2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題6 解析幾何 第3講 解析幾何的綜合問題練習(xí) 理

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1、第3講 解析幾何的綜合問題 專題復(fù)習(xí)檢測(cè) A卷 1．(2018年北京海淀區(qū)校級(jí)三模)若雙曲線C1：－＝1(a＞0，b＞0)與C2：－＝1的離心率分別為e1和e2，則下列說法正確的是(　　) A．e＝e B．＋＝1 C．C1與C2的漸近線相同 D．C1與C2的圖象有8個(gè)公共點(diǎn) 【答案】A 【解析】由題意，e1＝＞1，e2＝＞1，顯然e＝e.故選A． 2．(2019年河南焦作模擬)設(shè)P是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，M，N分別是兩圓(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值、最大值分別為(　　) A．9,12　 B．8,11　　 C．8,12　　

2、 D．10,12 【答案】C 【解析】如圖，由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，由橢圓定義知|PA|＋|PB|＝2a＝10.連接PA，PB分別與圓相交于M，N兩點(diǎn)，此時(shí)|PM|＋|PN|最小，最小值為|PA|＋|PB|－2R＝8；連接PA，PB并延長(zhǎng)，分別與圓相交于M，N兩點(diǎn)，此時(shí)|PM|＋|PN|最大，最大值為|PA|＋|PB|＋2R＝12.故選C． 3．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若AF⊥FB，設(shè)∠ABF＝θ且θ∈，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．(，2]　 B．(1，] C．(，＋∞)

3、　 D．(2，＋∞) 【答案】C 【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′.∵AF⊥FB，∴四邊形AFBF′為矩形．因此|AB|＝|FF′|＝2c.則|AF|＝2csin θ，|BF|＝2ccos θ.∵|AF′|－|AF|＝2a.∴2ccos θ－2csin θ＝2a，即c(cos θ－sin θ)＝a，則e＝＝＝.∵θ∈，∴θ＋∈，則cos∈，cos∈，則＞＝，即e＞，故雙曲線離心率的取值范圍是(，＋∞)．故選C． 4．已知點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為(　　) A．

4、　 B．　　 C．　 D． 【答案】D 【解析】根據(jù)已知條件，得－＝－2，所以p＝4.從而拋物線的方程為y2＝8x，其焦點(diǎn)為F(2,0)．設(shè)切點(diǎn)B(x0，y0)，由題意，在第一象限內(nèi)y2＝8x?y＝2.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率為kAB＝y(tǒng)′＝，而切線的斜率也可以為kAB＝.又因?yàn)榍悬c(diǎn)B(x0，y0)在曲線上，所以y＝8x0.由上述條件解得即B(8,8)．從而直線BF的斜率為＝.故選D． 5．(2018年黑龍江綏化檢測(cè))已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為(　　) A．2　

5、B．4　　　　 C．8　　　　 D．9 【答案】D 【解析】圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2a)2＋y2＝4，其圓心為(－2a,0)，半徑為2；圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－b)2＝1，其圓心為(0，b)，半徑為1.∵圓C1和圓C2只有一條公切線，∴圓C1與圓C2相內(nèi)切，∴＝2－1，得4a2＋b2＝1.∴＋＝(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝時(shí)等號(hào)成立．∴＋的最小值為9. 6．(2018年浙江紹興檢測(cè))雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個(gè)區(qū)域(不含邊界)，若點(diǎn)(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心

6、率e的取值范圍是________． 【答案】 【解析】雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，且“右”區(qū)域是由不等式組所確定．又點(diǎn)(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，∴1<，即>.∴雙曲線的離心率e＝∈. 7．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程(x－a＋1)2＋(y－1)2＝1，當(dāng)0≤y≤b(b∈R)時(shí)，由此方程可以確定一個(gè)偶函數(shù)y＝f(x)，則拋物線y＝－x2的焦點(diǎn)F到點(diǎn)(a，b)的軌跡上點(diǎn)的距離最大值為________． 【答案】 【解析】由題意可得圓的方程一定關(guān)于y軸對(duì)稱，故由－a＋1＝0，求得a＝1.由圓的幾何性質(zhì)知，只有當(dāng)y≤1時(shí)，才能保證此圓的方程確定的函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，故0＜b≤1.由此知點(diǎn)(a

7、，b)的軌跡是一線段，其橫坐標(biāo)是1，縱坐標(biāo)屬于(0,1]，又拋物線y＝－x2，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由此可以判斷出焦點(diǎn)F到點(diǎn)(a，b)的軌跡上點(diǎn)的距離最大值是＝. 8．(2018年湖北襄陽模擬)已知直線l：x＋y＋m＝0與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)右支交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M在第一象限，若點(diǎn)Q滿足＋＝0(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且∠MNQ＝30°，則雙曲線C的漸近線方程為________． 【答案】y＝±x 【解析】由題意可知M，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)M(m，n)，N(u，v)，則Q(－m，－n)，代入雙曲線方程，得－＝1，－＝1，兩式相減，得＝，∴kMN·kQN＝·＝＝.∵kMN＝－，kQN＝t

8、an 150°＝－，∴＝1，即a＝b.∴雙曲線C的漸近線方程為y＝±x. 9．(2019年重慶期末)如圖，焦距為2的橢圓E的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，且與n＝(，－1)共線． (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線y＝kx＋m與橢圓E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，當(dāng)k變化時(shí)，原點(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【解析】(1)因?yàn)?c＝2，所以c＝1. 又＝(－a，b)，且∥n， 所以b＝a，所以2b2＝b2＋1，所以b2＝1，a2＝2. 所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把y＝kx＋m代入＋y2＝1， 消去y，得(

9、2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， Δ＝16k2－8m2＋8>0，即m2<2k2＋1.(*) 因?yàn)樵c(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部， 所以·<0，即x1x2＋y1y2<0. 又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝， 由＋<0，得m2

10、同的交點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)Q(－2,0)，QA，QB與y軸分別交于M(0，m)，N(0，n)兩點(diǎn)，求證：m＋n為定值． 【解析】(1)由題意知圓心M的軌跡是以(1,0)為焦點(diǎn)，x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線， ∴圓心M的軌跡方程為y2＝4x. (2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB：x＝ty＋2， 與曲線C：y2＝4x聯(lián)立，化簡(jiǎn)得y2－4ty－8＝0. ∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－8. 直線QA：y＝(x＋2)，令x＝0，得m＝. 同理可得n＝. ∴m＋n＝＋＝＝0. ∴m＋n為定值． B卷 11．(2019年浙江杭州模擬)F為橢圓＋y2＝1的右焦點(diǎn)，第一象限

11、內(nèi)的點(diǎn)M在橢圓上，若MF⊥x軸，直線MN與圓x2＋y2＝1相切于第四象限內(nèi)的點(diǎn)N，則|NF|等于(　　) A．　 B．　　 C．　 D． 【答案】A 【解析】∵M(jìn)F⊥x軸，F(xiàn)為橢圓＋y2＝1的右焦點(diǎn)，∴F(2,0)，M.設(shè)lMN：y－＝k(x－2)，N(x，y)，則O到lMN的距離d＝＝1，解得k＝或k＝－(舍去)．聯(lián)立解得即N，∴|NF|＝＝. 12．(2018年云南昆明模擬)已知拋物線y2＝8x，過點(diǎn)M(1，0)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若|AF|＝6，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積是(　　) A．　 B．3　　 C．　 D．5 【答案】C 【解析

12、】拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線方程為x＝－2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線AH，如圖．由拋物線的定義可知|AF|＝|AH|＝6，∴x1＋2＝6.∴x1＝4，y1＝4.設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，由得k2x2－(2k2＋8)x＋k2＝0，∴x1x2＝1，x2＝＝.∴y2＝－.∴△OAB的面積S△OAB＝S△AOM＋S△BOM＝|y1|×1＋|y2|×1＝×(4＋)＝. 13．若F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，以線段F1F2為直徑的圓交雙曲線的右支于點(diǎn)P，若∠PF1F2＝α，則雙曲線離心率為__________．(結(jié)果用α表

13、示) 【答案】 【解析】依題意，知PF1⊥PF2，∴|PF1|＝2c·cos α，|PF2|＝2c·sin α.∴e＝＝＝. 14．(2019年山東威海模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B，Q為拋物線y2＝12x的焦點(diǎn)，且·＝0,2＋＝0. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過定點(diǎn)P(0,2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)(M在P，N之間)，設(shè)直線l的斜率為k(k>0)，在x軸上是否存在點(diǎn)A(m,0)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【解析】(1)由已知Q(3,0)，F(xiàn)1B

14、⊥QB，|QF1|＝4c＝3＋c，所以c＝1. 在Rt△F1BQ中，F(xiàn)2為線段F1Q的中點(diǎn)，故|BF2|＝2c＝2，所以a＝2. 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2(k>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，取MN的中點(diǎn)為E(x0，y0)． 假設(shè)存在點(diǎn)A(m,0)使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，則AE⊥MN. 由化簡(jiǎn)，得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0，Δ>0?k2>. 又k>0，所以k>. 因?yàn)閤1＋x2＝－， 所以x0＝－，y0＝kx0＋2＝. 因?yàn)锳E⊥MN，所以kAE＝－，即＝ －，整理得m＝－＝－. 因?yàn)閗＞時(shí)，4k＋≥4，∈， 所以m∈. - 8 -