2021版高考數(shù)學一輪復習 第十二章 復數(shù)、算法、推理與證明 第5講 數(shù)學歸納法練習 理 北師大版

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1、第5講 數(shù)學歸納法 [基礎題組練] 1．用數(shù)學歸納法證明：首項是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項和公式是Sn＝na1＋d時，假設當n＝k時，公式成立，則Sk＝(　　) A．a(chǎn)1＋(k－1)d　　　　　 B． C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d 解析：選C.假設當n＝k時，公式成立，只需把公式中的n換成k即可，即Sk＝ka1＋d. 2．設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當f(k)≥k＋1成立時，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命題總成立的是(　　) A．若f(1)<2成立，則f(10)<11成立 B．若f(3)≥4成立，則當k≥1時，均有f(k

2、)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，則f(1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k＋1成立 解析：選D.當f(k)≥k＋1成立時，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，說明如果當k＝n時，f(n)≥n＋1成立，那么當k＝n＋1時，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果當k＝4時，f(4)≥5成立，那么當k≥4時，f(k)≥k＋1也成立． 3．用數(shù)學歸納法證明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，則當n＝k＋1時，左端應在n＝k的基礎上加上(　　) A. B．－ C.－ D．＋ 解析：選C.因為當n＝k時，左端＝1－＋－＋…＋－，當n＝k＋1時， 左端＝1－＋

3、－＋…＋－＋－.所以，左端應在n＝k的基礎上加上－. 4．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的關系是(　　) A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2 C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2 D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2 解析：選A.f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 5．利用數(shù)學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋

4、增加了(　　) A．1項 B．k項 C．2k－1項 D．2k項 解析：選D.令不等式的左邊為g(n)，則g(k＋1)－g(k)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋－＝＋＋…＋， 其項數(shù)為2k＋1－1－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k. 故左邊增加了2k項． 6．用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋1)時，第一步應驗證的不等式是________． 解析：由n∈N+，n>1知，n取第一個值n0＝2， 當n＝2時，不等式為1＋＋<2. 答案：1＋＋<2 7．用數(shù)學歸納法證明＋＋…＋>－，假設n＝k時，不等式成立，則當n＝k＋1時，應推證的目標不等式是______________

5、__． 答案：＋＋…＋＋>－ 8．用數(shù)學歸納法證明不等式＋＋…＋>(n≥2)的過程中，由n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是________． 解析：不等式的左邊增加的式子是＋－＝，故填. 答案： 9．用數(shù)學歸納法證明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·. 證明：(1)當n＝1時，左邊＝12＝1， 右邊＝(－1)0×＝1，左邊＝右邊，原等式成立． (2)假設n＝k(k≥1，k∈N+)時等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·. 那么，當n＝k＋1時， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k

6、－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2 ＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2 ＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)] ＝(－1)k·. 所以當n＝k＋1時，等式也成立， 由(1)(2)知，對任意n∈N+，都有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·. 10．已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N+. (1)當n＝1，2，3時，試比較f(n)與g(n)的大?。? (2)猜想f(n)與g(n)的大小關系，并給出證明． 解：(1)當n＝1時，f(1)＝1，g(1)＝1， 所以f(1)＝g(1)； 當n＝2時，f(2)＝，g(2)＝，

7、 所以f(2)＜g(2)； 當n＝3時，f(3)＝，g(3)＝， 所以f(3)＜g(3)． (2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用數(shù)學歸納法給出證明． ①當n＝1，2，3時，不等式顯然成立． ②假設當n＝k(k≥3，k∈N+)時不等式成立，即1＋＋＋＋…＋＜－. 那么，當n＝k＋1時，f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋. 因為－ ＝－＝＜0， 所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)． 由①②可知，對一切n∈N+，都有f(n)≤g(n)成立． [綜合題組練] 1．已知整數(shù)p>1，證明：當x>－1且x≠0時，(1＋x)p>1＋px. 證明：用數(shù)學歸納法證明． ①當p＝2時

8、，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立． ②假設當p＝k(k≥2，k∈N+)時，不等式(1＋x)k>1＋kx成立． 則當p＝k＋1時，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x. 所以當p＝k＋1時，原不等式也成立． 綜合①②可得，當x>－1且x≠0時，對一切整數(shù)p>1， 不等式(1＋x)p>1＋px均成立． 2．已知數(shù)列{xn}滿足x1＝，且xn＋1＝(n∈N+)． (1)用數(shù)學歸納法證明：0

9、，1)，不等式成立． ②假設當n＝k(k∈N+，k≥1)時，不等式成立， 即xk∈(0，1)， 則當n＝k＋1時，xk＋1＝， 因為xk∈(0，1)，所以2－xk>0，即xk＋1>0. 又因為xk＋1－1＝<0，所以0

10、6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，…，分別計算各組包含的正整數(shù)的和如下： S1＝1， S2＝2＋3＝5， S3＝4＋5＋6＝15， S4＝7＋8＋9＋10＝34， S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， … 試猜測S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的結果，并用數(shù)學歸納法證明． 解：由題意知，當n＝1時，S1＝1＝14； 當n＝2時，S1＋S3＝16＝24； 當n＝3時，S1＋S3＋S5＝81＝34； 當n＝4時，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.

11、 猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4. 下面用數(shù)學歸納法證明： (1)當n＝1時，S1＝1＝14，等式成立． (2)假設當n＝k(k∈N+，k≥1)時等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4， 那么，當n＝k＋1時，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4， 所以當n＝k＋1時，等式也成立． 根據(jù)(1)和(2)可知，對于任意的n∈N+，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立． 6