高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明綜合檢測(cè) 北師大版選修2-2

5、n－2級(jí)的基礎(chǔ)上到達(dá)；(2)在第n－1級(jí)的基礎(chǔ)上到達(dá)． 【答案】　D 8．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，則f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定(　　) A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．正負(fù)都可能 【解析】　f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，由a＋b>0，得a>－b，故f(a)>f(－b)，可得f(a)＋f(b)>0.同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0.所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0. 【答案】　A 9．(xx·江西高考)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b

6、4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 【解析】　記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123. 【答案】　C 10．?dāng)?shù)列{an}滿

7、足a1＝，an＋1＝1－，則a2 013等于(　　) A. B．－1 C．2 D．3 【解析】　∵a1＝，an＋1＝1－， ∴a2＝1－＝－1， a3＝1－＝2， a4＝1－＝， a5＝1－＝－1， a6＝1－＝2， ∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*) ∴a2 013＝a3＋3×670＝a3＝2. 【答案】　C 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在橫線上) 11．一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為，，，，，….則猜想它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝________. 【解析】　數(shù)列可寫(xiě)成，，，，，….猜想通項(xiàng)公式an＝. 【答案】　 12．

8、觀察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第6個(gè)圖中有________個(gè)小正方形，第n個(gè)圖中有________個(gè)小正方形． 圖1 【解析】　 根據(jù)規(guī)律和第6個(gè)圖形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 第n個(gè)圖形中有1＋2＋…＋(n＋1)＝. 【答案】　28　 13．用反證法證明命題“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，則x≠a且x≠b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)為_(kāi)_______． 【解析】　就x是否等于a，b而言有四種情形：①x＝a，x≠b；②x≠a，x＝b；③x＝a，x＝b；④x≠a，x≠b. 故應(yīng)假設(shè)x＝a或x＝b. 【答案】　x＝a或x＝b 14．已知等差數(shù)列{an}中，有＝，則在等

9、比數(shù)列{bn}中，會(huì)有類似的結(jié)論：________________. 【解析】　根據(jù)等差、等比數(shù)列中運(yùn)算的性質(zhì)知： 在等比數(shù)列{bn}中會(huì)有 ＝. 【答案】　＝ 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)用反證法證明：如果x>，那么x2＋2x－1≠0. 【證明】　假設(shè)x2＋2x－1＝0， 則解得x1＝－1，x2＝－－1. 又x1<，x2<， 這與已知x>矛盾． 故假設(shè)不成立，x2＋2x－1≠0成立． 16．(本小題滿分12分)試比較2n與n2(n∈N*)的大小關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 【證明】　當(dāng)n＝1

10、時(shí)，21>12，即2n>n2， 當(dāng)n＝2時(shí)，22＝22，即2n＝n2， 當(dāng)n＝3時(shí)，23<32，即2n52，即2n>n2， 當(dāng)n＝6時(shí)，26>62，即2n>n2， … 猜測(cè)，當(dāng)n≥5時(shí)，2n>n2. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測(cè)成立． ①當(dāng)n＝5時(shí)，由上可知猜測(cè)成立． ②設(shè)n＝k(k≥5)時(shí)，命題成立，即2k>k2. ∴2k＋1＝2·2k>2k2＝k2＋k2>k2＋(2k＋1) ＝(k＋1)2，即n＝k＋1時(shí)命題也成立． 由①和②可得，n≥5時(shí)，2n>n2(n∈N*)． 17．(本小題滿分12分)某少數(shù)

11、民族的刺繡有著悠久的歷史，圖2為她們刺繡中最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形． 圖2 (1)求出f(5)的值； (2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式； (3)求＋＋＋…＋的值． 【解】　(1)f(5)＝41. (2)因?yàn)閒(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， … 由以上

12、規(guī)律，可得出f(n＋1)－f(n)＝4n， 因?yàn)閒(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，所以f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3) ＝… ＝f[n－(n－1)]＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4[n－(n－1)] ＝2n2－2n＋1. (3)當(dāng)n≥2時(shí)，＝＝(－)， 所以＋＋＋…＋ ＝1＋(1－＋－＋－＋…＋－) ＝1＋(1－)＝－. 18．(本小題滿分14分)已知a、b、c＞0，求證：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)． 【證明】　∵a、b、c＞0， ∴a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)， ∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2. 同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2， 將三式相加得，2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2. ∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)． ∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．