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1、例析二次函數(shù)圖象性質(zhì)的運用
徐加生
與二次函數(shù)相關(guān)的題目是高考的熱點題型，充分利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，從形象直觀到理性思考，能找到較為簡捷的解題思路。下面從不同側(cè)面入手，介紹幾種常見類型的解題思路。
一、圖象的位置
根據(jù)題意考察結(jié)合條件的二次函數(shù)圖象的位置，以形助數(shù)列出不等式易求解。
例1. 若二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少存在一點c，使，求實數(shù)p的取值范圍。
分析1：依題意有或
即或
解得或
所以
分析2：（補集法）問題的反面即拋物線在內(nèi)位于x軸下方（含與x軸的交點）。
令且，得且
求得或
求其補集得符合題意的解是
二、圖象的對稱軸
二次函數(shù)圖象的對稱軸是二次函數(shù)的重要幾
2、何特征，除軸對稱的關(guān)系外，還有圖象頂點的橫坐標(biāo)這一幾何量。靈活運用這些知識來解題，效果甚好。
例2. 已知a>0，函數(shù)
（I）當(dāng)b>0時，若對任意，都有，證明。
（II）當(dāng)b>1時，證明對任意，的充要條件是；
（III）當(dāng)時，討論對任意的充要條件。
解：（I）
因為對恒成立，且
所以
又f(x)圖象過原點且對稱軸，故時，恒成立的充要條件為
或
（II）當(dāng)時，因，故<1>的解集為空集，而<2>的解等價于
（III）當(dāng)時，由<1>得，因，且，由<2>得，故時，的充要條件是。
三、與x軸的交點
當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸相交時，利用交點所在位置，根據(jù)范圍列式，可獲簡解。
3、例3. 關(guān)于x的實系數(shù)二次方程的兩實根為，證明：
（1）如果，那么且；
（2）如果且，那么。
分析：所證兩個小題，即證且的充要條件是且。若令，則問題轉(zhuǎn)化為求證拋物線與x軸的兩個交點落在區(qū)間內(nèi)的充要條件是且，故。
由<1><2>
，從而，且
四、在x軸上截得的弦
二次函數(shù)的圖象拋物線截x軸所得的弦長為
運用此公式是解決有關(guān)弦長問題的重要手段。
例4. 已知二次函數(shù)，其中且。
（1）求證此函數(shù)的圖象與x軸交于相異兩點；
（2）設(shè)函數(shù)圖象截x軸所得的線段的長為L，求L的取值范圍。
略解：（1）因為且，則，所以，故，即函數(shù)圖象與x軸交于相異兩點。
（2）設(shè)函數(shù)圖象與x
4、軸兩交點為，則
又且
故，則有
而在上是單調(diào)減函數(shù)，則
故
五、函數(shù)圖象的頂點位置
二次函數(shù)圖象的頂點即二次函數(shù)的最大值或最小值點，而在閉區(qū)間上的最值問題必須根據(jù)頂點的位置變化來討論解決。
例5. 已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍。
分析：若恒成立，即有f(x)在上的最小值。
收于
下面按對稱軸與定義域的位置關(guān)系分類求解。
（1）當(dāng)，即時，，解得，則。
（2）當(dāng)即時，，得，則。
（3）當(dāng)，即時，，得，與矛盾，舍去。
綜上所述，得。
六、函數(shù)單調(diào)性
二次函數(shù)的單調(diào)性是比較簡單的，根據(jù)其單調(diào)區(qū)間的判定，可獲得函數(shù)取最值的情況，從而可列式來判斷參數(shù)的取值。
例6. 已知且
（1）設(shè)，求的表達式；
（2）設(shè)，試問：是否存在實數(shù)，使在上是減函數(shù)并且在上是增函數(shù)。
分析：（1）由得
即
則
若設(shè)，則
要使在上是減函數(shù)并且在上是增函數(shù)，
即要使h(t)在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增
根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性，知是對稱軸，故有得
即存在實數(shù)滿足題意。
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