2020高考數學大一輪復習 第十二章 復數、算法、推理與證明 5 第5講 數學歸納法練習 理（含解析）

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1、第5講 數學歸納法 [基礎題組練] 1．用數學歸納法證明“2n>n2＋1對于n≥n0的正整數n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．3 C．5 D．6 解析：選C.當n＝1時，21＝2＝12＋1， 當n＝2時，22＝4<22＋1＝5， 當n＝3時，23＝8<32＋1＝10， 當n＝4時，24＝16<42＋1＝17， 當n＝5時，25＝32>52＋1＝26， 當n＝6時，26＝64>62＋1＝37，故起始值n0應取5. 2．設f(x)是定義在正整數集上的函數，且f(x)滿足：當f(k)≥k＋1成立時，總能推出f(k＋1

2、)≥k＋2成立，那么下列命題總成立的是(　　) A．若f(1)<2成立，則f(10)<11成立 B．若f(3)≥4成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，則f(1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k＋1成立 解析：選D.當f(k)≥k＋1成立時，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，說明如果當k＝n時，f(n)≥n＋1成立，那么當k＝n＋1時，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果當k＝4時，f(4)≥5成立，那么當k≥4時，f(k)≥k＋1也成立． 3．用數學歸納法證明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，則當n＝k＋1時，左端應在n＝

3、k的基礎上加上(　　) A. B．－ C.－ D.＋ 解析：選C.因為當n＝k時，左端＝1－＋－＋…＋－，當n＝k＋1時， 左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端應在n＝k的基礎上加上－. 4．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的關系是(　　) A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2 C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2 D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2 解析：選A.f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f

4、(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 5．利用數學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋1)時，第一步應驗證的不等式是________． 解析：由n∈N*，n>1知，n取第一個值n0＝2， 當n＝2時，不等式為1＋＋

5、<2. 答案：1＋＋<2 7．用數學歸納法證明不等式＋＋…＋>(n≥2)的過程中，由n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是________． 解析：不等式的左邊增加的式子是＋－＝，故填. 答案： 8．用數學歸納法證明＋＋…＋>－，假設n＝k時，不等式成立，則當n＝k＋1時，應推證的目標不等式是________________． 答案：＋＋…＋＋>－ 9．用數學歸納法證明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·. 證明：(1)當n＝1時，左邊＝12＝1， 右邊＝(－1)0×＝1，左邊＝右邊，原等式成立． (2)假設n＝k(k≥1，k∈N

6、*)時等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·. 那么，當n＝k＋1時， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2 ＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2 ＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)] ＝(－1)k·. 所以當n＝k＋1時，等式也成立， 由(1)(2)知，對任意n∈N*，都有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·. 10．已知整數p>1，證明：當x>－1且x≠0時，(1＋x)p>1＋px. 證明：用數學歸納法證明． ①當p＝2時，(1＋x)2＝1＋2x＋x

7、2>1＋2x，原不等式成立． ②假設當p＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式(1＋x)k>1＋kx成立． 則當p＝k＋1時，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x. 所以當p＝k＋1時，原不等式也成立． 綜合①②可得，當x>－1且x≠0時，對一切整數p>1， 不等式(1＋x)p>1＋px均成立． [綜合題組練] 1．用數學歸納法證明：對一切大于1的自然數，不等式·…·>均成立． 證明：①當n＝2時，左邊＝1＋＝，右邊＝. 因為左邊>右邊，所以不等式成立． ②假設當n＝k(k≥2，且k∈N*)時不等式成立，

8、 即·…·>. 則當n＝k＋1時， ·…· >·＝＝ >＝＝. 所以當n＝k＋1時，不等式也成立． 由①②知，對于一切大于1的自然數n，不等式都成立． 2．已知數列{xn}滿足x1＝，且xn＋1＝(n∈N*)． (1)用數學歸納法證明：00，即xk＋1>0. 又因為xk＋1－1＝<0，所以0

9、1. 綜合①②可知0

10、S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， … 試猜測S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的結果，并用數學歸納法證明． 解：由題意知，當n＝1時，S1＝1＝14； 當n＝2時，S1＋S3＝16＝24； 當n＝3時，S1＋S3＋S5＝81＝34； 當n＝4時，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44. 猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4. 下面用數學歸納法證明： (1)當n＝1時，S1＝1＝14，等式成立． (2)假設當n＝k(k∈N*，k≥1)時等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4， 那么，當n＝k＋1時，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4， 所以當n＝k＋1時，等式也成立． 根據(1)和(2)可知，對于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立. 6