2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第11章 比例與相似試題1 新人教版

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1、2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí)第二篇平面幾何第11章比 例與相似試題1新人教版 li.i.i*在中，角平分線與交于,，，，求、之長(zhǎng)度（用、、表示）. 解析如圖，易知有，，故，． 11.1.2★已知：等腰梯形中,、分別是腰、的中點(diǎn)，，且交于,解析如圖，不妨設(shè)，貝y,,故，MN=-（AD+BC）=1=CE. 2 求證：. C 11.1.3★在中，，的平分線交于，過(guò)分別作、的平行線交、于、，和的延長(zhǎng)線交于，求證：. GEBEBEBDAB1 解析如圖，由，及平分，知——=====- GFDFAECDAC2 故，因此. 11.1.4★設(shè)為的邊的中點(diǎn)

2、，過(guò)作一直線，交、或其延長(zhǎng)線于、，又過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于,貝. 解析由平行知．于是由第一式與最后一式，轉(zhuǎn)化為乘法，即可得結(jié)論． 11.1.5★已知是平行四邊形內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于、，又過(guò)作，分別交、于、;連結(jié)，交于；連結(jié)，交于．如果，求證：平行四邊形是菱形． 解析如圖，易知，. 由于，，故OP-AB=GA-BF=AE-DH=OQ-AD，于是，四邊形是菱形. 11.1.6★中，是的角平分線.是的中點(diǎn)，過(guò)作直線平行于交、或延長(zhǎng)線于和.求證:.解析如圖，易知比靠近，在上，而在延長(zhǎng)線上．易知，而，故，同理，也是此值． 評(píng)注不用比例線段的方法是:延長(zhǎng)一倍至，則，

3、再證和均為等腰三角形． 11.1.7★凸四邊形中，，，平行于交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，平行于交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)、，證明：.解析如圖，設(shè)、交于，則由平行線性質(zhì)，知，，同理，，故，故. F 11.1.8★★如圖，在中.，、為的三等分角線，交的平分線于、，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，求證:. 解析易知關(guān)于對(duì)稱． 又設(shè)，貝y,故，于是由角平分線之性質(zhì)，知蘭=空=AC=也=AP，于是. BRRQCQBQPQ 11.1.9★★梯形中，（），和交于，過(guò)作，交、于、，和交于，過(guò)作，交、于、.求證：. 解析空=如=DM=1-BM=1-EM，故，同理，故，同理，兩式相加并整理即得結(jié)BCACDBDBAD

4、 論. 11.1.10★設(shè)、、分別是的三邊的長(zhǎng)，且，求它的內(nèi)角、. 解析由條件，得，即，所以. 如圖，延長(zhǎng)至，使，于是.因此在與,，且為公共角，所以S，而，故 ZABC=/D+上BAD=2ZD=2ZBAC. 11.1.11*設(shè)凸四邊形，對(duì)角線交于，過(guò)作直線與平行，交、及延長(zhǎng)線于、、.若，，求. 解析延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于，則有． 設(shè)，則，代人上式，便得.故. 11.1.12^★為等腰三角形底邊上的高，為的平分線，作于，又作與直線交于，求證:.解析如圖，設(shè)，，則由角平分線性質(zhì)知， 故. 又取中點(diǎn)，連結(jié)，，，故，，故，從而，故.于是. 11.1.13*★足球場(chǎng)

5、四周有四盞很高的燈，在長(zhǎng)方形的四角，且一樣高，求某一運(yùn)動(dòng)員任何時(shí)刻的四個(gè)影子長(zhǎng)之間的關(guān)系.跳起來(lái)呢? 解析設(shè)運(yùn)動(dòng)員在矩形球場(chǎng)內(nèi)，如圖(a),過(guò)作，在上，在上，則 AP2-BP2=AM2—BM2=DN2-CN2=PD2—PC2，或. D N C 又設(shè)燈高為，運(yùn)動(dòng)員身高為，點(diǎn)處的燈造成的影子長(zhǎng)為'，如圖①），貝y,得，同理，故四 個(gè)影子的關(guān)系是． H A'PA 圖(b) H 跳起來(lái)時(shí)，不妨設(shè)腳底離地，此時(shí)點(diǎn)處的燈造成的影子長(zhǎng)度為'〃，如圖（C）,則 于是同理，所以'+=仍舊成立. 11.1.14*★求日高公式. 解析如圖所示，設(shè)太陽(yáng)高度為，桿'=直立在

6、地上，影子的長(zhǎng)度分別為，‘'，兩桿距 離為.所謂日高公式就是用、、表示，這里假定大地為平面，且、'‘與在同一平面上. 易知，代入得，故；同理，'.由代入得，由此解得. 11.1.15*★設(shè)梯形ABCD,E、F分別在AB、CD上,且，若，，，，梯形和梯形的周長(zhǎng)相等，求.解析如圖，作平行四邊形，在上，貝，.設(shè)與交于. 易知梯形的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)加上6，梯形的周長(zhǎng)為梯形的周長(zhǎng)加6，故的周長(zhǎng)=梯形的周長(zhǎng)，也即周長(zhǎng)的一半即． 又，故.GF=CH-DF=45x4=30, CD6611 11.1.16*★如圖，已知中，、交于,、交于，過(guò)作，交于，交于，求證:. C 解析設(shè)與

7、交于，與直線交于，則. (PK、pGcdGM 于是MN=KN-KM=KM——-1=KM——=——PGPG=GM. (GK丿GKBDPG 11.1.17★四邊形為正方形,、在延長(zhǎng)線上，，，、分別是、與的交點(diǎn).求證：為等腰三角形.解析如圖，不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則，，. 作，交于?則c= DG_AD_丄 DE~AD+EF~v2 于是，即為直角三角形斜邊之中點(diǎn)，于是. 11.1.18*★在中，，，，是內(nèi)一點(diǎn)，、、分別在、、上，且，，.若，求. 解析如圖，延長(zhǎng)交于'(同理定義，圖中未畫(huà)出)，設(shè)，貝y,同理,，由于，故， 11.1.19★內(nèi)有

8、一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)'，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)'，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)'.若,求的值(用表示)． 解析如圖，設(shè)，，，則，而，即，展開(kāi)得 +yz+zx+xyz 3+2(x+y+z)+xy+yz+zx=1+(x+y+z)+xy 故. 11.1.20★已知的三邊長(zhǎng)分別為、、三角形中有一點(diǎn)，過(guò)作三邊的平行線，長(zhǎng)度均為，試用、來(lái)表示. 解析設(shè)延長(zhǎng)后與交于'(同理定義'與')，貝y,同理， 一仔士口亦知(111)°(PAPBPC')c (abc丿|AA'BB'CC'丿 所以. 評(píng)注存在的條件是，，，代人得：、、可組成三角形三邊之長(zhǎng). 11.1.21★已知、、分別是銳角三角形的

9、三邊、上的點(diǎn)，且、、相交于點(diǎn)，設(shè)，，，，求的大小.解析由熟知結(jié)論，得，因此x(x+6)(z+6)+y(x+6)(z+6)+z(x+6)(y+6)=，即卩=24. 11.1.22★如圖，正方形邊長(zhǎng)為1,為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與、分別交于點(diǎn)、，(點(diǎn)是與交點(diǎn))與交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng). 解析連結(jié)，則由，得，于是，，為中點(diǎn)，所以． 11.1.23*★如圖，已知,、分別在、上，則下面任兩條可推出第三條:(1)、、共點(diǎn)；(2)；(3)． 解析(1)，(2)(3)：，則，故．(2)，(3)(1)：，故可設(shè)、延長(zhǎng)后交于，、延長(zhǎng)后交于，，與重合． (1)，(3)(2)：若與不平行，作，在上，在上

10、，則有，得，即，矛盾 11.1.24★中，為的平分線，在、上取,、分別為、的中點(diǎn)，貝y.解析如圖，連結(jié)，設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)、，則，所以，且ZGMF=ZGME+ZEMF=上ABE+180?！猌BEC=180。—ZBAC.取上的點(diǎn)，使，則等腰S等腰，且對(duì)應(yīng)邊,，故第三邊也平行，即. 11.1.25*★★已知：中，，為上一點(diǎn)，且非中點(diǎn)，，為中點(diǎn)，求證:，平分. 解析如圖，作，與延長(zhǎng)線交于，延長(zhǎng)交于，則由，有.又，故.由條件，知，于是，，四邊形乃等腰梯形(若四邊形是菱形，則，為中點(diǎn)，與題設(shè)矛盾)，又為中點(diǎn)，顯然(比如由全等)有. C 11.1.26*★★已知、分別為矩形的邊、的中點(diǎn)，

11、延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)，延長(zhǎng)后與交于.求證.平分． 解析如圖，設(shè)與交于，則，過(guò)作，交于，則. 又，，故，于是，由于將垂直平分，于是. 11.1.27*★在中，，求證:，、、為的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng). 解析如圖，延長(zhǎng)至，使，于是，故，.中，，則.又由角平分線性質(zhì)，得，代人前式，得即得結(jié)論. D 評(píng)注中，ZA=2ZBoBC2=AC(AC+AB)，證明如下：延長(zhǎng)至，使，于是 ZD=ZABCoBC2=AC(AC+AD)或. 11.1.28^★已知，、分別是、上任兩點(diǎn),、延長(zhǎng)后交于,、延長(zhǎng)后交于，求證：若，則、、共點(diǎn)；若，則. 解析如圖，設(shè)，，，延長(zhǎng)、分別與交于、，設(shè).由知，同理，即，于是

12、，或.若，則，又做；，由，得、、共點(diǎn)(見(jiàn)題11.1.23). 11.1.29*★正三角形，、是、、的中點(diǎn)，、、分別在、、上，、、共線，、共線，、、共線，求.解析如圖，不妨設(shè)邊長(zhǎng)為2，，，，則，，． 由，得，同理，1,于是，，1—x=—-——1=—-——1=—_-,1—z1—2x1—2x 所以， FP=亠=3-后45-1 PE1一x<5一12 11.1.30^★任給銳角，問(wèn)在、、上是否各存在一點(diǎn)、、，使,，? 解析這樣的是存在的.作法如下：在上任取一點(diǎn)'，作'‘于'，分別過(guò)作、的垂直線交于點(diǎn) BD'DC 若'恰在上，貝y，即為滿足條件的三點(diǎn)、、；若，'不

13、在上，設(shè)、‘，所在直線與 交點(diǎn)為（因?yàn)槭卿J角三角形，所以交點(diǎn)必在上），過(guò)分別作、的垂線交、于、，則，，連結(jié)，易知，得由作法所以，、滿足條件. 11.1.31*★★已知凸四邊形內(nèi)有一點(diǎn),、、、的平分線分別交、、、于、、、，求證：四邊形為平行四邊形的充要條件是為、的中垂線的交點(diǎn).解析若為、的中垂線之交點(diǎn)，貝，于是，于是，同理，又同理，故四邊形為平行四邊形 反之，若四邊形為平行四邊形，由于，故由梅氏定理，若、不與平行，它們將與交于同一點(diǎn)這與矛盾，因此，，同理，故在、的中垂線上． ii.i.32*★★已知梯形中，，分別在、上，求證：若，貝y.又此時(shí)若、交于，交于，問(wèn)三直線、、共點(diǎn)的條件．

14、 解析如圖(a),不妨議、延長(zhǎng)后交于，于是有， 圖(a) 于是PA-PC=PB-PD=PE-PF，由此可得，故. 因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，過(guò)的中點(diǎn)，若、共線，貝由塞瓦定理，有．下面刻畫(huà)或的位置如圖(b),設(shè)與交于，，則由，，而，，故，此即. 11.1.33*★如圖，已知中,、、交于，，延長(zhǎng)后與的延長(zhǎng)線交于，求證:. FHFMFGHDHK 解析作，與父于，與父于，則由平仃，知，故——====，于是. EJENGNDJEJ 11.1.34*★★已知，、是角平分線,、在上，且，求證：平分. 解析1設(shè)內(nèi)心為，與父于，與父于，連結(jié)，父于．由角平分線及平仃

15、性質(zhì)，有，故有 FMFSSIFPAF ENETIEPEAE 又，故S,于是，于是平分. 解析2由角平分線性質(zhì)，知，，于是.又易見(jiàn)，，故，于是，以下同解析1. 評(píng)注注意解析1更好些，因?yàn)橹灰笃椒?不要求是內(nèi)心，本題結(jié)論也成立.于是本題的逆命題是，由平分得出平分，而不能證明是內(nèi)心.這個(gè)逆命題也是正確的，讀詩(shī)者不妨一試. 11.1.35*★為內(nèi)一點(diǎn)，、在上,、在上，線段、交于.若，則平分，反之亦然. 解析如圖，作平仃四邊形，、分別在、上.設(shè)，. 此時(shí)易得，因此喘 (1 1「 a—b’ (1 1] 1 =+b 1 (OD OAJ OC 1OC O

16、B丿 于是.但，故.所以平仃四邊 形是菱形，為之平分線. Y 反之，可設(shè)所作平仃四邊形為菱形.設(shè)菱形邊長(zhǎng)為，則，即得.同理，于是命題得證. 11.1.36*★已知，三邊分別為、、，是角平分線.求之長(zhǎng)（用、，表示） 解析如圖，延長(zhǎng)至，使，于是、、共圓，又"，故==AD2+AD-DE=AD+BD-CD. 設(shè)，，則，，故ADjbc_~^上正+心"2 (b+c)2(b+c)2 =bc(b+c+a)(b+c-a). b+c 11.1.37*★在中，、三等分，且2,3,6,求的長(zhǎng).解析如圖，設(shè)，，則由角平分線性質(zhì)知，. 由于,即,同理, 消去,

17、得. 11.1.38*★★已知平行四邊形，點(diǎn)是點(diǎn)在上的垂足，點(diǎn)在上”，點(diǎn)在上，點(diǎn)是與的交點(diǎn),又延長(zhǎng)后與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，求證：. 解析如圖，作.對(duì)與來(lái)說(shuō)，，而，如果能證明兩三角形(順向)相似，那么第三組對(duì)應(yīng)邊與就垂直了，于是只需證明或.事實(shí)上設(shè)、延長(zhǎng)后交于點(diǎn)，且設(shè)，則易知，于是 =cot0=cot0=cot0，又，故，于是，代人上式，即得. IKIJADFB §11.2相似三角形 11.2.1★已知，是中點(diǎn),、在的同側(cè)，且，，證明：. 解析如圖，易知ZDBE=ZDBC-ZEBC=ZA+ZADB-ZEBC=ZA.又s,故，于是s,故. 11.2.2★已知-貝『， ，從而此 解析如圖，作與使，則由條件'，且，故s，即 評(píng)注這個(gè)結(jié)果用途極廣. 11.2.3★線段分為兩個(gè)相似的三角形，相似系數(shù)等于，求的各內(nèi)角.解析如圖，不妨設(shè)s,比較“大”. 由于＞及，故只能有，于是. 不可能（否則今），故，，，，因此三內(nèi)角為：、、 11.2.4★★設(shè)中，在在上，且，求證：s. 解析過(guò)作，是是一點(diǎn).于是，代入條件并整理，即得又，于是s,于是，故s.