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2、過程中剛體上的任意一條直在運動過程中剛體上的任意一條直線在各個時刻的位置都線在各個時刻的位置都相互平行相互平行任意任意質元質元運動都代表運動都代表整體整體運動運動ABA B A B 剛體平動剛體平動 質點運動質點運動 可利用質心可利用質心運動定理來研究運動定理來研究剛體的平動剛體的平動cFma 外外4 組成剛體的各質點都繞某一直線做組成剛體的各質點都繞某一直線做圓周運動圓周運動.這條線為這條線為轉軸轉軸。若轉軸相對于給定的參考系在空若轉軸相對于給定的參考系在空間固定不動，則稱為間固定不動，則稱為剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動。2.1.2 剛體定軸轉動的運動學描述剛體定軸轉動的運動學描述定軸轉動的
3、特點：定軸轉動的特點：(1)線量不同，但角量相同。線量不同，但角量相同。(2)角速度矢量角速度矢量 的方向均沿軸線。的方向均沿軸線。剛體的一般運動剛體的一般運動（如：運行的車輪）（如：運行的車輪）質心的平動質心的平動繞質心的轉動繞質心的轉動+5定軸轉動的描述定軸轉動的描述 組成剛體的質點在各自的轉組成剛體的質點在各自的轉動平面內作動平面內作圓周運動，圓周運動，應應用角量用角量描述定軸轉動問題。描述定軸轉動問題。1)角位移角位移 :在在 t 時間內剛體轉動角度時間內剛體轉動角度2)角速度角速度 :0limtt 3)角加速度角加速度 :0limtt z剛體定軸轉動剛體定軸轉動ddtddt22ddt
4、轉動平面轉動平面zr v 減速減速 加速加速6rva切向分量切向分量 ddddtarrttv法向分量法向分量 22narrvzvOP線量與角量關系線量與角量關系rddSr ddS勻變速直線運動勻變速直線運動ddtddtddStvddatv0atvv2012Statv2202aSvv勻變速定軸轉動勻變速定軸轉動0t2012tt2202Pz*OsinMFdFrMFrd :力臂力臂sindr 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉軸旋轉,力力 作用在剛體上點作用在剛體上點 P,且在轉動平且在轉動平面內面內,為由點為由點O 到力的作用點到力的作用點 P 的徑矢。的徑矢。FrMrF 對轉軸對轉軸 Z 的的 FMr
5、 F/FFFMrF/sinzMrF（1）若力若力 不在轉動平面內，把力分解為平行和垂直于轉動不在轉動平面內，把力分解為平行和垂直于轉動平面的兩個分量平面的兩個分量 F（2）等于各等于各。123MMMM其中其中 對轉軸的力矩為零，對轉軸的力矩為零，故故 對轉軸的力矩為對轉軸的力矩為FFzOkFrF/F（3）剛體內剛體內和和的的。ijjiMMjririjjiFi jFdOijMjiM（4）對于質點）對于質點MrFOzrFsinMr FzOimiriF if iiiF niFinfif PiF if im 對于定軸轉動的剛體而對于定軸轉動的剛體而言，設言，設 和和 分別為作分別為作用于質元用于質元
6、上的外力和內上的外力和內力在轉動平面內的分量。力在轉動平面內的分量。為剛體內任意質元。為剛體內任意質元。im根據牛頓第二定律：根據牛頓第二定律：iiiiFfm a iiiiFfm a nnniiiiFfm a 自然坐標系下的分量式：自然坐標系下的分量式：OimiriF if iiiF niFinfif Pziiii iiFfrm ra()法向分量法向分量 和和 對轉軸對轉軸力矩為零。力矩為零。niF nif OimiriF if iiiF niFinfif Pz1,2,3,i 直至取遍整個剛體。直至取遍整個剛體。2()iiiii iiiiF rf rm r 則對整個剛體，有：則對整個剛體，有：
7、作用于剛體內每一質元上的內力矩的矢量和為零，即作用于剛體內每一質元上的內力矩的矢量和為零，即0iiif r 切向分量：切向分量：iiiiFfm a ir兩端同乘兩端同乘 ：i im r2 2i iiJm r 定義：剛體的轉動慣量定義：剛體的轉動慣量iiiF r 為作用于剛體內每一質元上的外力矩的矢量和。為作用于剛體內每一質元上的外力矩的矢量和。iiiMF r MJ 則有：則有：即：即：MJ 轉動定律：轉動定律：剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外 力矩成正比力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比。，與剛體的轉動慣量成反比。剛體定軸轉動的基本動力學規(guī)律。剛體定軸轉
8、動的基本動力學規(guī)律。物理意義物理意義 剛體轉動慣性的量度剛體轉動慣性的量度。質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量：質量的微元：質量的微元md2i iiJmr 對于質量離散分布剛體的轉動慣量對于質量離散分布剛體的轉動慣量2221 12 2i iiJmrmrm r 220limii imiJmrr dm2 對質量線分布的剛體：對質量線分布的剛體：lmdd為質量線密度為質量線密度2 對質量面分布的剛體：對質量面分布的剛體：Smdd為質量面密度為質量面密度2 對質量體分布的剛體：對質量體分布的剛體：Vmdd為質量體密度為質量體密度解解 設棒的線密度為設棒的線密度為 ，取一距離轉軸，取一
9、距離轉軸 OO 為為 處的質量元處的質量元 rrmddlrrJ02d32/02121d2lrrJl231mllO OrdrrrmrJddd22例例1 一一質量為質量為 、長為長為 的的均勻細長棒，求通過棒中心并與均勻細長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量。棒垂直的軸的轉動慣量。ml2121ml*如轉軸過端點垂直于棒如轉軸過端點垂直于棒rd2l2lO Or2dmJRm例例2 一質量為一質量為 、半徑為、半徑為 的均勻圓環(huán)，求通過環(huán)中心的均勻圓環(huán)，求通過環(huán)中心 O 并并與環(huán)所在平面垂直的軸的轉動慣量與環(huán)所在平面垂直的軸的轉動慣量。mR設圓環(huán)線密度為設圓環(huán)線密度為 ，ddml則則2ddJRm圓
10、環(huán)對軸的轉動慣量圓環(huán)對軸的轉動慣量解：解：d l在環(huán)上取微元在環(huán)上取微元ORd l2dmRm2mRRm2OROR302dRJrrr dr例例3 一質量為一質量為 、半徑為、半徑為 的均勻圓盤，求通過盤中心的均勻圓盤，求通過盤中心 O 并并與盤面垂直的軸的轉動慣量與盤面垂直的軸的轉動慣量。mR解：設圓盤面密度為解：設圓盤面密度為 ，在盤上，在盤上取半徑為取半徑為 ，寬為，寬為 的圓環(huán)的圓環(huán)rrd2 Rm而而rrmd2d圓環(huán)質量圓環(huán)質量221mRJ 所以所以2ddJrm圓環(huán)對軸的轉動慣量圓環(huán)對軸的轉動慣量32drr42R竿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？飛輪的質量為什么大都飛輪的質量
11、為什么大都分布于外輪緣？分布于外輪緣？182.3.1 力矩的功力矩的功21dAM力矩作功力矩作功ddAPt力矩的力矩的瞬時瞬時功率功率OdrFvP|d|rddA Frcos|d|FrcosdFrcosMFrddAMddMtM元功：元功：俯視圖俯視圖2.3 機械能守恒機械能守恒192.3.2 轉動動能轉動動能 動能定理動能定理22211122AJJ合外力矩對繞定軸轉動的剛體所作合外力矩對繞定軸轉動的剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量的功等于剛體轉動動能的增量.21dAM21dJ 22211122JJ21kkAEE定軸轉動動能定理定軸轉動動能定理21dd()2MJddkAE轉過轉過d 角角設合外力
12、矩設合外力矩M，剛體繞定軸轉動剛體繞定軸轉動ddAM合外力矩合外力矩M做的元功做的元功系統(tǒng)機械能改變了系統(tǒng)機械能改變了21dd()2kEJdJ 如圖所示，剛體的重力勢能等于剛體的全部質量集中在重心處的質點的重力勢能。剛體的重力勢能剛體的重力勢能 剛體的重力勢能為：piiiEmghgmh 剛體作為質點系，必然遵從一般質點系的功能原理和機械能守恒定律。在使用的時，要注意剛體定軸轉動的一些特殊性。OhXimChihcmiiLLOirimivJL zLJ描述剛體定軸轉動的狀態(tài)。描述剛體定軸轉動的狀態(tài)。LJ、應該具有同軸性。應該具有同軸性。2ii iii iLm rm r vi iiim rv2()i
13、iim r2121dttM tJJ*對于對于而言，定軸轉動的角動量定理可以表述為而言，定軸轉動的角動量定理可以表述為212121dttJJM tdd()ddLJMtt 角動量守恒定律是自然界的一個基本定律。角動量守恒定律是自然界的一個基本定律。內力矩不改變系統(tǒng)的角動量。內力矩不改變系統(tǒng)的角動量。守守 恒條件恒條件0M若若 不變，不變，不變；若不變；若 變，變，也變，但也變，但 不變。不變。JJLJ0M LJ常量，則，則若若討論：討論：MM外內 在在沖擊沖擊等問題中，等問題中，L常量常量24跳水中的角動量守恒現象跳水中的角動量守恒現象角動量守恒實例角動量守恒實例 有許多現象都可以用角動量守恒來說明有許多現象都可以用角動量守恒來說明 跳水運動員跳水跳水運動員跳水 花樣滑冰花樣滑冰mm1r2r 茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳
大學物理基礎教程 教學課件 尹國盛 第二章 剛體的定軸轉動
