2019屆高考數(shù)學二輪復習 查漏補缺課時練習（二十三）第23講 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用 文

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1、課時作業(yè)(二十三)　第23講　正弦定理和余弦定理的應(yīng)用 時間 /45分鐘　分值 /90分 基礎(chǔ)熱身 1.在相距500m的A,B兩點處測量目標點C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,則A,C兩點之間的距離為 (　　) A.1256m B.2506m C.1006m D.756m 圖K23-1 2.如圖K23-1,一艘海輪從A處出發(fā),以每小時42海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,20分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是 (　　) A.72 海里 B.82 海里 C.1

2、03 海里 D.123 海里 圖K23-2 3.如圖K23-2所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東20°,燈塔B在觀察站C的南偏東40°,則燈塔A與B之間的距離為 (　　) A.akm B.2akm C.2akm D.3akm 4.輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港C,兩船航行方向的夾角為120°,兩船的航行速度分別為25nmile/h,15nmile/h,則下午2時兩船之間的距離是　　　　nmile.? 能力提升 5.已知A,B,C是海面上的三座島嶼,測得∠ABC=30°,∠BAC=105°,從島嶼A到島嶼C需要30min,

3、按照同樣的速度,從島嶼A到島嶼B需要(取2≈1.4,3≈1.7) (　　) A.51min B.42min C.39min D.36min 圖K23-3 6.如圖K23-3,測量河對岸的塔高AB時,可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D,測得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30m,并在點C測得塔頂A的仰角為60°,則塔高AB等于 (　　) A.56m B.153m C.52m D.156m 圖K23-4 7.如圖K23-4,飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi),若飛機的高度為海拔18km,速度為1000km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°,經(jīng)過1mi

4、n后又看到山頂?shù)母┙菫?5°,則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km,參考數(shù)據(jù):3≈1.732) (　　) A.11.4km B.6.6km C.6.5km D.5.6km 圖K23-5 8.如圖K23-5所示,一艘海輪從A處出發(fā),測得燈塔在海輪的北偏東15°方向,與海輪相距20nmile的B處,海輪按北偏西60°的方向航行了30min后到達C處,又測得燈塔在海輪的北偏東75°的方向,則海輪的速度為 (　　) A.32nmile/min B.23nmile/min C.63nmile/min D.33nmile/min 圖K23-6 9.校運動會開幕式上舉行升旗儀式,旗桿

5、正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方,從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°,第一排和最后一排的距離為106m(如圖K23-6所示),旗桿底部與第一排在一個水平面上.若國歌時長為50s,要求升旗手勻速升旗,則升旗速度是 (　　) A.0.4m/s B.0.6m/s C.0.7m/s D.0.8m/s 10.江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船,船與炮臺底部在同一水平面上,由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°,而且兩條船與炮臺底部連線成30°角,則兩條船相距　　　　m.? 圖K23-7 11.如圖K23-7,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,

6、到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=　　　　m.? 12.(12分)如圖K23-8所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20nmile的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,求cosθ的值. 圖K23-8 13.(13分)某航模興趣小組的同學,為了測定在湖面上航模航行的速度,采用如下辦法:在岸邊設(shè)置兩個觀察點A,B,且AB長為80

7、m,當航模在C處時,測得∠ABC=105°和∠BAC=30°,經(jīng)過20s后,航模直線航行到D處,此時測得∠BAD=90°和∠ABD=45°.請你根據(jù)以上條件求出航模的速度.(答案保留根號) 圖K23-9 難點突破 14.(5分)如圖K23-10,據(jù)氣象部門預(yù)報,在距離某碼頭南偏東45°方向600km處的熱帶風暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動,距風暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響,則該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間為 (　　) A.14h B.15h C.16h D.17h 圖K23-10 圖K23-11 15

8、.(5分)[2018·南昌二模] 如圖K23-11,有一塊半徑為20米,圓心角∠AOB=2π3的扇形展示臺,展示臺被分成了四個區(qū)域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC和扇形BOD(其中∠AOC=∠BOD).某次菊花展分別在這四個區(qū)域按上述順序依次擺放泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜、朱砂紅霜,預(yù)計這三種菊花展示帶來的日效益依次是50元/米2,30元/米2,40元/米2.為使預(yù)計日總效益最大,∠COD的余弦值應(yīng)等于　　　　.? 課時作業(yè)(二十三) 1.B　[解析] 在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,由正弦定理得ACsin 60°=500sin 45°,所以AC=5

9、00×3222=2506(m).故選B. 2.A　[解析] 依題意,在 △ABC中,AB=42×2060=14(海里),∠CAB=30°,∠ACB=45°,根據(jù)正弦定理得BCsin 30°=ABsin 45°,解得BC=72(海里).故選A. 3.D　[解析] 由題圖可知,∠ACB=120°,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=a2+a2-2·a·a·-12=3a2,解得AB=3a(km).故選D. 4.70　[解析] 設(shè)兩船之間的距離為dnmile,則d2=502+302-2×50×30×cos120°=4900,所以d=70(nmile),即兩船相

10、距70nmile. 5.B　[解析] 設(shè)從島嶼A到島嶼C的速度為v,從島嶼A到島嶼B需要tmin,由正弦定理,得30vsin 30°=vtsin(180°-30°-105°),得t=30sin 45°sin 30°=302≈42(min).故選B. 6.D　[解析] 在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°,由正弦定理得BCsin 30°=30sin 135°,所以BC=152(m).在直角三角形ABC中,AB=BCtan∠ACB=152×3=156(m).故選D. 7.B　[解析] 因為AB=1000×160=503(km),∠ACB=45°,在△ABC中,由正弦定理

11、得BC=ABsin 45°·sin30°=5032(km),所以航線離山頂?shù)母叨萮=5032sin75°=5032×sin(45°+30°)≈11.4(km).所以山頂?shù)暮０胃叨葹?8-11.4=6.6(km).故選B. 8.C　[解析] 由已知得∠ACB=45°,∠B=60°,由正弦定理得ACsinB=ABsin∠ACB,所以AC=ABsinBsin∠ACB=20×sin 60°sin 45°=106(nmile),所以海輪航行的速度為10630=63(nmile/min).故選C. 9.B　[解析] 依題意可知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,所以∠EAC

12、=180°-45°-105°=30°.由正弦定理可知CEsin∠EAC=ACsin∠CEA,所以AC=CEsin∠CEAsin∠EAC=203(m).所以在直角三角形ABC中,AB=AC·sin∠ACB=203×32=30(m).因為國歌時長為50s,所以升旗速度為3050=0.6(m/s).故選B. 10.103　[解析] 如圖,設(shè)炮臺的頂部為A,底部為O,兩條小船分別為M,N,且由炮臺頂部測得M的俯角為60°,由炮臺頂部測得N的俯角為45°,則AO=30m,∠AMO=60°,∠ANO=45°,∠MON=30°,ON=AOtan45°=30(m),OM=AOtan30°=33×30=103

13、(m),在△MON中,由余弦定理得MN=900+300-2×30×103×32=300=103(m). 11.1006　[解析] 依題意,在△ABC中,AB=600m,∠BAC=30°,∠ACB=75°-30°=45°,由正弦定理得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB,即BCsin 30°=600sin 45°,所以BC=3002(m).在△BCD中,∠CBD=30°,CD=BCtan∠CBD=3002×tan30°=1006(m). 12.解:在△ABC中,AB=40nmile,AC=20nmile,∠BAC=120°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos1

14、20°=2800,得BC=207(nmile).由正弦定理,得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,所以sin∠ACB=ABBC·sin∠BAC=217.由∠BAC=120°,知∠ACB為銳角,則cos∠ACB=277.由θ=∠ACB+30°,得cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=2114. 13.解:在△ABD中,因為∠BAD=90°,∠ABD=45°, 所以∠ADB=45°, 所以AD=AB=80m,所以BD=802m. 在△ABC中,∠ACB=180°-105°-30°=45°,由正弦定理得BCsin30°=ABsin4

15、5°, 所以BC=ABsin30°sin45°=80×1222=402(m). 在△DBC中,DC2=DB2+BC2-2DB·BCcos60°=(802)2+(402)2-2×802×402×12=9600. 所以DC=406(m),航模的速度v=40620=26(m/s). 故航模的速度為26m/s. 14.B　[解析] 記開始熱帶風暴中心的位置為點A,t小時后熱帶風暴中心到達B點位置,在△OAB中,OA=600,AB=20t,∠OAB=45°,根據(jù)余弦定理得OB2=6002+400t2-2×600×20t×22,令OB2≤4502,得4t2-1202t+1575≤0,解得302-

16、152≤t≤302+152,所以該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間為302+152-302-152=15(h). 15.12　[解析] 設(shè)∠COD=θ0<θ<2π3,則∠AOC=∠BOD=π3-θ2.展示臺的各區(qū)域的面積依次為S△OCD=12×202sinθ=200sinθ,S弓形CMD=12×202×θ-12×202sinθ=200θ-200sinθ,S扇形AOC=S扇形BOD=12×202×π3-θ2=200π3-θ2,所以預(yù)計日總效益y=S△OCD×50+S弓形CMD×30+(S扇形AOC+S扇形BOD)×40=20002sinθ-θ+8π3.令f(θ)=2sinθ-θ+8π3,則f'(θ)=2cosθ-1.當0<θ<π3時,f'(θ)>0,當π3<θ<2π3時,f'(θ)<0,所以當f'(θ)=0,即cosθ=12時,f(θ)取得最大值,即預(yù)計日總效益最大,所以∠COD的余弦值等于12. 8