2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 選考4系列選講 第一講 選考4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 選考4系列選講 第一講 選考4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理 考點(diǎn)一　極坐標(biāo)方程及應(yīng)用 1．直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則 2．幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程 (1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：ρ＝r. (2)當(dāng)圓心位于M(a,0)，半徑為a：ρ＝2acosθ. (3)當(dāng)圓心位于M，半徑為a：ρ＝2asinθ. 3．幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程 (1)直線過極點(diǎn)：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.

2、 (2)直線過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸：ρcosθ＝a. (3)直線過M且平行于極軸：ρsinθ＝b. [解]　(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1>0)．由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標(biāo)方程 ρ＝4cosθ(ρ>0)． 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB>0)． 由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ＝4cosα· ＝2≤2＋. 當(dāng)α＝－時，S取得最大值

3、2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. 解決極坐標(biāo)問題應(yīng)關(guān)注的兩點(diǎn) (1)用極坐標(biāo)系解決問題時要注意已知的幾何關(guān)系，如果幾何關(guān)系不容易通過極坐標(biāo)表示時，可以先化為直角坐標(biāo)，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決． (2)在極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的過程中，需要注意當(dāng)條件涉及“角度”和“距離”時，利用極坐標(biāo)將會給問題的解決帶來很大的便利． [對點(diǎn)訓(xùn)練] (2018·福建福州四校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線C2的方程為y＝x.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C2

4、與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)，求＋. [解]　(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，得曲線C1的普通方程為(x－2)2＋(y－2)2＝1， 則C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0， 由于直線C2過原點(diǎn)，且傾斜角為，故其極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． (2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，設(shè)A，B對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，則ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7， ∴＋＝＝＝. 考點(diǎn)二　參數(shù)方程及應(yīng)用 1．圓的參數(shù)方程 以O(shè)′(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是其中α是參數(shù)． 2．橢圓的參數(shù)方程 橢圓＋＝1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中φ是參數(shù)． 3．

5、直線的參數(shù)方程 (1)經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程是其中t是參數(shù)． (2)若A，B為直線l上兩點(diǎn)，其對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到： ①t0＝； ②|PM|＝|t0|＝； ③|AB|＝|t2－t1|； ④|PA|·|PB|＝|t1·t2|. 角度1：參數(shù)方程與普通方程的互化 [解]　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當(dāng)a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0. 由 解得或 從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，

6、故C上的點(diǎn)(3cosθ，sinθ)到l的距離d＝. 當(dāng)a≥－4時，d的最大值為.由題設(shè)得＝，所以a＝8； 當(dāng)a<－4時，d的最大值為.由題設(shè)得＝，所以a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16.角度2：直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的應(yīng)用 [解]　(1)曲線C的普通方程為＋＝1. 當(dāng)cosα≠0時，l的普通方程為y＝tanα·x＋2－tanα， 當(dāng)cosα＝0時，l的普通方程為x＝1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的普通方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.① 因為曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)， 所以①有

7、兩個解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝， 故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2. 解決參數(shù)方程問題的3個要點(diǎn) (1)把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎ? (2)把普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵是選準(zhǔn)參數(shù)，注意參數(shù)的幾何意義及變化范圍． (3)直線參數(shù)方程為(α為傾斜角，t為參數(shù))，其中|t|＝|PM|，P(x，y)為動點(diǎn)，M(x0，y0)為定點(diǎn)，在解決與點(diǎn)P有關(guān)的弦長和距離的乘積問題時廣泛應(yīng)用． [對點(diǎn)訓(xùn)練] 1．[角度1]設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為傾斜角)，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)

8、)． (1)若直線l經(jīng)過圓C的圓心，求直線l的斜率； (2)若直線l與圓C交于兩個不同的點(diǎn)，求直線l的斜率的取值范圍． [解]　(1)由已知得直線l經(jīng)過的定點(diǎn)是P(3,4)，而圓C的圓心是C(1，－1)， 所以，當(dāng)直線l經(jīng)過圓C的圓心時，直線l的斜率為k＝. (2)解法一：由圓C的參數(shù)方程得圓C的圓心是C(1，－1)，半徑為2. 由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)，α為傾斜角)，得直線l的普通方程為y－4＝k(x－3)(斜率存在)， 即kx－y＋4－3k＝0. 當(dāng)直線l與圓C交于兩個不同的點(diǎn)時，圓心到直線的距離小于圓的半徑， 即<2，解得k>. 即直線l的斜率的取值范圍為. 解

9、法二：將圓C的參數(shù)方程化成普通方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝4　①， 將直線l的參數(shù)方程代入①式，得 t2＋2(2cosα＋5sinα)t＋25＝0.?、? 當(dāng)直線l與圓C交于兩個不同的點(diǎn)時，方程②有兩個不相等的實(shí)根，即Δ＝4(2cosα＋5sinα)2－100>0， 即20sinαcosα>21cos2α，兩邊同除以20cos2α，得tanα>，即直線l的斜率的取值范圍為. 2．[角度2](2018·鄭州一模)已知直線l：(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ. (1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程． (2

10、)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5，)，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求|MA|·|MB|的值． [解]　(1)∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ， ∴曲線C的直線坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1. (2)將直線l：(t為參數(shù))代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中，化簡得t2＋5t＋18＝0，且Δ>0.∴t1t2＝18. ∵點(diǎn)M(5，)在直線l上，根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18. 考點(diǎn)三　極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 1．對于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標(biāo)的普通方程，這樣思路可能更加清晰． 2．

11、對于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程計算會比較簡捷． [解]　(1)由消去參數(shù)t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2， 所以圓C的普通方程為(x＋5)2＋(y－3)2＝2. 由ρcos＝－，得ρcosθ－ρsinθ＝－2. 可得直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0. (2)直線l與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A(－2,0)，B(0,2)，化為極坐標(biāo)為A(2，π)，B， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－5＋cost,3＋sint)，則點(diǎn)P到直線l的距離為d＝ ＝， 所以dmin＝＝2，又|AB|＝2， 所以△PAB面積的最小值＝×2×2＝4. 解決極坐標(biāo)與參數(shù)方程問題

12、的關(guān)鍵 (1)會轉(zhuǎn)化：把直線與圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程時，要關(guān)注參數(shù)的取值范圍的限定，還需掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式． (2)懂技巧：合理選擇直角坐標(biāo)形式運(yùn)算、極坐標(biāo)形式運(yùn)算、參數(shù)坐標(biāo)形式運(yùn)算，利用參數(shù)及其幾何意義，結(jié)合關(guān)系式尋找關(guān)于參數(shù)的方程或函數(shù)． [對點(diǎn)訓(xùn)練] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(θ為參數(shù)，0

13、Q，與曲線C2交于O，M兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的最大值． [解]　(1)將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程為x2＋y2＝r2. 所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝r. 將曲線C2的參數(shù)方程化為普通方程為(x－2)2＋(y－2)2＝8，即x2＋y2－4x－4y＝0. 所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ－4cosθ－4sinθ＝0，即ρ＝4sin. 因為|PN|max＝|ρP－ρN|max＝max＝2， 所以r＝2，所以C1：ρ＝2. (2)S四邊形MPNQ＝S△OPM－S△ONQ＝OP·OMsin－ON·OQ·sin＝×4sin×4sin×－×2×2×＝4sin＋4－2. 所以當(dāng)α＝時，

14、四邊形MPNQ面積的最大值為4＋2. 1．(2018·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0. (1)求C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點(diǎn)，求C1的方程． [解]　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為 (x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓． 由題設(shè)知，C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線． 記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2. 由于B在圓

15、C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點(diǎn)等價于l1與C2只有一個公共點(diǎn)且l2與C2有兩個公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個公共點(diǎn)且l1與C2有兩個公共點(diǎn)． 當(dāng)l1與C2只有一個公共點(diǎn)時，A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0，經(jīng)檢驗，當(dāng)k＝0時，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝－時，l1與C2只有一個公共點(diǎn)，l2與C2有兩個公共點(diǎn)． 當(dāng)l2與C2只有一個公共點(diǎn)時，A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝.經(jīng)檢驗，當(dāng)k＝0時，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝時，l2與C2沒有公共點(diǎn)． 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 2．(2018·全國卷Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xO

16、y中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(diǎn)(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程． [解]　(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1. 當(dāng)α＝時，l與⊙O交于兩點(diǎn)． 當(dāng)α≠時，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，<α<)． 設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsinα＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα. 又點(diǎn)

17、P的坐標(biāo)(x，y)滿足 所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 (α為參數(shù)，<α<)． 1.坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點(diǎn)主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標(biāo)方程；二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用． 2．全國課標(biāo)卷對此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用． 專題跟蹤訓(xùn)練(三十二) 1．(2018·湖南長沙聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程． (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝

18、(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)分別為M，N，求△C2MN的面積． [解]　(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， ∴C1：x＝－2的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝－2， C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1的極坐標(biāo)方程為(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ－2)2＝1，化簡，得ρ2－(2ρcosθ＋4ρsinθ)＋4＝0. (2)把直線C3的極坐標(biāo)方程θ＝(ρ∈R)代入 圓C2：ρ2－(2ρcosθ＋4ρsinθ)＋4＝0， 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝. ∴|MN|＝|ρ1－ρ2|＝. ∵圓C2的半徑為1，∴|C2M|2＋|C2N|2＝|MN|2， ∴C2M⊥C2N

19、. ∴△C2MN的面積為·|C2M|·|C2N|＝×1×1＝. 2．(2018·洛陽聯(lián)考)在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為ρ2＝，已知點(diǎn)R. (1)以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，R點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)． (2)設(shè)P為曲線C上一動點(diǎn)，以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長的最小值，及此時P點(diǎn)的直角坐標(biāo)． [解]　(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2. ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋y2＝1. 點(diǎn)R的直角坐標(biāo)為(2,2)． (2)設(shè)點(diǎn)P(cosθ，sinθ)，根據(jù)題意得Q(2，s

20、inθ)，即可得|PQ|＝2－cosθ，|QR|＝2－sinθ， ∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)． ∴當(dāng)θ＝30°時，|PQ|＋|QR|取最小值2， ∴矩形PQRS周長的最小值為4. 此時點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為. 3．(2018·安徽皖南八校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcosθ－3＝0. (1)說明C2是哪種曲線，并將C2的方程化為直角坐標(biāo)方程． (2)C1與C2有兩個公共點(diǎn)A，B，定點(diǎn)P的極坐標(biāo)，求線段AB的長及定點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積． [

21、解]　(1)將代入C2的極坐標(biāo)方程中得C2的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝4，所以C2是圓． (2)將C1的參數(shù)方程(t為參數(shù))，代入(x－1)2＋y2＝4中得2＋2＝4，化簡，得t2＋t－3＝0. 設(shè)兩根分別為t1，t2， 由根與系數(shù)的關(guān)系得 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝， 定點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3. 4．(2018·河北衡水中學(xué)模擬)在極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程是ρ＝，在以極點(diǎn)為原點(diǎn)O，極軸為x軸正半軸(兩坐標(biāo)系取相同的單位長度)的直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程

22、與曲線C2的普通方程； (2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3，若M、N分別是曲線C1和曲線C3上的動點(diǎn)，求|MN|的最小值． [解]　(1)∵C1的極坐標(biāo)方程是ρ＝， ∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24， ∴4x＋3y－24＝0， 故C1的直角坐標(biāo)方程為4x＋3y－24＝0. ∵曲線C2的參數(shù)方程為∴x2＋y2＝1， 故C2的普通方程為x2＋y2＝1. (2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3，則曲線C3的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．設(shè)N(2cosα，2sinα)，則點(diǎn)N到曲線C1的距離 d＝ ＝ ＝(其中φ滿足tanφ＝)． 當(dāng)sin(α＋φ)＝1時，d有最小值， 所以|MN|的最小值為.