（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 考前強化練9 解答題綜合練B 文

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1、考前強化練9　解答題綜合練B 1.已知函數(shù)f(x)=12x2+mx(m>0),數(shù)列{an}的前n項和為Sn.點(n,Sn)在f(x)圖象上,且f(x)的最小值為-18. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)數(shù)列{bn}滿足bn=2an(2an-1)(2an+1-1),記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求證:Tn<1. 2. (2019山西大同高三三模,文18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底部ABCD為菱形,E為CD的中點. (1)求證:BD⊥平面PAC; (2)若∠ABC=60°,求證:平面PAB⊥平面P

2、AE; (3)棱PB上是否存在點F,使得CF∥平面PAE?說明理由. 3.2017高考特別強調(diào)了要增加對數(shù)學(xué)文化的考查,為此某校高三年級特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的專題訓(xùn)練卷(文、理科試卷滿分均為100分),并對整個高三年級的學(xué)生進行了測試.現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機抽取了50名學(xué)生的成績,按照成績[50,60),[60,70),…,[90,100]分成了5組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖(假定每名學(xué)生的成績均不低于50分). (1)求頻率分布直方圖中的x的值,并估計所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)(同一

3、組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表); (2)若高三年級共有2 000名學(xué)生,試估計高三學(xué)生中這次測試成績不低于70分的人數(shù); (3)若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于70分的三組學(xué)生中抽取6人,再從這6人中隨機抽取3人參加這次考試的考后分析會,試求后兩組中至少有1人被抽到的概率. 4.(2019河北石家莊高三模擬,文20)已知拋物線C:y2=2px(p>0)上一點P(x0,2)到焦點F的距離|PF|=2x0. (1)求拋物線C的方程; (2)過點P引圓M:(x-3)2+y2=r2(0

4、C的另一交點分別為A,B,線段AB中點的橫坐標記為t,求t的取值范圍. 5.(2019山東濰坊高三二模,理)已知函數(shù)f(x)=xex-1-aln x(無理數(shù)e=2.718…). (1)若f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍; (2)當a=0時,設(shè)g(x)=ex·f(x)-x2-x,證明:當x>0時,g(x)>1-ln22-ln222. 6.已知直線l的參數(shù)方程為x=4+22t,y=22t(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為

5、極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=4cos θ,直線l與圓C交于A,B兩點. (1)求圓C的直角坐標方程及弦AB的長; (2)動點P在圓C上(不與A,B重合),試求△ABP的面積的最大值. 7.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x+1|. (1)求函數(shù)f(x)的值域M; (2)若a∈M,試比較|a-1|+|a+1|,32a,72-2a的大小. 參考答案 考前強化練9　解答題綜合練B 1.(1)解f(x)=12(x+m)2-m22,故f(x)的最小值為-m22=-18,又m>

6、0,所以m=12,即Sn=12n2+12n,所以當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n;當n=1時,a1=1也適合上式,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=n. (2)證明由(1)知bn=2an(2an-1)(2an+1-1)=12n-1-12n+1-1, 所以Tn=1-13+13-17+…+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1,所以Tn<1. 2.(1)證明因為PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥BD. 因為底面ABCD是菱形, 所以AC⊥BD. 因為PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC, 所以BD⊥平面PAC. (2)證明因為底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,

7、 所以△ACD為正三角形, 所以AE⊥CD, 因為AB∥CD,所以AE⊥AB. 因為PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,所以AE⊥PA. 因為PA∩AB=A, 所以AE⊥平面PAB. 因為AE?平面PAE, 所以平面PAB⊥平面PAE. (3)解存在點F為PB中點時,滿足CF∥平面PAE.理由如下: 分別取PB,PA的中點F,G,連接CF,FG,EG. 在△PAB中,FG∥AB且FG=12AB. 在菱形ABCD中,E為CD的中點,所以CE∥AB且CE=12AB, 所以CE∥FG且CE=FG,即四邊形CEGF為平行四邊形, 所以CF∥EG. 又CF?平面PAE

8、,EG?平面PAE, 所以CF∥平面PAE. 3.解(1)由頻率分布直方圖可得第4組的頻率為1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2,故x=0.02. 故可估計所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)為(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=74(分). 由于前兩組的頻率之和為0.1+0.3=0.4,前三組的頻率之和為0.1+0.3+0.3=0.7, 故中位數(shù)在第3組中.設(shè)中位數(shù)為t分,則有(t-70)×0.03=0.1,所以t=7313,即所求的中位數(shù)為7313分. (2)由(1)可知,50名學(xué)生中成績不低于70分的頻率為0.3+0.2+

9、0.1=0.6, 由以上樣本的頻率,可以估計高三年級2000名學(xué)生中成績不低于70分的人數(shù)為2000×0.6=1200. (3)由(1)可知,后三組中的人數(shù)分別為15,10,5,故這三組中所抽取的人數(shù)分別為3,2,1.記成績在[70,80)這組的3名學(xué)生分別為a,b,c,成績在[80,90)這組的2名學(xué)生分別為d,e,成績在[90,100]這組的1名學(xué)生為f,則從中任抽取3人的所有可能結(jié)果為(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,f),(a,c,d),(a,c,e),(a,c,f),(a,d,e),(a,d,f),(a,e,f),(b,c,d),(b,c,e),(b,c,

10、f),(b,d,e),(b,d,f),(b,e,f),(c,d,e),(c,d,f),(c,e,f),(d,e,f)共20種. 其中后兩組中沒有人被抽到的可能結(jié)果為(a,b,c),只有1種, 故后兩組中至少有1人被抽到的概率為P=1-120=1920. 4.解(1)由拋物線定義,得|PF|=x0+p2, 由題意得2x0=x0+p2,2px0=4,p>0,解得p=2,x0=1, 所以拋物線的方程為y2=4x. (2)由題意知,過P引圓(x-3)2+y2=r2(0

11、k1+2|k12+1=r, 整理得,(r2-4)k12-8k1+r2-4=0. 設(shè)切線PB的方程為y=k2(x-1)+2,同理可得(r2-4)k22-8k2+r2-4=0. 所以,k1,k2是方程(r2-4)k2-8k+r2-4=0的兩根,k1+k2=8r2-4,k1k2=1. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由y=k1(x-1)+2,y2=4x,得k1y2-4y-4k1+8=0, 由韋達定理知,2y1=8-4k1k1, 所以y1=4-2k1k1=4k1-2=4k2-2, 同理可得y2=4k1-2. 設(shè)點D的橫坐標為x0,則x0=x1+x22=y12+y228=(4k

12、2-2)2+(4k1-2)28=2(k12+k22)-2(k1+k2)+1=2(k1+k2)2-2(k1+k2)-3. 設(shè)t=k1+k2,則t=8r2-4∈[-4,-2), 所以x0=2t2-2t-3,對稱軸t=12>-2,所以90, ∴函數(shù)h(x)=(x+x2)ex-1在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增. ∴a≤h(1)=2. ∴實數(shù)a的取值范圍是(-

13、∞,2]. (2)證明當a=0時,g(x)=ex·f(x)-x2-x=ex-x2-x. g'(x)=ex-2x-1. 令u(x)=g'(x)=ex-2x-1, 則u'(x)=ex-2,可得x=ln2時,函數(shù)u(x)取得極小值, g'(ln2)=u(ln2)=1-2ln2<0. ∵g'(0)=0,又g'1+12ln2=e1+12ln2-21+12ln2-1=2e-3-ln2>0. ∴存在x0∈ln2,1+12ln2,使得g'(x0)=ex0-2x0-1=0,ex0=2x0+1. 由單調(diào)性可得,當x=x0時,函數(shù)g(x)取得極小值,即最小值, ∴g(x)≥g(x0)=ex0-x0

14、2-x0=2x0+1-x02-x0=-x02+x0+1=-x0-122+54. 由x0∈ln2,1+12ln2,可得函數(shù)y=g(x0)單調(diào)遞減, 故g(x)≥g(x0)>-1+12ln2-122+54>1-ln22-ln222. ∴當x>0時,g(x)>1-ln22-ln222. 6.解(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ, 所以x2+y2-4x=0,所以圓C的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4. 將直線l的參數(shù)方程代入圓C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+22t=0,解得t1=0,t2=-22, 所以直線l被圓C截得的弦長為|t1-t2|=22. (2)直線l的

15、普通方程為x-y-4=0. 圓C的參數(shù)方程為x=2+2cosθ,y=2sinθ(θ為參數(shù)), 可設(shè)圓C上的動點P(2+2cosθ,2sinθ),則點P到直線l的距離d=2+2cosθ-2sinθ-42=|2cosθ+π4-2|. 當cosθ+π4=-1時,d取最大值,且d的最大值為2+2, 所以S△ABP≤12×22×(2+2)=2+22,即△ABP的面積的最大值為2+22. 7.解(1)f(x)=-3x,x<-1,2-x,-1≤x≤12,3x,x>12,根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性可知,當x=12時,f(x)min=f12=32. 所以函數(shù)f(x)的值域M=32,+∞. (2)∵a∈M,∴a≥32,∴0<32a≤1. 又|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a≥3,∴a≥32,知a-1>0,4a-3>0, ∴(a-1)(4a-3)2a>0,∴32a>72-2a, 所以|a-1|+|a+1|>32a>72-2a. 14