有限制條件的排列與組合問題 新課標 人教版（通用）

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1、有限制條件的排列與組合問題 有限制條件的排列、組合應用題是高考中的重點內(nèi)容，是學生學習中的難點。其實這類問題還是有其內(nèi)在規(guī)律的。本文介紹處理這類問題的幾個原則。 一、特殊元素優(yōu)先處理 例1、 5人排成一排照相 （1）甲不能站在中間,有多少種不同的的排法? （2）甲必須站在中間,有多少種不同的的排法? 解法一： 甲是受限制的特殊元素,優(yōu)先考慮他的安排。 （1） 甲站在中間后，其余4人選擇4個位置,共有C11A44=24種不同的排法。 （2） 甲從除中間外的其它4個位置上選擇一個位置后，再排其余4人，故有C41A44 =96種不同的排法。 解法二：把中間位置視為特殊元素 （

2、1） 中間位置只能給甲占，其余4個位置由余下其它4 人占領(lǐng)，故有C11A44=24種不同的排法。 （2） 中間位置選甲之外4人中的一人，其余4個位置由余下4人占領(lǐng)，故有C41A44=96種不同的排法。 例2 用五種不同的顏色給圖中A,B,C,D,E五個平面區(qū)域染色,要求每個區(qū)域只染一種顏色,且相鄰區(qū)域不能染相同顏色,求不同的染色方法總數(shù)。 D 解：五塊平面區(qū)域中，A的位置特殊，與其余 四塊區(qū)域均相鄰優(yōu)先給A染色，有C51種方法, E C 其余各塊依次(分布)染色,故不同 的染色方法種 A A A 數(shù)為C51C41C31C31C21=360。 B 例3

3、、在30000和60000之間有多少個無重復數(shù)字的5的倍數(shù)。 分析：依題意，萬位上只能取3，4，5，個位上只能取回0或5，可列表對個位分類討論。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 萬位 √ √ √ 個位 √ √ 解：當個位取0時，有C31A83=1008種取法；當個位取5時，有C21A83=672種，故所求總數(shù)為C31A83+ C21A83=1680。 當題設(shè)兩個以上限制條件時，可用列表法顯示對特殊元素的限制，從而通過恰當分類找到解題方法。 二、定序序問題無序處理 例

4、4 從1到9這九個數(shù)字中任取4個不同的數(shù)作為函數(shù)y=ax3 +bx2 +cx+d的系數(shù)，且要求a＜b＜c＜d，這樣的函數(shù)共有多少個？ 分析：從9個數(shù)中取出4個作為三次函數(shù)的系數(shù)，由于規(guī)定了順序，故每次取出后只有一種排列位置，因而實際上是一個組合問題，無異于“無序”。故所求的函數(shù)個數(shù)為：C94 =126。 例5 10個人坐成一排，其中甲在乙的左邊，甲乙不一定相鄰的坐法有多少種？ 分析：在所有的坐法中，“甲在乙的左邊”，與“甲在乙的右邊”的方法是一樣多，按對稱性，應該有A1010÷2 =A1010種不同的坐法。 本題可拓展為更一般的“定序”問題：將n個不同有元素排成一排，其中a1在a2的

5、左邊，a2在的a3左邊，…，ak-1在ak的左邊（a1，a2，…，ak不一定相鄰），總共有Ann÷AKK=種不同的排法。 三 、 多排問題直排處理 例6、 8個人排成前后兩排，每排4人 （1）共有多少種排法？ （2）若甲、乙2人要排在前排，丙要排在后排，共有多少種不同的排法？ 分析；（1）8個人排成前后兩排，每排4人的排法數(shù)等價于8人排成一排的排法數(shù)有A88=8！種排法。 （2）此小題等價于“8個人排成一排，甲、乙要排在前4個位置之一，丙要排在后4個位置之一”。按特殊元素優(yōu)先處理原則，有A42A41A55種方法。 四、相鄰問題“粘合”處理 例7 有8本

6、互不相同的書，其中數(shù)學書3本，外文書2本，其它書3本。若將這些書排成一列放在書架上，則數(shù)學書恰好排在在一起，外文書恰好排在一起的排法共有 種。（1996年上海高考題） 分析：把3本數(shù)學書暫時看成一“本”，即暫時理解為把三本數(shù)學書“粘合”或“捆綁”在一起，有A33種排法；同理2本外文書恰好排在一起有A22種排法，然后與其它書去排，總共有A33A22A55種排法。 例8 計劃展出10幅不同的，其中1幅水彩畫，4幅油幅，5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有（ ）種。 （1994年上海高考題） A A

7、44A55 B A33A44A55 C C31A44A55 D A22A44A55 分析：根據(jù)特殊元素優(yōu)先處理，先把一幅水彩畫放在“中間”，4幅油畫 “粘合”在一起，有A44 種排法；5幅國畫 “粘合”在一起，有A55 種排法；最后把油畫、國畫兩類書排列，總共有A44A55A22 種排法。所以選D。 五、隔離問題“插入”處理 例9 由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字且數(shù)字1與2不相鄰的五位數(shù)，求這種五位數(shù)的個數(shù)。（1987年全國高考題） 分析：為保證1，2兩個數(shù)不相鄰，以讓它們“插空

8、”為好。1，2兩數(shù)暫不列，其它3數(shù)先排，排法有A33種。這三數(shù)排好后，前后共有4個“空位”可供1，2兩數(shù)選擇，不同的排法有A42。所以符合題意的不同排法共有A33A42=72種。 例10 馬路上有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件的關(guān)燈辦法有多少種？ 分析：關(guān)燈方法的每一種都惟一對應著滿足題設(shè)的亮燈與暗燈的一個排列。于是問題轉(zhuǎn)化為在6盞亮燈中插入3盞暗燈，且任意兩暗燈不相鄰，暗燈不在兩端，所以滿足條件的關(guān)燈辦法有C53=10種。 六、多類問題“減法”處理 例11 以一個

9、正方體的頂點為頂點的四面體共有（ ）個。（1990年全國高考題） A 70 B 64 C 58 D 52 分析：從正面考慮比較復雜，但其反面“四點共面不構(gòu)成四面體”卻比較容易計算，所以用排除法：C84=58。選C 例12 正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形有 個 （用數(shù)字作答） （1996年全國高考題） 分析：點構(gòu)成三角形，屬于組合組合問題，其反面是共線三點不能構(gòu)成三角形，正六邊形的中心和頂點存在三組三點共線的情形，所以一共有三角形C73-3=32個。 總結(jié)：以上六個原則代表了排列與組合的六種基本思想方法，如果把它們綜合在一起，協(xié)同作戰(zhàn)，則可解決更復雜的排列與組合問題。