1 ? = s 的左側(cè)，K 應(yīng)取何值？ （3）

23、 若 時，要求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差 2 2 ) ( + = t t r 25 . 0 ≤ ss e ，K 應(yīng)取何值？ 解 ) 5 )( 10 ( 50 ) ( + + = s s s K s G ? ? ? = 1 v K （1） K s s s s D 50 50 15 ) ( 2 3 + + + = Routh： 0 50 15 15 ) 15 ( 50 50 15 50 1 0 1 2 3 > → < → ? K K s K K s K s s 系統(tǒng)穩(wěn)定范圍： 15 0 < → ? ′ = < → ? ′ ? ′ ′ K K s K K s K s s 滿足要求的范圍是： 24 .

24、6 72 . 0 < < K （3）由靜態(tài)誤差系數(shù)法 當(dāng) 2 2 ) ( + = t t r 時，令 25 . 0 2 ≤ = K e ss 得 。 8 ≥ K 綜合考慮穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差要求可得： 15 8 K 0 ≥ β 。試分析： （1） β 值變化(增大)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響； （2） β 值變化(增大)對動態(tài)性能（ % σ ， ）的影響； s t （3） β 值變化(增大)對 作用下穩(wěn)態(tài)誤差的影響。 t a t r = ) ( 圖 T3.14 習(xí)題 3-23 圖 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) ( 1 ) ( 2 2 1 2 2 1 K s s K K s K s K K s G β

25、 β + = ? + = ? ? ? = = 1 1 v K K β 2 1 2 2 2 1 ) ( K K s K s K K s + + = Φ β ? ? ? ? ? = = = 1 2 2 1 2 2 1 2 2 K K K K K K K n β β ξ ω 2 1 2 2 ) ( K K s K s s D + + = β （1）由 表達式可知，當(dāng) ) (s D 0 = β 時系統(tǒng)不穩(wěn)定， 0 > β 時系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。 （2）由 β ξ 1 2 2 1 K K = 可知， ? ? ? ? ? ↓ = = ↓ → ↑ ↑ 2 7 5 . 3 K t n s o o β

26、 ξω σ ξ β ) 1 0 ( < + 即可滿足穩(wěn)定條件。 （2）令 2 1 2 1 1 2 2 1 2 0 0 0 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( ( ) 1 )( 1 ( lim ) ( ) ( lim K K s T s T s s T s G K s T s T s s V s s R s s e c s e s ss + + + + ? + + ? ? = ? Φ = → → 0 ) ( 1 lim 2 2 1 0 0 = ? ? ? ? ? ? ? = → s s G K K K V c s 可得 2 ) ( K s s G c = Matlab 習(xí)題 3-26 設(shè)控制

27、系統(tǒng)的方框圖如圖 3.4.2 所示，當(dāng)有單位階躍信號作用于系統(tǒng)時，試求系統(tǒng)的 暫態(tài)性能指標t p 、t s 和σ%。 R(s) ) 6 ( + s s 25 C(s) 圖 T3.17 習(xí)題 3-26 圖 【解】 ：求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 25 6 25 ) ( 2 + + = Φ s s s 因此有： ) ( 93 . 0 1 . 53 1 ) ( 4 1 , 6 . 0 ), ( 5 2 1 1 2 1 rad tg s s n d n = = ? = = ? = = = ? ? ? o ζ ζ β ζ ω ω ζ ω 上升時間tr： ) ( 55 . 0 4 93 . 0 1

28、4 . 3 s t d r = ? = ? = ω β π 峰值時間tp： ) ( 785 . 0 4 14 . 3 s t d p = = = ω π 超調(diào)量σ%： % 5 . 9 % 100 095 . 0 % 100 e % 2 - 1 - = = = ζ ζπ σ 調(diào)節(jié)時間ts： %) 2 )( ( 33 . 1 5 6 . 0 4 4 = Δ = = ≈ s t n s ζω Matlab 程序：chpthree2.m num=[25];de n=[1,6,25]; %系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) sys=tf[num,den]; %建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 t=0:0.02

29、:4; figure step(sys,t);grid %系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 3-27 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 5 ( 25 ) ( + = s s s G 試用 MATLAB 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求各靜態(tài)誤差系數(shù)和 時的穩(wěn)態(tài)誤 差 ； 2 5 . 0 2 1 ) ( t t t r + + = ss e 解 （1） ) 5 ( 25 ) ( + = s s s G ? ? ? = = 1 5 v K ∞ = + = = → → ) 5 ( 25 lim ) ( lim 0 0 s s s G K s s p 5 5 25 lim ) ( lim 0 0 = + = = → → s s G s K s s v 0 5 25 lim ) ( lim 0 2 0 = + = = → → s s s G s K s s a 時， ) ( 1 ) ( 1 t t r = 0 1 1 1 = + = p ss K e 時， t t r 2 ) ( 2 = 4 . 0 5 2 2 = = = v ss K A e 2 3 5 . 0 ) ( t t r = 時， ∞ = = = 0 1 3 a ss K A e 由疊加原理 ∞ = + + = 3 2 1 ss ss ss ss e e e e