2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第5講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理 北師大版

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1、第5講 數(shù)學(xué)歸納法 [基礎(chǔ)題組練] 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn＝na1＋d時(shí)，假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，公式成立，則Sk＝(　　) A．a(chǎn)1＋(k－1)d　　　　　 B． C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d 解析：選C.假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，公式成立，只需把公式中的n換成k即可，即Sk＝ka1＋d. 2．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)f(k)≥k＋1成立時(shí)，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命題總成立的是(　　) A．若f(1)<2成立，則f(10)<11成立 B．若f(3)≥4成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k

2、)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，則f(1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k＋1成立 解析：選D.當(dāng)f(k)≥k＋1成立時(shí)，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，說(shuō)明如果當(dāng)k＝n時(shí)，f(n)≥n＋1成立，那么當(dāng)k＝n＋1時(shí)，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果當(dāng)k＝4時(shí)，f(4)≥5成立，那么當(dāng)k≥4時(shí)，f(k)≥k＋1也成立． 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(　　) A. B．－ C.－ D．＋ 解析：選C.因?yàn)楫?dāng)n＝k時(shí)，左端＝1－＋－＋…＋－，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左端＝1－＋

3、－＋…＋－＋－.所以，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上－. 4．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的關(guān)系是(　　) A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2 C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2 D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2 解析：選A.f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 5．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋

4、增加了(　　) A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．2k－1項(xiàng) D．2k項(xiàng) 解析：選D.令不等式的左邊為g(n)，則g(k＋1)－g(k)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋－＝＋＋…＋， 其項(xiàng)數(shù)為2k＋1－1－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k. 故左邊增加了2k項(xiàng)． 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是________． 解析：由n∈N+，n>1知，n取第一個(gè)值n0＝2， 當(dāng)n＝2時(shí)，不等式為1＋＋<2. 答案：1＋＋<2 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋>－，假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是______________

5、__． 答案：＋＋…＋＋>－ 8．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋>(n≥2)的過(guò)程中，由n＝k推導(dǎo)n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是________． 解析：不等式的左邊增加的式子是＋－＝，故填. 答案： 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·. 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12＝1， 右邊＝(－1)0×＝1，左邊＝右邊，原等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N+)時(shí)等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·. 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k

6、－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2 ＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2 ＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)] ＝(－1)k·. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立， 由(1)(2)知，對(duì)任意n∈N+，都有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·. 10．已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N+. (1)當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大??； (2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明． 解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝1， 所以f(1)＝g(1)； 當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝，g(2)＝，

7、 所以f(2)＜g(2)； 當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)＝，g(3)＝， 所以f(3)＜g(3)． (2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明． ①當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，不等式顯然成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N+)時(shí)不等式成立，即1＋＋＋＋…＋＜－. 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋. 因?yàn)椋? ＝－＝＜0， 所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)． 由①②可知，對(duì)一切n∈N+，都有f(n)≤g(n)成立． [綜合題組練] 1．已知整數(shù)p>1，證明：當(dāng)x>－1且x≠0時(shí)，(1＋x)p>1＋px. 證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)p＝2時(shí)

8、，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)p＝k(k≥2，k∈N+)時(shí)，不等式(1＋x)k>1＋kx成立． 則當(dāng)p＝k＋1時(shí)，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x. 所以當(dāng)p＝k＋1時(shí)，原不等式也成立． 綜合①②可得，當(dāng)x>－1且x≠0時(shí)，對(duì)一切整數(shù)p>1， 不等式(1＋x)p>1＋px均成立． 2．已知數(shù)列{xn}滿足x1＝，且xn＋1＝(n∈N+)． (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：0

9、，1)，不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N+，k≥1)時(shí)，不等式成立， 即xk∈(0，1)， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，xk＋1＝， 因?yàn)閤k∈(0，1)，所以2－xk>0，即xk＋1>0. 又因?yàn)閤k＋1－1＝<0，所以0

10、6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，…，分別計(jì)算各組包含的正整數(shù)的和如下： S1＝1， S2＝2＋3＝5， S3＝4＋5＋6＝15， S4＝7＋8＋9＋10＝34， S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， … 試猜測(cè)S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 解：由題意知，當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝1＝14； 當(dāng)n＝2時(shí)，S1＋S3＝16＝24； 當(dāng)n＝3時(shí)，S1＋S3＋S5＝81＝34； 當(dāng)n＝4時(shí)，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.

11、 猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝1＝14，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N+，k≥1)時(shí)等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4， 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 根據(jù)(1)和(2)可知，對(duì)于任意的n∈N+，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立． 6