2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課下層級訓(xùn)練43 圓的方程（含解析）文 新人教A版

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1、2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課下層級訓(xùn)練43 圓的方程（含解析）文 新人教A版 1．直線y＝ax＋1與圓x2＋y2－2x－3＝0的位置關(guān)系是(　　) A．相切　　　　　　　　 B．相交 C．相離 D．隨a的變化而變化 B　[∵直線y＝ax＋1恒過定點(diǎn)(0,1)，又點(diǎn)(0,1)在圓(x－1)2＋y2＝4的內(nèi)部，故直線與圓相交．] 2．經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，且圓心是兩直線x＝1與x＋y＝2的交點(diǎn)的圓的方程為(　　) A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 B　[由得即所求圓的圓心坐

2、標(biāo)為(1,1)，又由該圓過點(diǎn)(1,0)，得其半徑為1，故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1.] 3．(2016·全國卷Ⅱ)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A．－ B．－ C． D．2 A　[圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圓心坐標(biāo)為(1,4)，所以圓心到直線ax＋y－1＝0的距離d＝＝1，解得a＝－.] 4．圓心在y軸上，且過點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程為(　　) A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0 B　[根據(jù)題意，設(shè)圓心

3、坐標(biāo)為(0，r)，半徑為r，則32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圓的方程為x2＋y2－10y＝0.] 5．設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x＝－3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為(　　) A．6　　　 B．4　　　 C．3　　　 D．2 B　[如圖所示，圓心M(3，－1)與直線x＝－3的最短距離為|MQ|＝3－(－3)＝6， 又圓的半徑為2，故所求最短距離為6－2＝4.] 6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是__________，半徑是__________． (－2，－4)　5　[由題可得a2＝

4、a＋2，解得a＝－1或a＝2.當(dāng)a＝－1時(shí)，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圓，故圓心為(－2，－4)，半徑為5.當(dāng)a＝2時(shí)，方程不表示圓．] 7．已知圓O：x2＋y2＝4及一點(diǎn)P(－1,0)，則Q在圓O上運(yùn)動(dòng)一周，PQ的中點(diǎn)M形成軌跡C的方程為__________． 2＋y2＝1　[設(shè)M(x，y)，則Q(2x＋1,2y)，∵Q在圓x2＋y2＝4上，∴(2x＋1)2＋4y2＝4，即2＋y2＝1，∴軌跡C的方程為2＋y2＝1.] 8．已知兩點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是__________． 3－　[lAB：x－

5、y＋2＝0，圓心(1,0)到l的距離d＝，則AB邊上的高的最小值為－1.故△ABC面積的最小值是×2×＝3－.] 9．已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點(diǎn)C和D，且|CD|＝4． (1)求直線CD的方程； (2)求圓P的方程． 解　(1)由題意知，直線AB的斜率k＝1，中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)．則直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0． (2)設(shè)圓心P(a，b)，則由點(diǎn)P在CD上得a＋b－3＝0.?、? 又∵直徑|CD|＝4，∴|PA|＝2， ∴(a＋1)2＋b2＝40.　② 由①②解得或 ∴圓心P(－3,6)或P(

6、5，－2)． ∴圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40． 10．已知圓C的方程為x2＋(y－4)2＝1，直線l的方程為2x－y＝0，點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作圓C的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B． (1)若∠APB＝60°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)求證：經(jīng)過A，P，C(其中點(diǎn)C為圓C的圓心)三點(diǎn)的圓必經(jīng)過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)． (1)解　由條件可得圓C的圓心坐標(biāo)為(0,4)，|PC|＝2， 設(shè)P(a,2a)，則＝2， 解得a＝2或a＝， 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4)或． (2)證明　設(shè)P(b,2b)，過點(diǎn)A，P，C的圓即是以PC為直徑的圓

7、，其方程為x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0， 整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0， 即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0． 由解得或 所以該圓必經(jīng)過定點(diǎn)(0,4)和． [B級　能力提升訓(xùn)練] 11．(2019·浙江溫州月考)已知點(diǎn)P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k＞0)上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為(　　) A．4 B．3 C．2 D． C　[圓C的方程可化為x2＋(y－1)2＝1，因?yàn)樗倪呅蜳ACB的最小面積是2，且此時(shí)切線長為2，故圓心(0,1)到直線k

8、x＋y＋4＝0的距離為，即＝，解得k＝±2，又k＞0，所以k＝2.] 12．已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(diǎn)(1,0)且被x軸分成兩段弧長比為1∶2，則圓C的方程為(　　) A．2＋y2＝ B．2＋y2＝ C．x2＋2＝ D．x2＋2＝ C　[由已知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為π，設(shè)圓心(0，a), 半徑為r，則rsin ＝1，rcos ＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圓C的方程為x2＋2＝.] 13．已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為__________． (x－2)2＋(y－1)2＝5　

9、[由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部， ∴覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓． ∵△OPQ為直角三角形，∴圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)(2,1)，半徑r＝＝，因此圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.] 14．設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O∶x2＋y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是__________． [－1,1]　[如圖所示，過點(diǎn)O作OP⊥MN交MN于點(diǎn)P． 在Rt△OMP中，|OP|＝|OM|·sin 45°，又|OP|≤1，得|OM|≤＝. ∴|OM|＝≤，∴x≤1． 因此－1≤x0≤1.]

10、 15．已知圓C過點(diǎn)P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對稱． (1)求圓C的方程； (2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的最小值． 解　(1)設(shè)圓心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)， 則解得 則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2＝2，故圓C的方程為x2＋y2＝2． (2)設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2， ·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2) ＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2． 令x＝cos θ，y＝sin θ， 所以·＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2＝2sin－2， 又mi

11、n＝－1，所以·的最小值為－4． 16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為2的圓C與直線y＝x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O． (1)求圓C的方程； (2)試探求C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到定點(diǎn)F(4,0) 的距離等于線段OF的長？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解　(1)設(shè)圓C的圓心為C(a，b)， 則圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝8． 因?yàn)橹本€y＝x與圓C相切于原點(diǎn)O， 所以O(shè)點(diǎn)在圓C上，且OC垂直于直線y＝x， 于是有解得或 由于點(diǎn)C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0， 所以圓C的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8． (2)假設(shè)存在點(diǎn)Q符合要求，設(shè)Q(x，y)， 則有解得x＝或x＝0(舍去)． 所以存在點(diǎn)Q，使Q到定點(diǎn)F(4,0)的距離等于線段OF的長．