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1、小題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練7 平面向量
一、選擇題
1．(2019年福建廈門(mén)模擬)已知點(diǎn)A(－1,1)，B(0,2)，若向量＝(－2,3)，則向量＝( )
A．(3，－2) B．(2，－2)
C．(－3，－2) D．(－3,2)
【答案】D
【解析】由A(－1,1)，B(0,2)，可得＝(1,1)，所以＝－＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)．故選D．
2．平面四邊形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，則四邊形ABCD是( )
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．梯形
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?，所以＝，四邊形ABCD是平行四邊形．又(－)·＝·
2、＝0，則四邊形對(duì)角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形．
3．(2018年河北石家莊模擬)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，m)，c＝(2,4)，且(2a－5b)⊥c，則實(shí)數(shù)m＝( )
A．－ B．
C． D．－
【答案】B
【解析】因?yàn)?a－5b＝(4,2)－(5,5m)＝(－1,2－5m)．又(2a－5b)⊥c，所以(2a－5b)·c＝0，即(－1,2－5m)·(2,4)＝－2＋4(2－5m)＝0，解得m＝.
4．已知平面向量a，b的夾角為，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，則|b|等于( )
A． B．2
C．3 D．4
【答
3、案】D
【解析】因?yàn)閍·(a－b)＝a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8，所以4＋2|b|×＝8，解得|b|＝4.
5．(2019年廣東潮州模擬)已知向量a，b為單位向量，且a＋b在a的方向上的投影為＋1，則向量a與b的夾角為( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)向量a，b的夾角為θ，由a，b為單位向量可得|a|＝|b|＝1.a＋b在a方向上的投影為＝＝＝1＋cos θ，所以1＋cos θ＝＋1，得cos θ＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.故選A．
6．(2019年遼寧模擬)趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，
4、趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱(chēng)“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的)．類(lèi)比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)DF＝2AF，則( )
A．＝＋
B．＝＋
C．＝＋
D．＝＋
【答案】D
【解析】由題圖的特征及DF＝2AF，易得＝，＝，＝，所以＝＋，＝＋，＝＋.所以＝＋.所以＝＋＋＝＋(－)－＝＋.所以＝＋.故選D．
7．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a與b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A． B．∪
5、
C．(－2，＋∞) D．[－2，＋∞)
【答案】B
【解析】當(dāng)a，b共線時(shí)，2k－1＝0，解得k＝，此時(shí)a，b方向相同，夾角為0，所以要使a與b的夾角為銳角，則有a·b>0且a，b不共線．由a·b＝2＋k>0，得k>－2.又k≠，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是∪.故選B．
8．(2018年安徽合肥校級(jí)聯(lián)考)在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，D，E是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)(D靠近點(diǎn)B)，則·等于( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由正三角形的性質(zhì)易得A，D，E，∴＝，＝，∴·＝·＝－＋＝.
9．已知向量＝(3,1)，＝(－1，3)
6、，＝m－n (m>0，n>0)，若m＋n＝1，則||的最小值為( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由＝(3,1)，＝(－1,3)，得＝m－n＝(3m＋n，m－3n)．∵m＋n＝1(m>0，n>0)，∴n＝1－m且0
7、以·＝(λ－1)2－λ2＋(1＋λ－λ2)A·.
又∠A＝90°，則·＝0.而＝1，＝2，所以4(λ－1)－λ＝5，解得λ＝3.故選B．
11．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且向量a，b不共線，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A．|a|＝|b|＝1
B．(a＋b)⊥(a－b)
C．a(chǎn)與b的夾角等于α－β
D．a(chǎn)與b在a＋b方向上的投影相等
【答案】C
【解析】由夾角公式可得cos〈a，b〉＝＝a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，當(dāng)α－β∈[0，π]時(shí)，〈a，b〉＝α－β，當(dāng)α－β?[0，π]時(shí)，〈a，b〉≠
8、α－β，C錯(cuò)誤．易得A，B，D正確．故選C．
12．(2018年四川雅安模擬)如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧DEM上變動(dòng)，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則2λ－μ的取值范圍是( )
A．[－，1] B．[－，]
C． D．
【答案】A
【解析】以A為原點(diǎn)，AB，AD分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，E(1,0)，D(0,1)，F(xiàn)，P(cos α，sin α)(－90°≤α≤90°)，則＝(cos α，sin α)，＝(－1,1)，＝.∵＝λ＋μ，∴
9、cos α＝－λ＋μ，sin α＝λ＋μ，解得λ＝(3sin α－cos α)，μ＝(cos α＋sin α)．∴2λ－μ＝sin α－cos α＝sin(α－45°)．∵－90°≤α≤90°，∴－≤sin(α－45°)≤1.故選A．
二、填空題
13．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若m a＋n b＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n＝________.
【答案】－3
【解析】由a＝(2,1)，b＝(1，－2)，可得m a＋n b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，則2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，故m－n＝－3.
14．已知向量a，b滿(mǎn)足|a|＝
10、1，|b|＝2，a與b的夾角的余弦值為sin ，則b·(2a－b)的值為_(kāi)_______．
【答案】－18
【解析】因?yàn)閍與b的夾角的余弦值為sin ＝－，所以a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
15．已知A，B，C為單位圓O上任意三點(diǎn)，·＝0，·＝－，·＝－，若OA的中點(diǎn)為E，則·的值為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】由題意，設(shè)B(1,0)，C(0,1)，A(x，y)，則＝(x，y)，∴·＝x＝－，·＝y(tǒng)＝－.∴A，OA的中點(diǎn)為E.∴·＝·(1，－1)＝－＋＋1＝.
16．(2018年江蘇南京模擬)O是平面α上一定點(diǎn)，A，B，C是平面α上△ABC的三個(gè)
11、頂點(diǎn)，∠B，∠C分別是邊AC，AB的對(duì)角，給出以下命題：
①若點(diǎn)P滿(mǎn)足＝＋＋，則△ABC的外心一定在滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)集合中；
②若點(diǎn)P滿(mǎn)足＝＋λ(λ>0)，則△ABC的內(nèi)心一定在滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)集合中；
③若點(diǎn)P滿(mǎn)足＝＋λ(λ>0)，則△ABC的重心一定在滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)集合中；
④若點(diǎn)P滿(mǎn)足＝＋λ
(λ>0)，則△ABC的垂心一定在滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)集合中．
其中正確命題的序號(hào)是________．
【答案】②③④
【解析】對(duì)于①，由＝＋＋，知＋＋＝0，故點(diǎn)P是△ABC的重心，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由＝＋λ，知＝λ，∵與分別表示與方向上的單位向量，故AP平分∠BAC，∴△ABC的內(nèi)心一定在滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)集合中，
②正確；對(duì)于③，由＝＋λ，知＝λ，在△ABC中，∵||sin B，||sin C都表示BC邊上的高h(yuǎn)，故＝(＋)＝(其中D為BC的中點(diǎn))，即點(diǎn)P在BC邊上的中線所在直線上，∴△ABC的重心一定在滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)集合中，③正確；對(duì)于④，由已知得＝λ，則·＝λ·，得·＝0，即點(diǎn)P在邊BC上的高線所在直線上，∴△ABC的垂心一定在滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)集合中，④正確．綜上，②③④正確．
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