2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 刷題首選卷 第二部分 刷題型 解答題（七）文

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1、解答題(七) 17．已知{an}是遞增數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a1>1，且10Sn＝(2an＋1)(an＋2)，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an； (2)是否存在m，n，k∈N*，使得2(am＋an)＝ak成立？若存在，寫(xiě)出一組符合條件的m，n，k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)由10a1＝(2a1＋1)(a1＋2)， 得2a－5a1＋2＝0，解得a1＝2或a1＝. 又a1>1，所以a1＝2. 因?yàn)?0Sn＝(2an＋1)(an＋2)＝2a＋5an＋2， 所以10an＋1＝10Sn＋1－10Sn＝2a＋5an＋1＋2－2a－5an－2， 整理，得2(a－a)

2、－5(an＋1＋an)＝0， 即(an＋1＋an)[2(an＋1－an)－5]＝0. 因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列且a1＝2，所以an＋1＋an≠0， 因此an＋1－an＝. 所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列， 所以an＝2＋(n－1)＝(5n－1)． (2)滿足條件的正整數(shù)m，n，k不存在，理由如下： 假設(shè)存在m，n，k∈N*，使得2(am＋an)＝ak， 則5m－1＋5n－1＝(5k－1)， 整理，得2m＋2n－k＝，(*) 顯然，(*)式左邊為整數(shù)，所以(*)式不成立． 故滿足條件的正整數(shù)m，n，k不存在． 18．(2019·東北三省三校一模)如圖，四棱錐

3、P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，四面體P－BCG的體積為. (1)求點(diǎn)D到平面PBG的距離； (2)若點(diǎn)F是棱PC上一點(diǎn)，且DF⊥GC，求的值． 解　(1)∵VP－BCG＝S△BCG·PG＝·BG·GC·PG＝，∴PG＝4， ∵PG⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，∴PG⊥BG， ∴S△PBG＝BG·PG＝×2×4＝4，∵AG＝GD， ∴S△BDG＝·S△BCG＝×2＝，設(shè)點(diǎn)D到平面PBG的距離為h，∵VD－PBG＝VP－BDG， ∴S△PBG·h＝S△BDG·PG， ∴×4h＝

4、××4，∴h＝. ∴點(diǎn)D到平面PBG的距離為. (2)如圖，在平面ABCD內(nèi)，過(guò)D作DM⊥GC于點(diǎn)M，連接FM，又DF⊥GC, DM∩DF＝D， ∴GC⊥平面FMD，F(xiàn)M?平面FMD， ∴GC⊥FM， ∵PG⊥平面ABCD，GC?平面ABCD， ∴PG⊥GC，∴FM∥PG， 由GM⊥MD，得GM＝GDcos45°＝， 則MC＝，∴＝＝＝3. 19．(2019·廣東東莞最后一卷)工廠質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上每半個(gè)小時(shí)抽取一件產(chǎn)品并對(duì)其某個(gè)質(zhì)量指標(biāo)Y進(jìn)行檢測(cè)，一共抽取了48件產(chǎn)品，并得到如下統(tǒng)計(jì)表．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在一年內(nèi)所需的維護(hù)次數(shù)與指標(biāo)Y有關(guān)，具體見(jiàn)下表． 質(zhì)量指標(biāo)Y [9.

5、4,9.8) [9.8,10.2) [10.2,10.6] 頻數(shù) 8 24 16 一年內(nèi)所需維護(hù)次數(shù) 2 0 1 (1)以每個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為每組指標(biāo)的代表，用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該廠產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)Y的平均值(保留兩位小數(shù))； (2)用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取6件產(chǎn)品，再?gòu)?件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，求這2件產(chǎn)品的指標(biāo)Y都在[9.8,10.2)內(nèi)的概率； (3)已知該廠產(chǎn)品的維護(hù)費(fèi)用為300元/次，工廠現(xiàn)推出一項(xiàng)服務(wù)：若消費(fèi)者在購(gòu)買該廠產(chǎn)品時(shí)每件多加100元，該產(chǎn)品即可一年內(nèi)免費(fèi)維護(hù)一次．將每件產(chǎn)品的購(gòu)買支出和一年的維護(hù)支出之和稱為消費(fèi)費(fèi)用．假設(shè)這48件產(chǎn)品每件都

6、購(gòu)買該服務(wù)，或者每件都不購(gòu)買該服務(wù)，就這兩種情況分別計(jì)算每件產(chǎn)品的平均消費(fèi)費(fèi)用，并以此為決策依據(jù)，判斷消費(fèi)者在購(gòu)買每件產(chǎn)品時(shí)是否值得購(gòu)買這項(xiàng)維護(hù)服務(wù)？ 解　(1)指標(biāo)Y的平均值＝9.6×＋10×＋10.4×≈10.07. (2)由分層抽樣知，先抽取的6件產(chǎn)品中，指標(biāo)Y在[9.8,10.2)內(nèi)的有3件，記為A1，A2，A3；指標(biāo)Y在[10.2,10.6]內(nèi)的有2件，記為B1，B2；指標(biāo)Y在[9.4,9.8)內(nèi)的有1件，記為C. 從6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，共有基本事件15個(gè)：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A

7、2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)． 其中，指標(biāo)Y都在[9.8,10.2)內(nèi)的基本事件有3個(gè)：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)， 所以2件產(chǎn)品的指標(biāo)Y都在[9.8,10.2)內(nèi)的概率為P＝＝. (3)不妨設(shè)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元，假設(shè)這48件樣品每件都不購(gòu)買該服務(wù)，則購(gòu)買支出為48x元．其中有16件產(chǎn)品一年內(nèi)的維護(hù)費(fèi)用為300元/件，有8件產(chǎn)品一年內(nèi)的維護(hù)費(fèi)用為600元/件，此時(shí)平均每件產(chǎn)品的消費(fèi)費(fèi)用為η＝×(48x＋16×300＋8×600)＝(x＋200)元． 假設(shè)為這48件產(chǎn)品每件產(chǎn)品都購(gòu)

8、買該項(xiàng)服務(wù)，則購(gòu)買支出為48(x＋100)元，一年內(nèi)只有8件產(chǎn)品要花費(fèi)維護(hù)，需支出8×300＝2400元，平均每件產(chǎn)品的消費(fèi)費(fèi)用ξ＝×[48(x＋100)＋8×300]＝(x＋150)元． 所以該服務(wù)值得消費(fèi)者購(gòu)買． 20．(2019·湖南郴州第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)． (1)若以A，B為直徑的圓的方程為(x－2)2＋(y－3)2＝16，求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過(guò)A，B分別作拋物線的切線l1，l2，證明：l1，l2的交點(diǎn)在定直線上． 解　(1)設(shè)AB的中點(diǎn)為M，A到準(zhǔn)線的距離為d1，B到準(zhǔn)線的距離為d2，

9、M到準(zhǔn)線的距離為d.則d＝y(tǒng)M＋，由拋物線的定義可知，d1＝|AF|，d2＝|BF|，所以d1＋d2＝|AB|＝8，由梯形中位線可得d＝＝4，所以yM＋＝4，而yM＝3，所以3＋＝4，則p＝2，所以拋物線C：x2＝4y. (2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2＝2py得y＝，則y′＝，所以直線l1的方程為y－y1＝(x－x1)，直線l2的方程為y－y2＝(x－x2), 聯(lián)立得x＝，y＝， 即l1，l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)锳B過(guò)焦點(diǎn)F，所以設(shè)直線AB的方程為y－＝kx，代入拋物線x2＝2py，得x2－2pkx－p2＝0，所以x1x2＝－p2，所以＝＝－，即l1，l2的交點(diǎn)在定

10、直線上． 21．(2019·河北保定第二次模擬)已知函數(shù)f(x)＝a(x－1)＋xln x＋1. (1)求函數(shù)f(x)的最小值； (2)若a＝1，且當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，恒有k(x－2)＜f(x)成立，求證：k＜(e＝2.71828…)． 解　(1)由f(x)＝a(x－1)＋xln x＋1，得f′(x)＝a＋1＋ln x，令f′(x)＝a＋1＋ln x＝0得x＝e－(a＋1), 顯然，x∈(0，e－(a＋1))時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；x∈(e－(a＋1)，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．所以f(x)min＝f(e－(a＋1))＝1－a－e－(a＋1

11、). (2)證明：當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x＋xln x，由題意可得k＜， 令h(x)＝，則h′(x)＝. 令g(x)＝x－4－2ln x，又g′(x)＝1－，所以x＞2時(shí)，g′(x)＞0，所以g(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增． 由于g(e)＝e－6＜0，g(9)＝5－2ln 9＝ln e5－ln 92＞0，設(shè)x－4－2ln x＝0，并記其零點(diǎn)為x0，故e＜x0＜9，且ln x0＝，所以當(dāng)2＜x＜x0時(shí)，g(x)＜0，即h′(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞x0時(shí)， g(x)＞0，即h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(x0)＝＝＝， 因此k＜，且e＜x0＜9，所

12、以k＜. 22．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2，現(xiàn)以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． (1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C1的普通方程； (2)若曲線C2為曲線C1關(guān)于直線l的對(duì)稱曲線，點(diǎn)A，B分別為曲線C1、曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)，求|AP|＋|BP|的最小值． 解　(1)∵ρsin＝2， ∴ρsinθ＋ρcosθ＝2， 即ρcosθ＋ρsinθ＝4， ∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0； ∵ ∴曲線C1的普通方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝4. (2)∵點(diǎn)P在直線x＋y＝4上，根據(jù)對(duì)稱性

13、，|AP|的最小值與|BP|的最小值相等． 曲線C1是以(－1，－2)為圓心，半徑r＝2的圓． ∴|AP|min＝|PC1|－r＝－2＝3. 所以|AP|＋|BP|的最小值為2×3＝6. 23．已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)＝x2＋2x. (1)解關(guān)于x的不等式g(x)≥f(x)－|x－1|； (2)如果對(duì)任意的x∈R，不等式g(x)＋c≤f(x)－|x－1|恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍． 解　(1)∵函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x， ∴原不等式可化為|x－1|≥2x2， 即x－1≥2x2或x－1≤－2x2， 解得－1≤x≤，故原不等式的解集為. (2)不等式g(x)＋c≤f(x)－|x－1|可化為|x－1|≤2x2－c， 即－2x2＋c≤x－1≤2x2－c， 即要使不等式恒成立，只需 解得c≤－，故c的取值范圍是. - 6 -