2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 每日一題 規(guī)范練（第一周）理

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1、每日一題　規(guī)范練(第一周) [題目1] 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若m＝，n＝，且m·n＝. (1)求角A的大??； (2)若a＝2，三角形面積S＝，求b＋c的值． 解：(1)因?yàn)閙＝， n＝，且m·n＝， 所以－cos2＋sin2＝，則cos A＝－. 又A∈(0，π)， 所以A＝π. (2)S△ABC＝bcsin A＝，所以bc＝4， 又由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝b2＋c2＋bc， 所以(b＋c)2＝16，故b＋c＝4. [題目2] 在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a1，a4，a8成等比數(shù)列，數(shù)列{an}的

2、前10項(xiàng)和為45. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝，且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn. 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1，a4，a8成等比數(shù)列可得，a＝a1·a8，(a1＋3d)2＝a1(a1＋7d)， 所以a＋6a1d＋9d2＝a＋7a1d. 因?yàn)閐≠0，所以a1＝9d. 由數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為45，得S10＝10a1＋45d＝45， 則90d＋45d＝45， 故d＝，a1＝9×＝3. 因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝. (2)bn＝＝＝9. 所以Tn＝9(－＋－＋－＋…＋－)＝9＝1－＝. [題目3] 某市在2019年

3、2月份的高三期末考試中對(duì)數(shù)學(xué)成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，全市10 000名學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N(120，25)，現(xiàn)某校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分析，結(jié)果這50名學(xué)生的成績?nèi)拷橛?5分至145分之間，現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組，第一組[85，95)，第二組[95，105)，…，第六組[135，145]，得到如圖所示的頻率分布直方圖． (1)試估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績的平均分?jǐn)?shù)； (2)若從這50名學(xué)生中成績在125分(含125分)以上的同學(xué)中任意抽取3人，該3人在全市前13名的人數(shù)記為X，求X的分布列和期望． 附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－

4、2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4. 解：(1)由頻率分布直方圖可知[125，135)的頻率為1－(0.010×10＋0.024×10＋0.030×10＋0.016×10＋0.008×10)＝0.12. 所以估計(jì)該校全體學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績約為90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112(分)． (2)由于＝0.001 3，根據(jù)正態(tài)分布得P(120－3×5＜X＜120＋3×5)＝0.997 4. 故P(X≥135)＝＝0.001 3， 即0.001 3×10 000＝13.

5、 所以前13名的成績?nèi)吭?35分以上． 根據(jù)頻率分布直方圖可知這50人中成績在135分以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125，145]的學(xué)生有50×(0.12＋0.08)＝10(人)． 所以X的取值為0，1，2，3. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列為： X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2. [題目4] 如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD， AB＝2AD＝2CD＝2

6、.E是PB的中點(diǎn)． (1)求證：平面EAC⊥平面PBC； (2)若二面角P-AC-E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值． (1)證明：因?yàn)镻C⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， 所以AC⊥PC. 因?yàn)锳B＝2，AD＝CD＝1，所以AC＝BC＝. 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 又BC∩PC＝C，所以AC⊥平面PBC. 因?yàn)锳C?平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC. (2)解：如圖，以C為原點(diǎn)，取AB的中點(diǎn)F，，，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)． 設(shè)P(0，0

7、，a)，(a＞0)， 則E. 所以＝(1，1，0)，＝(0，0，a)，＝. 取m＝(1，－1，0)，則m·＝m·＝0， 所以m＝(1，－1，0)為平面PAC的法向量． 設(shè)n＝(x，y，z)為平面EAC的法向量， 則n·＝n·＝0， 所以則 取z＝－2，得一個(gè)法向量n＝(a，－a，－2)． 依題意|cos〈m，n〉|＝＝＝，則a＝2. 于是n＝(2，－2，－2)，＝(1，1，－2)． 設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ， 則sin θ＝|cos〈·n〉|＝＝， 故直線PA與平面EAC所成角的正弦值為. [題目5] 設(shè)橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1

8、，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若橢圓E的離心率為，△ABF2的周長為4. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點(diǎn)C，D，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，證明：O，M，N三點(diǎn)共線． (1)解：由題意知，4a＝4，a＝. 又e＝，所以c＝，b＝， 所以橢圓E的方程為＋＝1. (2)證明：當(dāng)直線AB，CD的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性知，中點(diǎn)M，N在x軸上，O，M，N三點(diǎn)共線； 當(dāng)直線AB，CD的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，且設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)． 則兩式相減，得＋－＝0. 所以＝－， ＝－

9、， 所以·＝－，·＝－. 則k·kOM＝－，所以kOM＝－. 同理可得kON＝－. 所以kOM＝kON，從而點(diǎn)O，M，N三點(diǎn)共線． [題目6] 已知函數(shù)f(x)＝(a－x)ex－1，x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值； (2)設(shè)g(x)＝(x－t)2＋，當(dāng)a＝1時(shí)，存在x1∈(－∞，＋∞)，x2∈(0，＋∞)，使方程f(x1)＝g(x2)成立，求實(shí)數(shù)m的最小值． 解：(1)由f(x)＝(a－x)ex－1，得f′(x)＝(a－1－x)ex. 令f′(x)＝0，則(a－1－x)ex＝0，所以x＝a－1. 當(dāng)x∈(－∞，a－1)時(shí)，f′(x)＞0； 當(dāng)x∈(a－

10、1，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0， f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，a－1)， 單調(diào)遞減區(qū)間為(a－1，＋∞)． 所以當(dāng)x＝a－1時(shí)，函數(shù)f(x)有極大值且為f(a－1)＝ea－1－1，f(x)沒有極小值． (2)當(dāng)a＝1時(shí)，由(1)知，函數(shù)f(x)在x＝a－1＝0處有最大值f(0)＝e0－1＝0. 又因?yàn)間(x)＝(x－t)2＋≥0， 所以方程f(x1)＝g(x2)有解， 必然存在x2∈(0，＋∞)，使g(x2)＝0， 所以x＝t，ln x＝， 等價(jià)于方程ln x＝有解，即m＝xln x在(0，＋∞)上有解． 記h(x)＝xln x，x∈(0，＋∞)， 所以h′(x)＝ln

11、 x＋1，令h′(x)＝0，得x＝. 當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增， 所以當(dāng)x＝時(shí)，h(x)min＝－， 所以實(shí)數(shù)m的最小值為－. [題目7] 1.[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程； (2)若直線l的極坐標(biāo)方程為sin θ－2cos θ＝，求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離． 解：(1)由，消去α，得(x－3)2＋(y－1)2＝4， 將代入得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－1)2＝4，

12、 化簡得ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0. (2)由sin θ－2cos θ＝，得ρsin θ－2ρcos θ＝1， 即2x－y＋1＝0. 圓心C(3，1)到直線2x－y＋1＝0的距離d＝＝， 所以C上點(diǎn)到直線的最大距離為d＋r＝＋2. 2．[選修4－5：不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|x＋m|＋|2x－n|，m，n∈(0，＋∞)． (1)若m＝2，n＝3，求不等式f(x)＞5的解集； (2)若f(x)≥1恒成立，求2m＋n的最小值． 解：(1)若m＝2，n＝3，則f(x)＝|x＋2|＋|2x－3|. ①當(dāng)x≤－2時(shí)，－x－2－2x＋3＞5，得x＜－，所以x≤－2. ②當(dāng)－2＜x＜時(shí)，x＋2－2x＋3＞5，得x＜0， 所以－2＜x＜0. ③當(dāng)x≥時(shí)，x＋2＋2x－3＞5，得x＞2，所以x＞2. 綜上，不等式解集為(－∞，0)∪(2，＋∞)． (2)|x＋m|＋|2x－n|＝|x＋m|＋＋≥|x＋m|＋≥＝m＋. 依題意，有m＋≥1，即2m＋n≥2. 故2m＋n的最小值為2. - 8 -