2022高考數(shù)學大一輪復習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 課下層級訓練12 函數(shù)模型及其應用（含解析）文 新人教A版

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1、2022高考數(shù)學大一輪復習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 課下層級訓練12 函數(shù)模型及其應用（含解析）文 新人教A版 1．用長度為24米的材料圍成一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為(　　) A．3米　　　 B．4米　　　 C．6米　　　 D．12米 A　[設隔墻的長為x(0＜x＜6)米，矩形的面積為y平方米，則y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以當x＝3時，y取得最大值．] 2．(2019·寧夏銀川月考)國家規(guī)定個人稿費納稅辦法為：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按超過部分的14%納稅；超過4 000元的按全稿酬的

2、11%納稅．若某人共納稅420元，則這個人的稿費為(　　) A．3 000元 B．3 800元 C．3 818元 D．5 600元 B　[由題意可建立納稅額y關于稿費x的函數(shù)解析式為y＝ 顯然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3 800.] 3．(2019·福建三明聯(lián)考)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超過1%，則至少要洗的次數(shù)是(參考數(shù)據(jù)lg 2≈0.3 010)(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B　[設至少要洗x次，則x≤，∴x≥≈3.322，因此需4次．] 4．某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過

3、10 m3的，按每立方米m元收費；用水超過10 m3的，超過部分加倍收費．某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水為(　　) A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3 D．26 m3 A　[設該職工用水x m3時，繳納的水費為y元， 由題意得y＝ 則10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.] 5．(2019·廣西柳州聯(lián)考)設甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖象為(　　) D　[y為

4、“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，故排除A，C．又因為小王在乙地休息10分鐘，故排除B．] 6．(2019·河北唐山聯(lián)考)“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關系R＝a(a為常數(shù))，廣告效應為D＝a－A．那么精明的商人為了取得最大廣告效應，投入的廣告費應為 ________.(用常數(shù)a表示) a2　[令t＝(t≥0)，則A＝t2，∴D＝at－t2＝－2＋a2，∴當t＝a，即A＝a2時，D取得最大值．] 7．(2019·河北唐山聯(lián)考)擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)＝1.06(

5、0.5[m]＋1)給出，其中m>0，[m]是不超過m的最大整數(shù)(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為__________元． 4．24　[∵m＝6.5，∴[m]＝6，則f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.] 8．(2019·湖北八校聯(lián)考)某人根據(jù)經(jīng)驗繪制了2018年春節(jié)前后，從12月21日至1月8日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時間x(天)變化的函數(shù)圖象，如圖所示，則此人在12月26日大約賣出了西紅柿__________千克． 　[前10天滿足一次函數(shù)關系，設為y＝kx＋b，將點(1,10)和點(10,30)代入

6、函數(shù)解析式得解得k＝，b＝， 所以y＝x＋，則當x＝6時，y＝.] 9．已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)． (1)如果m＝2，求經(jīng)過多長時間，物體的溫度為5攝氏度； (2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍． 解　(1)若m＝2，則θ＝2·2t＋21－t＝2， 當θ＝5時，2t＋＝，令2t＝x≥1，則x＋＝， 即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝(舍去)， 此時t＝1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度． (2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即θ≥2恒成立． 亦m·2t＋≥2恒成立

7、，亦即m≥2恒成立． 令＝x，則0

8、知x的取值范圍為[10,90]． (2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)． (3)因為y＝5x2＋(100－x)2 ＝x2－500x＋25 000＝(x－)2＋， 所以當x＝時，ymin＝. 故核電站建在距A城 km處，能使供電總費用y最少． [B級　能力提升訓練] 11．某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元． (1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關系； (2)若該家庭有20萬元資金，全部用于

9、理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益？其最大收益是多少萬元？ 解　(1)設兩類產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)分別為f(x)＝k1x，g(x)＝k2. 由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2， 所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)． (2)設投資債券產(chǎn)品為x萬元，則投資股票類產(chǎn)品為(20－x)萬元．依題意得y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)． 令t＝(0≤t≤2)， 則y＝＋t＝－(t－2)2＋3， 所以當t＝2，即x＝16時，收益最大，ymax＝3萬元． 12．某店銷售進價為2元/件的產(chǎn)品A，該店產(chǎn)品A每日的銷售量y(單位：千件)與銷售價格x(單

10、位：元/件)滿足關系式y(tǒng)＝＋4(x－6)2，其中2

11、f′(x)＝0，得x＝，易知在上，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在上，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減． 所以x＝是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點，所以當x＝≈3.3時，函數(shù)f(x)取得最大值． 故當銷售價格為3.3元/件時，利潤最大． 13．某養(yǎng)殖場需定期購買飼料，已知該養(yǎng)殖場每天需要飼料200千克，每千克飼料的價格為1.8元，飼料的保管費與其他費用平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運費300元．求該養(yǎng)殖場多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少． 解　設該養(yǎng)殖場x(x∈N*)天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y元． 因為飼料的保

12、管費與其他費用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天飼料的保管費與其他費用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)元． 從而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8 ＝＋3x＋357≥2 ＋357＝417， 當且僅當＝3x，即x＝10時，y有最小值．故該養(yǎng)殖場10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少． 14．(2018·上海普陀區(qū)一模)某快遞公司在某市的貨物轉運中心，擬引進智能機器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購買x臺機器人的總成本p(x)＝x2＋x＋150萬元． (1)若使每臺機器人的平均成本最低，問應買多少臺？ (2)現(xiàn)

13、按(1)中的數(shù)量購買機器人，需要安排m人將郵件放在機器人上，機器人將郵件送達指定落袋格口完成分揀(如圖)， 經(jīng)實驗知，每臺機器人的日平均分揀量q(m)＝(單位：件)，已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問引進機器人后，日平均分揀量達最大值時，用人數(shù)量比引進機器人前的用人數(shù)量最多可減少百分之幾？ 解　(1)由總成本p(x)＝x2＋x＋150萬元，可得每臺機器人的平均成本y＝＝＝x＋＋1≥2＋1＝2.當且僅當x＝，即x＝300時，上式等號成立． ∴若使每臺機器人的平均成本最低，應買300臺． (2)引進機器人后，每臺機器人的日平均分揀量q(m)＝ 當1≤m≤30時，300臺機器人的日平均分揀量為160m(60－m)＝－160m2＋9 600m， ∴當m＝30時，日平均分揀量有最大值144 000. 當m＞30時，日平均分揀量為480×300＝144 000. ∴300臺機器人的日平均分揀量的最大值為144 000件．若傳統(tǒng)人工分揀144000件，則需要人數(shù)為＝120人． ∴日平均分揀量達最大值時，用人數(shù)量比引進機器人前的用人數(shù)量最多可減少＝75%.