《2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十七講 動(dòng)態(tài)幾何問題透視》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十七講 動(dòng)態(tài)幾何問題透視（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座第二十七講動(dòng)態(tài)幾何問題透視春去秋來，花開花落，物轉(zhuǎn)星移，世間萬物每時(shí)每刻都處于運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化中，事物的本質(zhì)特征只有在運(yùn)動(dòng)中方能凸現(xiàn)出來動(dòng)態(tài)幾何問題，是指以幾何知識(shí)和圖形為背景，滲入運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類問題，常見的形式是：點(diǎn)在線段或弧線上運(yùn)動(dòng)、圖形的翻折、平移、旋轉(zhuǎn)等，解這類問題的基本策略是：1動(dòng)中覓靜這里的“靜”就是問題中的不變量、不變關(guān)系，動(dòng)中覓靜就是在運(yùn)動(dòng)變化中探索問題中的不變性2動(dòng)靜互化“靜”只是“動(dòng)”的瞬間，是運(yùn)動(dòng)的一種特殊形式，動(dòng)靜互化就是抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動(dòng)”與“靜”的關(guān)系3以動(dòng)制動(dòng)以動(dòng)制動(dòng)就
2、是建立圖形中兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，通過研究運(yùn)動(dòng)函數(shù)，用聯(lián)系發(fā)展的觀點(diǎn)來研究變動(dòng)元素的關(guān)系注：幾何動(dòng)態(tài)既是一類問題，也是一種觀點(diǎn)與思維方法，運(yùn)用幾何動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，可以把表面看來不同的定理統(tǒng)一起來，可以找到探求幾何中的最值、定值等問題的方法；更一般情況是，對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，努力去發(fā)掘更多結(jié)論，不同解法，通過弱化或強(qiáng)化條件來探討結(jié)論的狀況等，這就是常說的“動(dòng)態(tài)思維”【例題求解】【例1】如圖，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線上，按順時(shí)針方向在上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)到ABC的位置，設(shè)BC=1,AC=,則頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過的路線與直線所圍成的面積是思路點(diǎn)撥解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)動(dòng)的圖形準(zhǔn)確分割.R
3、tAABC的兩次轉(zhuǎn)動(dòng)，頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路線是兩段圓弧，其中圓心角分別為120和90，半徑分別為2和，但該路線與直線所圍成的面積不只是兩個(gè)扇形面積之和.【例2】如圖，在00中，P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)作AA丄AB,BB丄AB，且AA=AP,BB=BP,連結(jié)AB，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A移到點(diǎn)B時(shí)，AB的中點(diǎn)的位置（）A.在平分AB的某直線上移動(dòng)B.在垂直AB的某直線上移動(dòng)C.在AmB上移動(dòng)D.保持固定不移動(dòng)思路點(diǎn)撥畫圖、操作、實(shí)驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律【例3】如圖，菱形OABC的長(zhǎng)為4厘米，ZA0C=60。，動(dòng)點(diǎn)P從0出發(fā)，以每秒1厘米的速度沿O-A-B路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P出發(fā)2秒后，動(dòng)點(diǎn)Q從0出發(fā)，在0A上以每秒
4、1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O-A-B路線運(yùn)動(dòng)，過P、Q兩點(diǎn)分別作對(duì)角線AC的平行線.設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，這兩條平行線在菱形上截出的圖形(圖中的陰影部分)的周長(zhǎng)為厘米，請(qǐng)你回答下列問題：(1) 當(dāng)=3時(shí)，的值是多少?(2) 就下列各種情形：0WW2:2WW4；4WW6；6WW8.求與之間的函數(shù)關(guān)系式.(3) 在給出的直角坐標(biāo)系中，用圖象表示(2)中的各種情形下與的關(guān)系思路點(diǎn)撥本例是一個(gè)動(dòng)態(tài)幾何問題，又是一個(gè)“分段函數(shù)”問題，需運(yùn)用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，將各段分別討論、畫圖、計(jì)算注：動(dòng)與靜是對(duì)立的，又是統(tǒng)：一的，無論圖形運(yùn)動(dòng)變化的哪一類問題，都真實(shí)地反映了現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)與形的變與不變兩個(gè)方面
5、，從辯證的角度去觀察、探索、研究此類問題，是一種重要的解題策略建立運(yùn)動(dòng)函數(shù)關(guān)系就更一般地、整體-地把握了問題，許多相關(guān)問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值或自變量的值【例4】如圖，正方形ABCD中，有一直徑為BC的半圓，BC=2cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F,分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以1m/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線ADC以2cm/秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E離開點(diǎn)B的時(shí)間為2(秒).(1) 當(dāng)為何值時(shí)，線段EF與BC平行？(2) 設(shè)10時(shí)，求關(guān)于r的函數(shù)解析式，并寫出自變量r的取值范圍.6. 已知：如圖，0O韻直徑為10,弦AC=8，點(diǎn)B在圓周上運(yùn)動(dòng)(與A、C兩點(diǎn)不重合)，連結(jié)BC、BA,過點(diǎn)C作C
6、D丄AB于D.設(shè)CB的長(zhǎng)為，CD的長(zhǎng)為.(1) 求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)以BC為直徑的圓與AC相切時(shí)，求的值；(2) 在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，以CD為直徑的圓與0O有幾種位置關(guān)系，并求出不同位置時(shí)的取值范圍；(3) 在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，如果過B作BE丄AC于E,那么以BE為直徑的圓與0O能內(nèi)切嗎?若不能，說明理由；若能，求出BE的長(zhǎng).7. 如圖，已知A為ZPOQ的邊OQ上一點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的ZMAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點(diǎn)，且ZMAN=ZPOQ=(為銳角).當(dāng)ZMAN以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，AM邊從與AO重合的位置開始，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(ZMAN保持不變)時(shí)，M、N兩點(diǎn)在射線OP上同時(shí)以不同的速度向
7、右平移移動(dòng).設(shè)OM=，ON=(三0),AAOM的面積為S,若cos、OA是方程的兩個(gè)根.當(dāng)ZMAN旋轉(zhuǎn)30(即ZOAM=30)時(shí)，求點(diǎn)N移動(dòng)的距離；(2) 求證：AN2=ONMN；(3) 求與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；(4) 試寫出S隨變化的函數(shù)關(guān)系式，并確定S的取值范圍.8. 已知：如圖，梯形ABCD中，ADBC,AB=CD=3cm,ZC=60,BD丄CD.求BC、AD的長(zhǎng)度；(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)時(shí)，寫出五邊形ABPQD的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自
8、變量的取值范圍(不包含點(diǎn)P在B、C兩點(diǎn)的情況)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.9. 已知：如圖，E、F、G、H按照AE=CG,BF=DH,BF=nAE(n是正整數(shù))的關(guān)系，分別在兩鄰邊長(zhǎng)、的矩形ABCD各邊上運(yùn)動(dòng).設(shè)AE=，四邊形EFGH的面積為S.當(dāng)n=l、2時(shí)，如圖、，觀察運(yùn)動(dòng)情況，寫出四邊形3FGH各頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何位置,使?(2) 當(dāng)n=3時(shí)，如圖，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量的取值范圍)，探索S隨增大而變化的規(guī)律；猜想四邊形EFGH各頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何位置，使；(3) 當(dāng)n=k(k三1
9、)時(shí)，你所得到的規(guī)律和猜想是否成立?請(qǐng)說明理由.10. 如圖1,在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E從0點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從0點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿軸正方向運(yùn)動(dòng)，B(4,2)，以BE為直徑作001.(1) 若點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，設(shè)線段EF與線段0B交于點(diǎn)G，試判斷點(diǎn)G與00勺位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2) 在(1)的條件下，連結(jié)FB,幾秒時(shí)FB與001相切？(3) 如圖2,若E點(diǎn)提前2秒出發(fā)，點(diǎn)F再出發(fā),，當(dāng)點(diǎn)F出發(fā)后，E點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，設(shè)BA丄軸于A點(diǎn)，連結(jié)AF交001于點(diǎn)P,試問PAFA的值是否會(huì)發(fā)生變化?若不變，請(qǐng)說明理由，并求其值；若變化，請(qǐng)求其值的變化范圍參考答
10、案AE_2-tCF42t勿動(dòng)態(tài)幾何問廳透視【例題求解】例2選D例3(1)當(dāng)x=3時(shí),y=3X3-l=8；(2)當(dāng)時(shí),y=3OP，即$=3小當(dāng)2Cx4時(shí),5=3OP-CX?=3j(j-2)=2x+2?當(dāng)時(shí)，y=2(OA+AP)OQ+PB=Zz52+(8)=10；當(dāng)6x8時(shí)，AQ=2(z-2)4=2工一12,y=3(AB一AQ)PB=34-(2h-12)-(8-z)=-5h+4O；(3)略.例4設(shè)E.F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了r秒時(shí),EF/BC,如圖(G,則BE=t.CF=42由t=42t,得/=即當(dāng)秒時(shí)，43EF/RC.(2設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了秒時(shí),EF與半相切,Vl2f/.E、F分別在BA、CD上，如圖(
11、b),過點(diǎn)F作FG丄于G,則FG=BC=2,BE=t.CF=4-2r,EG=t-(4-2f)=3f-4,EF=BE+CF=4-r,又EF2=EG2+FGl,即(4一=(3/4嚴(yán)+22,解得=沢尹,故當(dāng)=葦吃秒時(shí)，EF與半圓相切.設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了r秒時(shí)，因19時(shí)，00在移動(dòng)中與AABC的邊不相切，即切點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.(3)如圖，$0時(shí)20在移動(dòng)中，在ABC內(nèi)部未經(jīng)過的部分為正三角形ABC的內(nèi)部，Sgc=y-BC-A,E=3V3(3-r)2./.所求解析式為S=3歯(3(0Vr=XS=6.4)當(dāng)CBH8時(shí)，兩圓相交,0y8,且yH6.4.(3)以BE為直徑的圓與O可以內(nèi)切BE=2或BE=&ANCN
12、7. (1)點(diǎn)N移動(dòng)的距離為2,(2)由厶OANsAMN,得ANJ=ON*MN.3)y=-i_(0x(4)0CS=(2?-6/+27)(Ot3)!9. 當(dāng)n=l或2時(shí),S=寺5町心當(dāng)n=3Bt,S=6(x-y)2+ya2(0x0,二次函數(shù)圖象的拋物線開口向上，規(guī)律t在對(duì)稱軸x=y左側(cè)，S隨工增大而減??；在對(duì)稱軸工=號(hào)右側(cè)，5隨乂增大而增大.1猜想t四邊形EFGH各頂點(diǎn)仍燃運(yùn)動(dòng)到矩形ABCD各對(duì)應(yīng)邊中點(diǎn)，使S=ySefl(of當(dāng)n-=k時(shí)，上述規(guī)律和猜想是成立的.同理可求得8=2用一2肋卄好=2心一號(hào)卩+號(hào)込510. (1)點(diǎn)G在0O1上1(2當(dāng)1=-秒時(shí)，必有BF與0】相切；(3)APAF的值不會(huì)發(fā)生變化，連結(jié)PB,在y軸上截取FM=OA=4.設(shè)OE=r(2z4)則OF=2(t-2),AE4-t,則OM=42(L2)=82t,故舗=芒直=+，又器=+ARt/AOMRtABAE,：.BEA=FMA，又BEABPA,：./BPA=ZFMA4Par7FM#AB,AZBAP=ZAFM.AAFMAAAPB,AAPAF=ABFM=2X4=8為一定值.
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