2022高考數(shù)學大一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第六節(jié) 獨立重復試驗與二項分布檢測 理 新人教A版

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1、2022高考數(shù)學大一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第六節(jié) 獨立重復試驗與二項分布檢測 理 新人教A版 1．(2018·東北三省四市聯(lián)合體模擬)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，事件“至少有一次正面向上”的概率為P，則n的最小值為(　　) A．4　　　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 解析：選A.P＝1－n≥，解得n≥4. 2．(2018·湖北武漢調(diào)研)小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A為“4個人去的景點不相同”，事件B為“小趙獨自去一個景點”，則P(A|B)＝(　　) A. B． C. D． 解析：選A.小趙獨自去一個

2、景點共有4×3×3×3＝108種情況，即n(B)＝108,4個人去的景點不同的情況有A＝4×3×2×1＝24種，即n(AB)＝24，∴P(A|B)＝＝＝. 3．(2018·河北承德二中測試)用電腦每次可以自動生成一個(0,1)內(nèi)的實數(shù)，且每次生成每個實數(shù)都是等可能的，若用該電腦連續(xù)生成3個實數(shù)，則這3個實數(shù)都大于的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：選C.由題意可得，用該電腦生成1個實數(shù)，且這個實數(shù)大于的概率為P＝1－＝，則用該電腦連續(xù)生成3個實數(shù)，這3個實數(shù)都大于的概率為3＝.故選C. 4．(2018·江西信豐聯(lián)考)已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外

3、形都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：選D.設事件A為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”，則P(A)＝，P(AB)＝×＝.則所求概率為P(B|A)＝＝＝. 5．同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是(　　) A. B． C. D． 解析：選B.解法一：由題意知，每次試驗成功的概率為，失敗的概率為，在2次試驗中成功次數(shù)X的可能取值為0

4、,1,2，則P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝C××＝＝，P(X＝2)＝2＝，E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 解法二：由題意知，一次試驗成功的概率p＝，故X～B，所以E(X)＝2×＝. 6．甲、乙、丙三人到三個景點旅游，每個人只去一個景點，設事件A為“三個人去的景點不相同”，事件B為“甲獨自去一個景點”，則概率P(A|B)＝________. 解析：甲獨自去一個景點，則有3個景點可選，乙、丙兩人從另外兩個景點中選擇，所以甲獨自去一個景點的可能情況共有3×2×2＝12(種)．因為三個人去的景點不同的可能情況共有3×2×1＝6(種)，所以P(A|B)＝＝. 答案： 7．已知一書包中有兩本

5、語文資料和一本數(shù)學資料，除內(nèi)容不同外其他均相同，現(xiàn)在有放回地抽取資料，每次抽取一本，記下科目后放回書包中，連續(xù)抽取三次，X表示三次中語文資料被抽中的次數(shù)，若每本資料被抽取的概率相同，每次抽取相互獨立，則方差D(X)＝________. 解析：每次抽取時，取到語文資料的概率為，取到數(shù)學資料的概率為，所以取出語文資料的次數(shù)X服從二項分布，即X～B，所以D(X)＝3××＝. 答案： 8．(2017·全國卷Ⅰ)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝________. 解析：X～B(100,0.02)，所以D(X)＝n

6、p(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96. 答案：1.96 9．拋擲紅、藍兩顆骰子，設事件A為“藍色骰子的點數(shù)為3或6”，事件B為“兩顆骰子的點數(shù)之和大于8”． (1)求P(A)，P(B)，P(AB)； (2)當已知藍色骰子的點數(shù)為3或6時，求兩顆骰子的點數(shù)之和大于8的概率． 解：(1)P(A)＝＝. 因為兩顆骰子的點數(shù)之和共有36個等可能的結(jié)果，點數(shù)之和大于8的結(jié)果共有10個． 所以P(B)＝＝. 當藍色骰子的點數(shù)為3或6時，兩顆骰子的點數(shù)之和大于8的結(jié)果有5個，故P(AB)＝. (2)由(1)知P(B|A)＝＝＝. 10．空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Qualit

7、y Index，簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；300以上為嚴重污染． 一環(huán)保人士記錄去年某地六月10天的AQI的莖葉圖如圖． (1)利用該樣本估計該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)； (2)將頻率視為概率，從六月中隨機抽取3天，記三天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為ξ，求ξ的分布列． 解：(1)從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量為良的天數(shù)為4，所以該樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的頻率為＝，從而估計該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)

8、良的天數(shù)為30×＝18. (2)由(1)估計某天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為，ξ的所有可能取值為0,1,2,3，且ξ～B. 所以P(ξ＝0)＝3＝， P(ξ＝1)＝C2＝， P(ξ＝2)＝C2＝， P(ξ＝3)＝3＝. ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P B級　能力提升練 11．(2018·石家莊?？?某種電路開關閉合后會隨機出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍的概率為，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈閃爍的概率為，則開關在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：選C.設“開關

9、第一次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍”為事件A，“開關第二次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍”為事件B，則“開關兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈閃爍”為事件AB，“開關在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍”為事件B|A，由題意得P(A)＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝，故選C. 12．(2018·綿陽診斷)某射手每次射擊擊中目標的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響．假設這名射手射擊5次，則有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：選C.因為該射手每次射擊擊中目標的概率是，所以每次射擊不中的概率為，設“第i次射擊擊中目標”為事件Ai(i＝1,2,3,4,

10、5)，“該射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件A，則P(A)＝P(A1A2A34 5)＋P(1 A2A3A4 5)＋P(1 2A3A4A5)＝3×2＋×3×＋2×3＝. 13．設事件A在每次試驗中發(fā)生的概率相同，且在三次獨立重復試驗中，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：選C.設事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為p，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)X～B(3，p)，則有1－(1－p)3＝，得p＝，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為C××2＝.故選C. 14．假設一架飛機的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1－p，

11、且各引擎是否出現(xiàn)故障是相互獨立的．已知4引擎飛機中至少3個引擎正常運行，飛機就可成功飛行；2引擎飛機要2個引擎全部正常運行，飛機才可成功飛行．若要使4引擎飛機比2引擎飛機更安全，則p的取值范圍是(　　) A. B． C. D． 解析：選B.一架飛機的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1－p，正常運行的概率是p，且各引擎是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，由題意，4引擎飛機可以成功飛行的概率是Cp3(1－p)＋p4,2引擎飛機可以成功飛行的概率是p2，則Cp3(1－p)＋p4＞p2，化簡得3p2－4p＋1＜0，解得＜p＜1.故選B. 15．已知某種動物服用某種藥物一次后當天出現(xiàn)A癥狀的概率為.某小組

12、為了研究連續(xù)服用該藥物后出現(xiàn)A癥狀的情況，進行了藥物試驗．試驗設計為每天用藥一次，連續(xù)用藥四天為一個用藥周期．假設每次用藥后當天是否出現(xiàn)A癥狀與上次用藥無關． (1)若出現(xiàn)A癥狀，則立即停止試驗，求試驗至多持續(xù)一個用藥周期的概率； (2)若在一個用藥周期內(nèi)出現(xiàn)3次或4次A癥狀，則在這個用藥周期結(jié)束后終止試驗．若試驗至多持續(xù)兩個周期，設藥物試驗持續(xù)的用藥周期為η，求η的分布列． 解：(1)解法一：記試驗持續(xù)i天為事件Ai，i＝1,2,3,4，試驗至多持續(xù)一個周期為事件B， 易知P(A1)＝，P(A2)＝×，P(A3)＝2×，P(A4)＝3×， 則P(B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A

13、3)＋P(A4)＝. 解法二：記試驗至多持續(xù)一個周期為事件B，則為試驗持續(xù)超過一個周期， 易知P()＝4＝， 所以P(B)＝1－4＝. (2)隨機變量η的所有可能取值為1,2， P(η＝1)＝C3·＋4＝， P(η＝2)＝1－＝， 所以η的分布列為： η 1 2 P 16.(2018·陜西省寶雞市高三教學質(zhì)量檢測)現(xiàn)有4個人去參加春節(jié)聯(lián)歡活動，該活動有甲、乙兩個項目可供參加者選擇，為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個項目聯(lián)歡，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲項目聯(lián)歡，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙項目聯(lián)歡． (1)求這4個人中恰好有2人

14、去參加甲項目聯(lián)歡的概率； (2)求這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)的概率； (3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙項目聯(lián)歡的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機變量ξ的分布列． 解：依題意，這4個人中，每個人去參加甲項目聯(lián)歡的概率為，去參加乙項目聯(lián)歡的概率為.設“這4個人中恰好有i人去參加甲項目聯(lián)歡”為事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，則P(Ai)＝Ci·4－i. (1)這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率P(A2)＝C2×2＝. (2)設“這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)”為事件B，則B＝A3∪A4，故P(B)＝P(A3)

15、＋P(A4)＝C3×＋C4＝. 所以，這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)的概率為. (3)ξ的所有可能取值為0,2,4. P(ξ＝0)＝P(A2)＝， P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝， P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 2 4 P C級　素養(yǎng)加強練 17．(2018·武漢調(diào)研)某次飛鏢比賽中，規(guī)定每人至多發(fā)射三鏢．在M處每射中一鏢得3分，在N處每射中一鏢得2分，如果前兩次得分之和超過3分即停止發(fā)射，否則發(fā)射第三鏢．某選手在M處的命中率q1＝0.25，在N處的命中率為q2.該選手選擇先在M處發(fā)

16、射一鏢，以后都在N處發(fā)射，用X表示該選手比賽結(jié)束后所得的總分，其分布列為 X 0 2 3 4 5 P 0.03 P1 P2 P3 P4 (1)求隨機變量X的分布列； (2)試比較該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率與選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率的大小． 解：(1)設該選手在M處射中為事件A，在N處射中為事件B，則事件A，B相互獨立，且P(A)＝0.25，P()＝0.75，P(B)＝q2，P()＝1－q2. 根據(jù)分布列知：當X＝0時， P( )＝P()P()P()＝0.75(1－q2)2＝0.03， 所以1－q2＝0.2，q2＝0.8.

17、當X＝2時，P1＝P( B ＋ B)＝P()P(B)·P()＋P()P()P(B)＝0.75q2(1－q2)×2＝0.24， 當X＝3時， P2＝P(A )＝P(A)P()P()＝0.25(1－q2)2＝0.01， 當X＝4時， P3＝(BB)＝P()P(B)P(B)＝0.75q＝0.48， 當X＝5時，P4＝P(A B＋AB)＝P(A B)＋P(AB)＝P(A)P()P(B)＋P(A)P(B)＝0.25q2(1－q2)＋0.25q2＝0.24. 所以隨機變量X的分布列為： X 0 2 3 4 5 P 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 (2)該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率為0.48＋0.24＝0.72. 該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率為 P(BB＋BB＋BB)＝P(BB)＋P(BB)＋P(BB)＝2(1－q2)q＋q＝0.896. 所以該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率大．