2020版高考數(shù)學一輪復習 第十章 概率 第三節(jié) 幾何概型學案 文（含解析）新人教A版

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1、第三節(jié)　幾何概型 2019考綱考題考情 1．幾何概型 (1)幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型。 (2)幾何概型的兩個基本特點 2．幾何概型的概率公式 P(A)＝。 幾種常見的幾何概型 1．與長度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)。 2．與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題。 3．與體積有關(guān)的幾

2、何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題。 一、走進教材 　　　　　　　 1．(必修3P142A組T3改編)一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30 s，黃燈的時間為5 s，綠燈的時間為40 s，當某人到達路口時看見的是紅燈的概率為(　　) A． B． C． D． 解析　設(shè)事件A表示“某人到達路口時看見的是紅燈”，則事件A對應(yīng)30 s的時間長度，而路口紅綠燈亮的一個周期為30＋5＋40＝75(s)的時間長度。根據(jù)幾何概型的概率公式可得，事件A發(fā)生的概率P(A)＝＝。故選B。 答案　B 2．(必修3P140練習T1改編)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球

3、落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的游戲盤為(　　) 解析　如題干選項中的各圖，各種情況的概率都是其面積比，中獎的概率依次為P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(D)＝。故選A。 答案　A 二、走近高考 3．(2017·全國卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖。正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱。在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　設(shè)正方形的邊長為2，則圓的半徑為1，正方形的面積為4，圓的面積為π，根據(jù)對稱性關(guān)系，黑色部分的面積是圓的面積的一半，所以

4、黑色部分的面積為。根據(jù)幾何概型的概率公式，得此點取自黑色部分的概率為P＝＝。故選B。 答案　B 4．(2016·全國卷Ⅰ)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　由題意得下圖： 由圖得等車時間不超過10分鐘的概率為。故選B。 答案　B 5．(2016·全國卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于

5、1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A． B． C． D． 解析　設(shè)由構(gòu)成的正方形的面積為S，由x＋y<1構(gòu)成的圖形的面積為S′，所以＝＝，所以π＝。故選C。 答案　C 三、走出誤區(qū) 微提醒：幾何概型類型不清致誤。 6．在長為6 m的木棒AB上任取一點P，則點P到木棒兩端點的距離都大于2 m的概率是________。 解析　所求概率為＝。 答案　 7.為了測算如圖所示陰影部分的面積，作一個邊長為6的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機投擲800個點，已知恰有200個點落在陰影部分，據(jù)此，可估計陰影部分的面積是________。 解析　

6、正方形的面積為36，則陰影部分的面積約為×36＝9。 答案　9 考點一與長度、角度有關(guān)的幾何概型 【例1】　(1)(2019·合肥質(zhì)檢)某廣播電臺只在每小時的整點和半點開始播放新聞，時長均為5分鐘，則一個人在不知道時間的情況下打開收音機收聽該電臺，能聽到新聞的概率是(　　) A． B． C． D． (2)如圖，在圓心角為90°的扇形AOB中，以圓心O為起點在上任取一點C作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　(1)由題意可知，該廣播電臺在一天內(nèi)播放新聞的時長為24×2×5＝240(分鐘)，即4個小時，所以所

7、求的概率為＝。故選D。 解析：在一個小時內(nèi)，播放時長為10分鐘，這是一個幾何概型，故所求概率為P＝＝。故選D。 (2)記事件T是“作射線OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如圖，記的三等分點為M，N，連接OM，ON，則∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，則符合條件的射線OC應(yīng)落在扇形MON中，所以P(T)＝＝＝。故選A。 答案　(1)D　(2)A 1．與長度有關(guān)的幾何概型 如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，可直接用概率的計算公式求解。 2．與角度有關(guān)的幾何概型 當涉及射線的轉(zhuǎn)動、扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率

8、，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段。 【變式訓練】　(1)記函數(shù)f(x)＝的定義域為D。在區(qū)間[－4,5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率為________。 (2)如圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，則BM<1的概率為________。 解析　(1)由6＋x－x2≥0解得－2≤x≤3，則D＝[－2,3]，故所求概率為＝。 (2)因為∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，所以BD＝＝1，∠BAD＝30°。記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使B

9、M<1”，則可得∠BAM<∠BAD時事件N發(fā)生。由幾何概型的概率公式，得P(N)＝＝。 答案　(1)　(2) 考點二與面積有關(guān)的幾何概型微點小專題 方向1：與圖形面積有關(guān)的幾何概型 【例2】　(2019·重慶六校聯(lián)考)《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓徑幾何?！逼浯笠猓骸耙阎苯侨切蝺芍苯沁呴L分別為8步和15步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?！爆F(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是(　　) A． B． C．1－ D．1－ 解析　如圖，直角三角形的斜邊長為＝17，設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為r，則8－r＋15－r＝17，解得r＝3，所以內(nèi)切

10、圓的面積為πr2＝9π，所以豆子落在內(nèi)切圓外的概率P＝1－＝1－。故選D。 答案　D 1．根據(jù)題意確定所求事件構(gòu)成的區(qū)域圖形，判斷是否為幾何概型。 2．分別求出全部事件和所求事件對應(yīng)的區(qū)域面積。 3．利用幾何概型概率計算公式正確計算，需要注意計算的測度是否一致。 方向2：“會面”問題 【例3】　甲、乙兩人約定晚6點到晚7點之間在某處見面，并約定甲若早到應(yīng)等乙半小時，而乙還有其他安排，若乙早到則不需等待即可離去，則甲、乙兩人能見面的概率為(　　) A． B． C． D． 解析　由題意知本題是一個幾何概型，設(shè)甲到的時間為x，乙到的時間為y，則試驗包含的所有事件是Ω＝{(x，y

11、)|0≤x≤1，0≤y≤1}，事件對應(yīng)的集合表示的面積是S＝1，滿足條件的事件是A＝，則B，D，C(0,1)，則事件A對應(yīng)的集合表示的面積是1－＝，根據(jù)幾何概型概率公式得到P＝＝，所以甲、乙兩人能見面的概率為。故選A。 答案　A 此類問題屬于雙變量問題，其中一個變量設(shè)為x，另一個變量設(shè)為y，構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(x，y)，從而轉(zhuǎn)化為面積問題。 【題點對應(yīng)練】　 1．(方向1)2017年8月1日是中國人民解放軍建軍90周年紀念日，中國人民銀行發(fā)行了以此為主題的金銀紀念幣。如圖所示的是一枚8 g圓形金質(zhì)紀念幣，直徑22 mm，面額100元。為了測算圖中軍旗部分的面積，現(xiàn)向硬幣內(nèi)隨機投擲1

12、00粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在軍旗內(nèi)，據(jù)此可估計軍旗的面積是(　　) A． mm2 B． mm2 C． mm2 D． mm2 解析　設(shè)軍旗的面積為a mm2，則有＝，解得a＝。故選B。 答案　B 2．(方向1)已知x，y∈[0,2]，則事件“x＋y≤1”發(fā)生的概率為(　　) A． B． C． D． 解析　由圖可知，事件“x＋y≤1”發(fā)生的概率為＝。故選B。 答案　B 3．(方向2)某日，甲、乙兩人隨機選擇早上6：00至7：00的某個時刻到達七星公園進行鍛煉，則甲比乙提前到達超過20分鐘的概率為(　　) A． B． C． D． 解析　在平面直角坐標系中，設(shè)x

13、，y分別表示乙、甲兩人的到達時刻，當x－y>20時滿足題意，由幾何概型計算公式可得，甲比乙提前到達超過20分鐘的概率為＝。故選B。 答案　B 考點三與體積有關(guān)的幾何概型 【例4】　如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M，則使四棱錐M－ABCD的體積小于的概率為________。 解析　過M作平面RS∥平面AC，則兩平面間的距離是四棱錐M－ABCD的高，顯然M在平面RS上任意位置時，四棱錐M－ABCD的體積都相等。若此時四棱錐M－ABCD的體積等于，只要M在截面RS以下即可小于，當VM－ABCD＝時，即×1×1×h＝，解得h＝，即點M到底面ABCD

14、的距離，所以所求概率P＝＝。 答案　 對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的也可利用其對立事件去求。 【變式訓練】　已知正棱錐S－ABC的底面邊長為4，高為3，在正棱錐內(nèi)任取一點P，使得VP－ABC

15、x∈，得x∈∪，故所求概率P＝＝。 答案　 2．(配合例2使用)設(shè)點(a，b)為不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)任意一點，則函數(shù)f(x)＝ax2－2bx＋3在區(qū)間上是增函數(shù)的概率為(　　) A．　　　　B. C．　　　　D. 解析　作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示。若函數(shù)f(x)＝ax2－2bx＋3在區(qū)間上是增函數(shù)，則即可得滿足條件的平面區(qū)域為△OBC，由得即C，所以S△OBC＝×4×＝。又S△OAB＝×4×4＝8，所以函數(shù)f(x)＝ax2－2bx＋3在區(qū)間上是增函數(shù)的概率P＝＝＝。故選A。 答案　A 概率統(tǒng)計綜合問題是高考應(yīng)用型問題，解決問題需要經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理

16、數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、得出有用的結(jié)論幾個復雜過程。如果這幾個過程書寫步驟缺失則會造成丟分；如果數(shù)據(jù)處理不當則會陷入龐大的數(shù)據(jù)運算中，因此解決這類問題首先需要根據(jù)題目條件提取有用數(shù)據(jù)，然后根據(jù)統(tǒng)計思想對數(shù)據(jù)進行相關(guān)處理、運算，并按照一定的書寫步驟準確無誤書寫出來，做到步驟不缺失、表述準確無誤，下面就如何從概率統(tǒng)計綜合問題中迅速提取數(shù)據(jù)，并作出正確處理及模型構(gòu)建提供四類典例展示。 類型一頻率分布直方圖數(shù)據(jù)的提取、處理及運算 【例1】　某市某中學的環(huán)保社團參照國家環(huán)境標準制定了該市空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系，如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過300)。 該社團將該市在201

17、8年100天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如圖，把該直方圖所得頻率估計為概率。 (1)請估算2018年(以365天計算)全年該市空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計算)； (2)該市將于2018年12月25、26、27日舉辦一場國際會議，若這三天中某天出現(xiàn)5級重度污染，則該天需要凈化空氣費用10萬元，出現(xiàn)6級嚴重污染，則該天需要凈化空氣費用20萬元，假設(shè)每天的空氣質(zhì)量等級相互獨立，記這三天凈化空氣總費用為X萬元，求X的分布列及數(shù)學期望。 解　(1)由直方圖可得2018年(以365天計算)全年該市空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為(0.002＋0.004)×50×365＝0.3

18、×365＝109.5≈110。 (2)由題可知，X的所有可能取值為0,10,20,30,40,50,60， 則P(X＝0)＝3＝， P(X＝10)＝C××2＝， P(X＝20)＝C×2×1＋C××2＝＝， P(X＝30)＝3＋C××C××＝， P(X＝40)＝C×2×＋C×2×＝， P(X＝50)＝C×2×＝， P(X＝60)＝3＝， X的分布列為 X 0 10 20 30 40 50 60 P E(X)＝0×＋10×＋20×＋30×＋40×＋50×＋60×＝9(萬元)。 頻率分布直方圖是考查數(shù)據(jù)收集和整理的常用依據(jù)，掌握

19、頻率分布直方圖中常見數(shù)據(jù)的提取方法是解決這類問題的關(guān)鍵。 類型二莖葉圖數(shù)據(jù)的提取、處理及運算 【例2】　如圖所示，莖葉圖記錄了甲、乙兩組各4名同學的植樹棵數(shù)。乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示。 (1)如果X＝8，求乙組同學植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差； (2)如果X＝9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數(shù)為19的概率。(注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為x1，x2，…，xn的平均數(shù)) 解　(1)如果X＝8，乙組的平均數(shù)為 乙＝＝， s2＝＝＝。 (2)設(shè)甲組4名同學分別為x1，x2，x3，x4，植樹棵

20、數(shù)分別為9,9,11,11，乙組4名同學分別為y1，y2，y3，y4，植樹棵數(shù)分別為9,8,9,10。分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，所有可能的結(jié)果有： (x1，y1)，(x1，y2)，(x1，y3)，(x1，y4)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x2，y3)，(x2，y4)，(x3，y1)，(x3，y2)，(x3，y3)，(x3，y4)，(x4，y1)，(x4，y2)，(x4，y3)，(x4，y4)，共16種。 設(shè)“選出的兩名同學的植樹總棵數(shù)為19”為事件A，則事件A包含的結(jié)果有：(x1，y4)，(x2，y4)，(x3，y2)，(x4，y2)，共4種， 故所求的概率P(A)＝＝

21、。 即從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學，這兩名同學的植樹總棵數(shù)為19的概率為。 莖葉圖提供了具體的數(shù)據(jù)，找準各組數(shù)據(jù)共同的莖及各自的葉是處理此類問題的關(guān)鍵。如果所有數(shù)據(jù)過大，在計算平均數(shù)時，可以將所有數(shù)據(jù)同時減去一個數(shù)字再計算，減去一個數(shù)后方差不變，另外除了要掌握各類數(shù)據(jù)的計算方法以外，還要能從提供的數(shù)據(jù)的趨勢分析預測結(jié)果。莖葉圖數(shù)據(jù)很具體，常聯(lián)系古典概型進行考查。 類型三表格數(shù)據(jù)的提取、處理及運算 【例3】　某城市隨機抽取一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的監(jiān)測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如下： (1)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失y(單位：元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為y＝若在本年內(nèi)隨機

22、抽取一天，試估計這一天的經(jīng)濟損失超過400元的概率； (2)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為嚴重污染。根據(jù)提供的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“該城市本年的空氣嚴重污染與供暖有關(guān)”？ 非嚴重污染 嚴重污染 總計 供暖季 非供暖季 總計100 附：K2＝ P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 解　(1)設(shè)“在本年內(nèi)隨機抽取一天，該天的經(jīng)濟損失超過400元”為

23、事件A。由y>400，得x>200。 由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200的頻數(shù)為35， 所以P(A)＝＝。 (2)根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表： 非嚴重污染 嚴重污染 總計 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 總計 85 15 100 將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得 K2＝≈4.575。 因為4.575>3.841。 所以有95%的把握認為“該城市本年的空氣嚴重污染與供暖有關(guān)”。 處理表格數(shù)據(jù)的關(guān)鍵是搞清表格中各行、各列數(shù)的意義，特別表格中最后一行或最后一列中的數(shù)據(jù)多為合計(或總計)。 類型四折線圖中數(shù)據(jù)

24、的提取、處理及運算 【例4】　如圖是我國2012年至2018年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖。 (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； (2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預測2020年我國生活垃圾無害化處理量。 附注： 參考數(shù)據(jù)：i＝9.32，iyi＝40.17， ＝0.55，≈2.646。 參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝， 回歸方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：＝，＝－。 解　(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 ＝4，(ti－)2＝28, ＝0.55， (ti－)(yi－)＝iyi－i＝4

25、0.17－4×9.32＝2.89，r≈≈0.99。因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度很高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系。 (2)由＝≈1.331及(1)得＝＝≈0.103， ＝－≈1.331－0.103×4≈0.92。 所以，y關(guān)于t的回歸方程為＝0.92＋0.10t。 將2020年對應(yīng)的t＝9代入回歸方程得 ＝0.92＋0.10×9＝1.82。 所以預測2020年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸。 1．折線圖中拐點處的坐標是我們提取數(shù)據(jù)的關(guān)鍵點，注意橫坐標、縱坐標的意義即可。 2．“最小二乘法”求回歸方程，計算是這類問題的難點，需要根據(jù)題目中提供的數(shù)據(jù)進行分析，從而求解回歸方程＝x＋，其中求是問題的關(guān)鍵，計算出后，可以將樣本點的中心(，)代入方程求解出。 16