高中數(shù)學(xué)：第三章 不等式 學(xué)案（新人教版必修5B）

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1、《不等式》復(fù)習(xí)小結(jié) 學(xué)案 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．會(huì)用不等式（組）表示不等關(guān)系； 2．熟悉不等式的性質(zhì)，能應(yīng)用不等式的性質(zhì)求解“范圍問題”，會(huì)用作差法比較大小； 3．會(huì)解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)的關(guān)系； 4．會(huì)作二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域，會(huì)解簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題； 5．明確均值不等式及其成立條件，會(huì)靈活應(yīng)用均值不等式證明或求解最值。 二、重點(diǎn)，難點(diǎn) 不等式性質(zhì)的應(yīng)用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，基本不等式的應(yīng)用。利用不等式加法法則及乘法法則解題，求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，基本不等

2、式的應(yīng)用。 三、掌握的知識(shí)點(diǎn) 1.本章知識(shí)結(jié)構(gòu) 2、知識(shí)梳理 （一）不等式與不等關(guān)系 1、應(yīng)用不等式（組）表示不等關(guān)系； 不等式的主要性質(zhì)： (1)對(duì)稱性： (2)傳遞性： (3)加法法則：； (4)乘法法則：； (5)倒數(shù)法則： (6)乘方法則： (7)開方法則： 2、應(yīng)用不等式的性質(zhì)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大??；作差法 3、應(yīng)用不等式性質(zhì)證明 （二）一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解集： 設(shè)相應(yīng)的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：

3、 二次函數(shù) （）的圖象 一元二次方程 有兩相異實(shí)根 有兩相等實(shí)根 無實(shí)根 R （三）線性規(guī)劃 1、用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線） 2、二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法 由于對(duì)在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)()，把它的坐標(biāo)（)代入Ax+By+C，所得到實(shí)數(shù)的

4、符號(hào)都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)（x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C＞0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)） 3、線性規(guī)劃的有關(guān)概念： ①線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件． ②線性目標(biāo)函數(shù)： 關(guān)于x、y的一次式z=2x+y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)． ③線性規(guī)劃問題： 一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題． ④可行解、可行域和最優(yōu)解：

5、 滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解組成的集合叫做可行域． 使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解． 4、求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟： （1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)； （2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域； （3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解 （四）基本不等式 1、如果a,b是正數(shù)，那么 2、基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦” 五、知識(shí)運(yùn)用 1． 已知正數(shù)滿足,則的最小值為 . 2． 已知且則的最小值為 . (2)已知?jiǎng)t的取值范圍是 .

6、3．已知函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為,若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求的取值范圍. 4．對(duì)于任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 5．已知二次函數(shù)和一次函數(shù),其中滿足 . (1) 求證:兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn); (2) 求線段在軸上的射影的長(zhǎng)的取值范圍. 參考答案： 1．法一: 因?yàn)? 所以 . 法二:結(jié)論向條件靠,將次數(shù)升上去,方便使用條件, = =4(4-2+(. 又,故 2．（1）解:當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 或解：由得,則,后略. （2）解:由題意, 故,, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,. 3．解:由及得到,則. 由題設(shè)可得對(duì)恒成立. 即對(duì)恒成立 對(duì)恒成立 只需在上的最大值.對(duì)于這個(gè)最大值的計(jì)算方法可以是平均值定理法,也可以是導(dǎo)數(shù)法,下面我選擇其中一種. (當(dāng)時(shí)等號(hào)成立) 故. 4．令,則問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意,恒成立,則問題 或或. 5．解: (1)由消得,由題意且.由條件不難得到,故即.可得兩函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn). (2)設(shè)上述方程的兩個(gè)根分別為,則 = 令,則原式=4(1. 由有,又,, 因此且,且.即. 所以,.