2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題5 解析幾何 第9講 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)學(xué)案 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題5 解析幾何 第9講 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)學(xué)案 文 熱點題型 真題統(tǒng)計 命題規(guī)律 題型1：圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程 2017全國卷ⅢT14；2017全國卷ⅡT12；2014全國卷ⅠT10 1.每年必考內(nèi)容，多以選擇、填空題的形式考查圓錐曲線的定義、方程、性質(zhì)，以解答題的形式考查直線與圓錐曲線的綜合問題. 2.小題一般出現(xiàn)在5～12或14～15題的位置，難度中等偏上，解答題出現(xiàn)在20題的位置上，難度較大. 題型2：圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用 2018全國卷ⅠT4；2018全國卷ⅡT6；2018全國卷ⅠT11 2018全國卷Ⅲ

2、T10；2017全國卷ⅠT5；2017全國卷ⅡT5 2017全國卷ⅠT12；2016全國卷ⅡT5；2016全國卷ⅢT12 2015全國卷ⅠT5；2015全國卷ⅡT16；2015全國卷ⅡT15 2014全國卷ⅠT4 題型3：直線、圓與圓錐曲線的交匯 2017卷ⅢT11；2014卷ⅠT20 圓錐曲線的定義 (1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)雙曲線||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)拋物線：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M(直線l是拋物線的準(zhǔn)線)． ■高考考法示例· 【例1】　(1)(2018·

3、哈爾濱模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點)，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1　　　　　 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 (2)(2017·全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝______. (1)D　(2)6　[(1)根據(jù)題意畫出草圖如圖所示，不妨設(shè)點A在漸近線y＝x上． 由△AOF是邊長為2的等邊三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2. 又點A在雙曲線的漸近線y＝x上，∴＝tan 60

4、°＝. 又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝， ∴雙曲線的方程為x2－＝1.故選D. (2)如圖，不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點A，過點M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，∴PM∥OF. 由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵點M為FN的中點，PM∥OF， ∴|MP|＝|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.] [方法歸納]　求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計算” (1)定型，就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點

5、位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)計算，即利用待定系數(shù)法求出方程或方程組中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點位置無法確定時，拋物線常設(shè)為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，橢圓常設(shè)為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，雙曲線常設(shè)為mx2－ny2＝1(mn＞0). ■對點即時訓(xùn)練· 1．設(shè)雙曲線與橢圓＋＝1相交且有共同的焦點，其中一個交點的坐標(biāo)為(，4)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A.－＝1　　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 A　[法一：(定義法)橢圓＋＝1的焦點坐標(biāo)分別是(0,3)，(0，－3)． 根據(jù)雙曲線的定義知，2a＝|－|＝4， 解得a＝2，

6、又b2＝c2－a2＝5， 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.故選A. 法二：(待定系數(shù)法)橢圓＋＝1的焦點坐標(biāo)分別是(0,3)，(0，－3)． 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)， 則a2＋b2＝9.① 又點(，4)在雙曲線上，所以－＝1.② 由①②解得a2＝4，b2＝5.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.故選A.] 2．設(shè)橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，且滿足·＝9，則||·||的值為(　　) A．8　　　B．10　　　C．12　　　D．15 D　[因為P是橢圓＋＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，所以|PF1|＋|PF2|＝8，|F

7、1F2|＝4.因為·＝9，所以||·||cos∠F1PF2＝9，因為||2＝||2＋||2－2||·||·cos∠F1PF2＝(||＋||)2－2||·||－2||·||cos∠F1PF2，所以64－2||·||－18＝16.所以||·||＝15，故選D.] 題型2　圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用 ■核心知識儲備· 1．橢圓、雙曲線中，a，b，c，e之間的關(guān)系 (1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝； (2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝. 2．雙曲線的漸近線方程與焦點坐標(biāo) (1)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x；焦點坐標(biāo)F1(－c,0)，F(xiàn)2(

8、c,0)； (2)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，焦點坐標(biāo)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)． 注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系． ■高考考法示例· 【例2】　(1)(2018·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則點(4,0)到C的漸近線的距離為(　　) A.　　　B．2　　　C.　　　D．2 (2)(2018·沈陽模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點為F，離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 (3)已知

9、雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的焦點與頂點，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構(gòu)成的四邊形恰為正方形，則橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. (1)D　(2)B　(3)C　[(1)法一：由離心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.由點到直線的距離公式，得點(4,0)到C的漸近線的距離為＝2.故選D. 法二：離心率e＝的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是y＝±x，由點到直線的距離公式得點(4,0)到C的漸近線的距離為＝2.故選D. (2)由離心率為可知a＝b，c＝a，所以F(－a,0)，由題意可知kPF

10、＝＝＝1，所以a＝4，解得a＝2，所以雙曲線的方程為－＝1，故選B. (3)設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，則由題意可知雙曲線的方程為－＝1，其漸近線方程為y＝±x.因為雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構(gòu)成的四邊形恰為正方形，所以由橢圓的對稱性可知，漸近線的方程為y＝±x，即b＝c，所以a＝＝c，故橢圓的離心率e＝，故選C.] [方法歸納] 1．求橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的方法 求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值． 2．雙曲線的漸近線的求法及用法 (1)求法：把雙曲

11、線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為零，分解因式可得． (2)用法：①可得或的值． ②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程． ③利用e＝求離心率． ■對點即時訓(xùn)練· 1．(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則·＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 D　[法一：過點(－2,0)且斜率為的直線的方程為y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨設(shè)M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，所以·＝8.故選D. 法二：過點(－2,0)且斜率為的直線

12、的方程為y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＞0，y2＞0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故選D.] 2．(2016·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　) A. B. C. D．2 A　[法一：如圖，因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|＝. 又

13、sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由雙曲線的定義得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以離心率e＝＝. 法二：如圖，因為MF1⊥x軸，所以|MF1|＝. 在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得 tan∠MF2F1＝. 所以＝，即＝，即＝， 整理得c2－ac－a2＝0， 兩邊同除以a2得e2－e－1＝0. 解得e＝(負(fù)值舍去)．] 題型3　直線、圓與圓錐曲線的交匯 全國卷考查圓與圓錐曲線的交匯問題是近幾年高考考查的熱點，在小題和大題中均有可能出現(xiàn)． ■高考考法示例· 【例3】　(1)(

14、2016·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為(　　) A．2　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．8 B　[設(shè)出拋物線和圓的方程，將點的坐標(biāo)代入，聯(lián)立方程組求解． 設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－， ∴不妨設(shè)A，D. ∵點A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)． ∴C的焦點到準(zhǔn)線的距離為4.] (2)(2018·鄭州模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0

15、)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與直線ax＋2by－ab＝0相切． 圖2-5-2 ①求橢圓C的離心率； ②如圖2-5-2，過F1作直線l與橢圓分別交于兩點P，Q，若△PQF2的周長為4，求·的最大值． [思路點撥]　①→→→ [解]?、儆深}意＝c， 即3a2b2＝c2(a2＋4b2)＝(a2－b2)(a2＋4b2)． ∴a2＝2b2， ∴e＝. ②因為三角形△PQF2的周長為4. 所以4a＝4，∴a＝，∴b2＝1， ∴橢圓方程為＋y2＝1，且焦點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)， (ⅰ)若直線l斜率不存在，則可得l⊥x軸，方程為x＝－1，

16、解方程組可得或， ∴P，Q， ∴＝，＝，故·＝. (ⅱ)若直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)， 由消去y整理得 (2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. ∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2) ＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2. ＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1. ＝(k2＋1)＋(k2－1)＋k2＋1 ＝＝－. ∵k2＞0， ∴可得－1＜·＜， 綜上可得－1＜·≤. 所以·最大值是. [方法歸納]　處理圓錐曲線與圓相結(jié)合問題的注意

17、點 (1)注意圓心、半徑和平面幾何知識的應(yīng)用，如直徑所對的圓周角為直角，構(gòu)成了垂直關(guān)系；弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等. (2)注意圓與特殊線的位置關(guān)系，如圓的直徑與橢圓長軸(短軸)，與雙曲線的實軸(虛軸)的關(guān)系；圓與過定點的直線、雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系等. (教師備選) (2016·全國卷Ⅰ)設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E. (1)證明|EA|＋|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程； (2)設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直

18、的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍． [解]　(1)因為|AD|＝|AC|，EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|， 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝16，從而|AD|＝4， 所以|EA|＋|EB|＝4. 由題設(shè)得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2， 由橢圓定義可得點E的軌跡方程為＋＝1(y≠0)． (2)當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，

19、 則x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|MN|＝|x1－x2|＝. 過點B(1,0)且與l垂直的直線m：y＝－(x－1)，點A到直線m的距離為， 所以|PQ|＝2＝4. 故四邊形MPNQ的面積 S＝|MN|| PQ|＝12. 可得當(dāng)l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8)． 當(dāng)l與x軸垂直時，其方程為x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8， 故四邊形MPNQ的面積為12. 綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8)． ■對點即時訓(xùn)練· 1．(2017·全國卷Ⅱ)若雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長

20、為2，則C的離心率為(　　) A．2　　　　B.　　　　C.　　　　D. A　[設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝x， 圓的圓心為(2,0)，半徑為2， 由弦長為2得出圓心到漸近線的距離為＝. 根據(jù)點到直線的距離公式得＝，解得b2＝3a2. 所以C的離心率e＝＝＝＝2. 故選A.] 2．(2018·中山七校聯(lián)考)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的上、下、左、右四個頂點分別為A，B，C，D，x軸正半軸上的某點G滿足|GD|＝2，|GA|＝3，|GC|＝4. 圖2-5-3 (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)該橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，點M在圓x2＋y2＝b2上，且M在第一象限

21、，過M作圓x2＋y2＝b2的切線交橢圓于P，Q，求證：△PF2Q的周長是定值． [解]　(1)設(shè)點G的坐標(biāo)為(x0,0)(x0＞0)，可知2a＝2＋4，a＝3， x0＝4－a＝1，b＝＝2. 因此橢圓的方程是＋＝1. (2)法一：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝1， |PF2|＝＝＝， ∵0＜x1＜3，∴|PF2|＝3－， 在圓中，M是切點， ∴|PM|＝＝＝＝x1， ∴|PF2|＋|PM|＝3－x1＋x1＝3， 同理|QF2|＋|QM|＝3，∴|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|＝3＋3＝6， 因此△PF2Q的周長是定值6. 法二：設(shè)PQ的方程為y＝kx＋m(

22、k<0，m>0)， 由，得(8＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－72＝0， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|PQ|＝|x1－x2|＝ ＝ ＝， ∵PQ與圓x2＋y2＝8相切，∴＝2， 即m＝2， ∴|PQ|＝－， ∵|PF2|＝＝＝， ∵0＜x1＜3，∴|PF2|＝3－， 同理可得|QF2|＝(9－x2)＝3－， ∵|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|＝6－－＝6＋－＝6， 因此△PQF2的周長是定值6. 1．(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝±x　　　　

23、　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x A　[因為雙曲線的離心率為，所以＝，即c＝a.又c2＝a2＋b2，所以(a)2＝a2＋b2，化簡得2a2＝b2，所以＝.因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，所以y＝±x.故選A] 2．(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為(　　) A．1－ B．2－ C. D.－1 D　[由題設(shè)知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝

24、2a，所以(＋1)c＝2a，故橢圓C的離心率e＝＝＝－1.故選D.] 3．(2017·全國卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標(biāo)是(1,3)，則△APF的面積為(　　) A. B. C. D. D　[因為F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，所以F(2,0)． 因為PF⊥x軸，所以可設(shè)P的坐標(biāo)為(2，yP)． 因為P是C上一點，所以4－＝1，解得yP＝±3， 所以P(2，±3)，|PF|＝3. 又因為A(1,3)，所以點A到直線PF的距離為1， 所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝. 故選D.] 4．(20

25、16·全國卷Ⅰ)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. B　[不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0，b)和一個焦點F(c，0)，則直線l的方程為＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由題意知＝×2b，解得＝，即e＝.故選B.] 5．(2015·全國卷Ⅰ)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y2＝8x的焦點重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則|AB|＝(　　) A．3　　　　B．6 C．9　　　　D．12 B　[根據(jù)已知條件求出橢圓的方程，|AB|＝2|yA|，只需求出

26、|yA|即可． 拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)，∴橢圓中c＝2， 又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12， 從而橢圓方程為＋＝1. ∵拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線為x＝－2， ∴xA＝xB＝－2， 將xA＝－2代入橢圓方程可得|yA|＝3， 由圖象可知|AB|＝2|yA|＝6.故選B.] 6．(2015·全國卷Ⅱ)已知雙曲線過點(4，)，且漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． －y2＝1　[法一：設(shè)出雙曲線方程，然后利用雙曲線過點(4，)求解． ∵雙曲線的漸近線方程為y＝±x， ∴可設(shè)雙曲線的方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵雙曲線過點(4，)， ∴λ＝16－4×()2＝4， ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1. 法二：∵漸近線y＝x過點(4,2)，而<2， ∴點(4，)在漸近線y＝x的下方，在y＝－x的上方(如圖)． ∴雙曲線的焦點在x軸上，故可設(shè)雙曲線方程為 －＝1(a>0，b>0)． 由已知條件可得 解得 ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1.]