2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 第1講 選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案

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1、第1講選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程 高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用．以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時(shí)考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識(shí)． 1．直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(ρ，θ)，則 2．直線的極坐標(biāo)方程 若直線過點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾

2、個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程： (1)直線過極點(diǎn)：θ＝α； (2)直線過點(diǎn)M(a，0)(a>0)且垂直于極軸：ρcosθ＝a； (3)直線過M且平行于極軸：ρsinθ＝b． 3．圓的極坐標(biāo)方程 幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程： (1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：ρ＝r； (2)當(dāng)圓心位于M(r，0)，半徑為r：ρ＝2rcosθ； (3)當(dāng)圓心位于M，半徑為r：ρ＝2rsinθ． 4．直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 設(shè)P是直線上的任一點(diǎn)，則t表示有向線段的數(shù)量． 5．圓、橢圓的參數(shù)方程 (1)圓心在點(diǎn)M(x0，y0)，半

3、徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)． (2)橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 熱點(diǎn)一　曲線的極坐標(biāo)方程 【例1】(2019·呼和浩特期中)在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為． （Ⅰ）求與的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）若與的交于點(diǎn)，與交于、兩點(diǎn)，求的面積． 解（Ⅰ）∵曲線的極坐標(biāo)方程為， ∴根據(jù)題意，曲線的普通方程為 ∵曲線的極坐標(biāo)方程為， ∴曲線的普通方程為，即， （Ⅱ）∵曲線的極坐標(biāo)方程為， ∴曲線的普通方程為， 聯(lián)立與:，得，解得， ∴點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)到的距離. 設(shè)，

4、將代入，得， 則，， , ∴． 探究提高　進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范圍及其影響，靈活運(yùn)用代入法和平方法等技巧． 【訓(xùn)練1】(2017·北京東城區(qū)調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，已知極坐標(biāo)方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cosθ． (1)求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀； (2)若曲線C1，C2交于A，B兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離． 解　(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0， ∴x－y－1＝0，表示一條直線．由C2：

5、ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ． ∴x2＋y2＝2x，則(x－1)2＋y2＝1， ∴C2是圓心為(1，0)，半徑r＝1的圓． (2)由(1)知，點(diǎn)(1，0)在直線x－y－1＝0上，因此直線C1過圓C2的圓心． ∴兩交點(diǎn)A，B的連線段是圓C2的直徑， 因此兩交點(diǎn)A，B間的距離|AB|＝2r＝2． 熱點(diǎn)二　參數(shù)方程及其應(yīng)用 【例2】(2019·湖北聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），直線（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （1）求曲線與直線l的極坐標(biāo)方程（極徑用表示，極角用表示）； （2）若直線與曲線相交，交點(diǎn)為、，直線與軸也相交，交點(diǎn)為，求的取

6、值范圍. 解（1）曲線，即，即，即或， 由于曲線過極點(diǎn)，∴曲線的極坐標(biāo)方程為 直線，即， 即，即， 直線的極坐標(biāo)方程為； （2）由題得， 設(shè)為線段的中點(diǎn)，圓心到直線的距離為， 則它在時(shí)是減函數(shù)， ∴的取值范圍． 探究提高　1．將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程，常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等，往往需要對(duì)參數(shù)方程進(jìn)行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)造條件． 2．在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會(huì)使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解． 【訓(xùn)練2】(2017·郴州三模)

7、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標(biāo)方程； (2)若直線l與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，直線l與x軸的交點(diǎn)為P，求|PM|·|PN|的值． 解　(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 消去參數(shù)t，得x＋y－1＝0． 曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 利用平方關(guān)系，得x2＋(y－2)2＝4，則x2＋y2－4y＝0． 令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ． (2)在直線x＋y－1＝0中，令y

8、＝0，得點(diǎn)P(1，0)． 把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程得t2－3t＋1＝0， ∴t1＋t2＝3，t1t2＝1． 由直線參數(shù)方程的幾何意義，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1． 1．(2018·全國I卷)在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為． （1）求的直角坐標(biāo)方程； （2）若與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求的方程． 2．(2018·全國II卷)在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）． （1）求和的直

9、角坐標(biāo)方程； （2）若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率． 1．(2016·全國Ⅲ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2． (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)． 2．(2017·哈爾濱模擬)已知曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為

10、極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝4． (1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的普通方程； (2)若射線θ＝與曲線C交于O，A兩點(diǎn)，與直線l交于B點(diǎn)，射線θ＝與曲線C交于O，P兩點(diǎn)，求△PAB的面積． 1．(2017·新鄉(xiāng)三模)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，曲線M的直角坐標(biāo)方程為x－2y＋2＝0(x>0)． (1)以曲線M上的點(diǎn)與點(diǎn)O連線的斜率k為參數(shù)，寫出曲線M的參數(shù)方程； (2)設(shè)曲線C與曲線M的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，求直線OA與直線OB的斜率之和．

11、 2．(2019·廈門期末)在同一直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線變?yōu)榍€.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為. （1）求和的直角坐標(biāo)方程； （2）過點(diǎn)作的垂線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，求． 參考答案 1．【解題思路】(1)就根據(jù)，以及，將方程中的相關(guān)的量代換，求得直角坐標(biāo)方程； (2)結(jié)合方程的形式，可以斷定曲線是圓心為，半徑為的圓，是過點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射線，通過分析圖形的特征，得到什么情況下會(huì)出現(xiàn)三個(gè)公

12、共點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，得到所滿足的關(guān)系式，從而求得結(jié)果. 【答案】（1）由可得：，化為． （2）由（1）知是圓心為，半徑為的圓， 由題設(shè)知，是過點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射線． 記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)，或與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或． 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，與有兩個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或． 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)． 綜上，所求的方程為．

13、 2．【解題思路】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，此時(shí)要注意分與兩種情況.(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義得之間關(guān)系，求得，即得的斜率． 【答案】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為， 當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為， 當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為． （2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程 ．① 因?yàn)榍€截直線所得線段的中點(diǎn)在內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為，，則． 又由①得，故，于是直線的斜率． 1．【解題思路】(1)曲線C1利用消參，曲線C2利用化為直角坐標(biāo)方程．(2)利用點(diǎn)到直線

14、距離公式，曲線C1直接用參數(shù)方程，用三角函數(shù)求其最值． 【答案】解　(1)C1的普通方程為＋y2＝1，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0． (2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos α，sin α)．因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值． 又d(α)＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)α＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，d(α)取得最小值，最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為． 2．【解題思路】(1)曲線C1利用消參，曲線C2利用化為直角坐標(biāo)方程．(2)分別聯(lián)立求出A，B，P的坐標(biāo)． 【答案】解　(1)由(θ為參數(shù))，消去θ． 普通方程為(x－2)2＋y2＝4． 從而曲線C的極

15、坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ， 因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝4，即ρsin θ＋ρcos θ＝4， ∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－8＝0． (2)依題意，A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，， 聯(lián)立射線θ＝與曲線C的極坐標(biāo)方程，得P點(diǎn)極坐標(biāo)為， ∴|AB|＝2，∴S△PAB＝×2×2sin＝2． 1．【解題思路】 (1)；(2)聯(lián)立曲線M的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程，韋達(dá)定理． 【答案】解　(1)由得 故曲線M的參數(shù)方程為． (2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x2＋y2＝4x． 將代入x2＋y2＝4x整理得k2－4k＋3＝0， ∴k1＋k2＝4．故直線OA與直線OB的斜率之和為4． 2．【解題思路】(1)將代入得，即可得到曲線的方程；由，代入即可得到直線的直角坐標(biāo)方程； （2）由題意，得過點(diǎn)的垂線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線的方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義，即可求解. 【答案】(1)將代入得，曲線的方程為， 由得， 因?yàn)?，代入上式得直線l的直角坐標(biāo)方程為； （2）因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以其垂線的傾斜角為， 過點(diǎn)的垂線的參數(shù)方程為，即（為參數(shù)） 代入曲線的方程整理得， 設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為（由題意知，） 則，且， 所以. 11