2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第4講 基本不等式練習(xí) 理 北師大版

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1、第4講 基本不等式 [基礎(chǔ)題組練] 1．下列不等式一定成立的是(　　) A．lg>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 解析：選C.對于選項A，當(dāng)x>0時，x2＋－x＝≥0，所以lg≥lg x； 對于選項B，當(dāng)sin x<0時顯然不成立； 對于選項C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立； 對于選項D，因為x2＋1≥1， 所以0<≤1.故選C. 2．(2020·廣西欽州期末)已知a，b∈R，a2＋b2＝15－ab，則ab的最大值是(　　) A．15 B．12 C．5 D．

2、3 解析：選C.因為a2＋b2＝15－ab≥2ab，所以3ab≤15，即ab≤5，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝±時等號成立．所以ab的最大值為5.故選C. 3．已知f(x)＝，則f(x)在上的最小值為(　　) A. B． C．－1 D．0 解析：選D.f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時取等號．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0. 4．若實數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：選C.因為＋＝，所以a＞0，b＞0， 由＝＋≥2＝2， 所以ab≥2(當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時取等號)， 所以ab的最小值為2. 5

3、．(2020·湖南衡陽期末)已知P是面積為1的△ABC內(nèi)的一點(不含邊界)，若△PAB，△PAC和△PBC的面積分別為x，y，z，則＋的最小值是(　　) A. B． C. D．3 解析：選D.因為x＋y＋z＝1，00，b>0，3a＋b＝2ab，則a＋b的最小值為________． 解析：由a>0，b>0，3a＋b＝2ab，得＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a時等號成立，則a＋b的最小值為2＋. 答案：2＋

4、7．(2020·江西吉安期末)已知函數(shù)f(x)＝，則f(x) 的最大值為________． 解析：設(shè)t＝sin x＋2，則t∈[1，3]，則sin2x＝(t－2)2，則g(t)＝＝t＋－4(1≤t≤3)，由“對勾函數(shù)”的性質(zhì)可得g(t)在[1，2)上為減函數(shù)，在(2，3]上為增函數(shù)，又g(1)＝1，g(3)＝，所以g(t)max＝g(1)＝1.即f(x)的最大值為1. 答案：1 8．已知正數(shù)x，y滿足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，則實數(shù)λ的最小值為________． 解析：依題意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時取等號)，即的最大值為2.又λ≥恒成立，因

5、此有λ≥2，即λ的最小值為2. 答案：2 9．(1)當(dāng)x<時，求函數(shù)y＝x＋的最大值； (2)設(shè)00， 所以＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即x＝－時取等號． 于是y≤－4＋＝－， 故函數(shù)的最大值為－. (2)因為00， 所以y＝＝·≤·＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－x， 即x＝1時取等號， 所以當(dāng)x＝1時，函數(shù)y＝的最大值為. 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求 (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)由2x＋8y－x

6、y＝0，得＋＝1， 又x>0，y>0， 則1＝＋≥2 ＝. 得xy≥64， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝16，y＝4時，等號成立． 所以xy的最小值為64. (2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 則x＋y＝·(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2 ＝18. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝12，y＝6時等號成立， 所以x＋y的最小值為18. [綜合題組練] 1．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，則m的最大值為(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 解析：選B.由＋≥， 得m≤(a＋3b)＝＋＋6. 又＋＋6≥2＋6＝12， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝3b時等號成立， 所以m≤12

7、，所以m的最大值為12. 2．(2020·湖北恩施2月教學(xué)質(zhì)量檢測)已知角α，β的頂點都為坐標(biāo)原點，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合，且都為第一象限的角，α，β終邊上分別有點A(1，a)，B(2，b)，且α＝2β，則＋b的最小值為(　　) A．1 B． C. D．2 解析：選C.由已知得，a>0，b>0，tan α＝a，tan β＝，因為α＝2β，所以tan α＝tan 2β， 所以a＝＝，所以＋b＝＋b＝＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝時，取等號．故＋b的最小值為. 3．(2020·安徽合肥第二次教學(xué)質(zhì)量檢測)若a＋b≠0，則a2＋b2＋的最小值為________． 解析：a2＋

8、b2＋≥＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2－時，a2＋b2＋取得最小值. 答案： 4．當(dāng)x∈R時，32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，則k的取值范圍是________． 解析：由32x－(k＋1)3x＋2>0，解得k＋1<3x＋. 因為3x＋≥2 ， 所以3x＋的最小值為2. 又當(dāng)x∈R時，32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立， 所以當(dāng)x∈R時，k＋1<， 即k＋1<2，即k<2－1. 答案：(－∞，2－1) 5．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. 求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值； (2)＋的最小值． 解：(1)因為x>0，y>0， 所以由基本不等式，

9、得2x＋5y≥2. 因為2x＋5y＝20， 所以2≤20，xy≤10， 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝5y時，等號成立． 因此有解得 此時xy有最大值10. 所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. 所以當(dāng)x＝5，y＝2時，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)因為x>0，y>0， 所以＋＝· ＝≥＝. 當(dāng)且僅當(dāng)＝時，等號成立． 由 解得 所以＋的最小值為. 6．某廠家擬定在2020年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m(m≥0)萬元滿足x＝3－(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動，那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知20

10、20年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)． (1)將2020年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)； (2)該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？ 解：(1)由題意知，當(dāng)m＝0時，x＝1(萬件)， 所以1＝3－k?k＝2，所以x＝3－(m≥0)， 每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×(元)， 所以2020年的利潤y＝1.5x×－8－16x－m ＝－＋29(m≥0)． (2)因為m≥0時，＋(m＋1)≥2＝8， 所以y≤－8＋29＝21，當(dāng)且僅當(dāng)＝m＋1?m＝3(萬元)時，ymax＝21(萬元)． 故該廠家2020年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元． 7