高中數(shù)學(xué) 排列與組合 版塊四 排列數(shù)組合數(shù)的計算與證明完整講義（學(xué)生版）

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1、學(xué)而思高中完整講義：排列與組合.版塊四.排列數(shù)組合數(shù)的計算與證明.學(xué)生版 知識內(nèi)容 1．基本計數(shù)原理 ⑴加法原理 分類計數(shù)原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，……，在第類辦法中有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱加法原理． ⑵乘法原理 分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個子步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同方法，……，做第個步驟有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱乘法原理． ⑶加法原理與乘法原理的綜合運用 如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計

2、算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理． 分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問題的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認真學(xué)好，并正確地靈活加以應(yīng)用． 2． 排列與組合 ⑴排列：一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．（其中被取的對象叫做元素） 排列數(shù)：從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示． 排列數(shù)公

3、式：，，并且． 全排列：一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列． 的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示．規(guī)定：． ⑵組合：一般地，從個不同元素中，任意取出個元素并成一組，叫做從個元素中任取個元素的一個組合． 組合數(shù)：從個不同元素中，任意取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中，任意取出個元素的組合數(shù)，用符號表示． 組合數(shù)公式：，，并且． 組合數(shù)的兩個性質(zhì)：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：．（規(guī)定） ⑶排列組合綜合問題 解排列組合問題，首先要用好兩個計數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是分步，是排列還是組合，同時要掌握一些常見類型的排列組合問題

4、的解法： 1．特殊元素、特殊位置優(yōu)先法 元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素； 位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置； 2．分類分步法：對于較復(fù)雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏． 3．排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法． 4．捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列． 5．插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空． 6．插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個

5、的分組問題——把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有． 7．分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）．有等分、不等分、部分等分之別．一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個數(shù)相等，必須除以！ 8．錯位法：編號為1至的個小球放入編號為1到的個盒子里，每個盒子放一個小球，要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列，特別當，3，4，5時的錯位數(shù)各為1，2，9，44．關(guān)于5、6、7個元素的錯位排列的計算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題． 1．排列與組合應(yīng)用題，主要考查有附加條件的應(yīng)用問題，解決此類問題通常有三種途徑： ①元素分析法：

6、以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； ②位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； ③間接法：先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)． 求解時應(yīng)注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時重復(fù)和遺漏；最后列出式子計算作答． 2．具體的解題策略有： ①對特殊元素進行優(yōu)先安排； ②理解題意后進行合理和準確分類，分類后要驗證是否不重不漏； ③對于抽出部分元素進行排列的問題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復(fù)； ④對于元素相鄰的條件，采取捆綁

7、法；對于元素間隔排列的問題，采取插空法或隔板法； ⑤順序固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理； ⑥對于正面考慮太復(fù)雜的問題，可以考慮反面． ⑦對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題，需要構(gòu)造模型． 典例分析 排列數(shù)組合數(shù)的簡單計算 【例1】 對于滿足的正整數(shù)，（ ） A． B． C． D． 【例2】 計算______． 【例3】 計算，； 【例4】 計算______，_______． 【例5】 計算，； 【例6】 計算，，，，．

8、 【例7】 已知，求的值． 【例8】 解不等式 【例9】 證明：． 【例10】 解方程． 【例11】 解不等式． 【例12】 解方程： 【例13】 解不等式：． 【例14】 設(shè)表示不超過的最大整數(shù)（如，），對于給定的，定義，，則當時，函數(shù)的值域是（ ） A． B． C． D． 【例15】 組合數(shù)恒等于（ ） A． B． C． D．

9、 【例16】 已知，求、的值． 排列數(shù)組合數(shù)公式的應(yīng)用 【例17】 已知，求的值． 【例18】 若，則_______ 【例19】 若，則 【例20】 證明： 【例21】 證明：． 【例22】 求證： ． 【例23】 證明：． 【例24】 證明：． 【例25】 求證：； 【例26】 計算：， 【例27】 證明：．（其中） 【例28】 解方程 【例29】 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 【例30】 規(guī)定，其中，為正整數(shù)，且，這是排列數(shù)（是正整數(shù)，且）的一種推廣． ⑴求的值； ⑵排列數(shù)的兩個性質(zhì)：①，②（其中是正整數(shù)）．是否都能推廣到（，是正整數(shù)）的情形?若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由．