（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 2 第2講 一元二次不等式及其解法教學(xué)案

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1、第2講　一元二次不等式及其解法 1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集 (1)當(dāng)a>0時，解集為； (2)當(dāng)a<0時，解集為． 2．一元二次不等式的解集 判別式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù)y＝ ax2＋bx＋c (a>0)的圖象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有兩個相異 實根x1， x2(x10 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)

2、的解集 {x|x1 0.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根是x1和x2.(　　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.(　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (5)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，則不等式ax

3、2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ [教材衍化] 1．(必修5P80A組T4改編)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，那么集合A∩(?UB)＝________． 解析：因為A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x≥4}，故?UB＝{x|－1≤x<4}，所以A∩(?UB)＝{x|－1≤x≤3}． 答案：[－1，3] 2．(必修5P80A組T2改編)y＝log2(3x2－2x－2)的定義域是________． 解析：由題意，得3x2－2x－2>0，令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，所

4、以3x2－2x－2>0的解集為∪. 答案：∪ [易錯糾偏] (1)解不等式時，變形必須等價； (2)忽視二次項系數(shù)的符號； (3)對系數(shù)的討論，忽視二次項系數(shù)為0的情況； (4)解分式不等式時，忽視分母的符號． 1．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集為________． 解析：2x(x－7)>3(x－7)?2x(x－7)－3(x－7)>0?(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以，原不等式的解集為. 答案： 2．不等式－x2－3x＋4>0的解集為________．(用區(qū)間表示) 解析：由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0. 得－4

5、. 答案：(－4，1) 3．對于任意實數(shù)x，不等式mx2＋mx－1<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：當(dāng)m＝0時，mx2＋mx－1＝－1<0，不等式恒成立；當(dāng)m≠0時，由解得－40?x>1或x<－1. 答案：{x|x>1或x<－1} 　　　　　　一元二次不等式的解法(高頻考點) 一元二次不等式的解法是高考的?？純?nèi)容，題型多為選擇題或填空題，難度為中檔題．主要命題角度有： (1)解不含參數(shù)的一元二次不等式； (

6、2)解含參數(shù)的一元二次不等式； (3)已知一元二次不等式的解集求參數(shù)． 角度一　解不含參數(shù)的一元二次不等式 解下列不等式： (1)－x2－2x＋3≥0； (2)已知函數(shù)f(x)＝解不等式f(x)>3. 【解】　(1)不等式兩邊同乘以－1，原不等式可化為x2＋2x－3≤0. 方程x2＋2x－3＝0的解為x1＝－3，x2＝1. 而y＝x2＋2x－3的圖象開口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}． (2)由題意或解得x>1. 故原不等式的解集為{x|x>1}． 角度二　解含參數(shù)的一元二次不等式 (分類討論思想)解關(guān)于x的不等式：12x2－ax

7、>a2(a∈R)． 【解】　因為12x2－ax>a2， 所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0. 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝. ①當(dāng)a>0時，－<， 解集為； ②當(dāng)a＝0時，x2>0，解集為{x|x∈R，且x≠0}； ③當(dāng)a<0時，－>， 解集為. 綜上所述：當(dāng)a>0時，不等式的解集為；當(dāng)a＝0時，不等式的解集為{x|x∈R，且x≠0}；當(dāng)a<0時，不等式的解集為. 角度三　已知一元二次不等式的解集求參數(shù) 已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，則不等式x2－bx－a≥0的解集是________． 【解析】　由題意知－，

8、－是方程ax2－bx－1＝0的兩個根，且a<0，所以解得 即不等式x2－bx－a≥0為x2－5x＋6≥0， 解得x≥3或x≤2. 【答案】　{x|x≥3或x≤2} (1)解一元二次不等式的方法和步驟 (2)解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟 ①二次項若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式． ②判斷相應(yīng)方程的根的個數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系． ③確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．　 1．若集合A＝，B＝{x|x2<2x}，則A∩B＝(　　) A．{x|0

9、　　　　 B．{x|0≤x<1} C．{x|0

10、方程ax2－3x＋2＝0的兩根， 即所以a＝1，b＝2. (2)不等式等價于(x－c)(x－2)＞0，當(dāng)c＞2時，解集為{x|x＞c或x＜2}；當(dāng)c＜2時，解集為{x|x＞2或x＜c}；當(dāng)c＝2時，解集為{x|x≠2}． 　　　　　　一元二次不等式恒成立問題(高頻考點) 一元二次不等式恒成立問題是每年高考的熱點，題型多為選擇題和填空題，難度為中檔題．主要命題角度有： (1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)確定參數(shù)的范圍； (2)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])確定參數(shù)的范圍； (3)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(參數(shù)m∈[a，b])確定x的范圍

11、． 角度一　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)確定參數(shù)的范圍 若關(guān)于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】　當(dāng)a＝0時，原不等式可化為2x＋2＞0，其解集不為R，故a＝0不滿足題意，舍去； 當(dāng)a≠0時，要使原不等式的解集為R， 只需解得a＞. 綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是. 【答案】　 角度二　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])確定參數(shù)的范圍 若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0對一切x∈(0，2]恒成立，則a的取值范圍是(　　) A. B. C.∪ D. 【解析】　因為x∈(0，

12、2]， 所以a2－a≥＝.要使a2－a≥在x∈(0，2]時恒成立， 則a2－a≥， 由基本不等式得x＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時等號成立，即＝. 故a2－a≥，解得a≤或a≥. 【答案】　C 角度三　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(參數(shù)m∈[a，b])確定x的范圍 已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，則x的取值范圍為________． 【解析】　把不等式的左端看成關(guān)于a的一次函數(shù)，記f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)， 則由f(a)＞0對于任意的a∈[－1，1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞

13、0即可，聯(lián)立方程解得x＜1或x＞3. 【答案】　{x|x＜1或x＞3} (1)不等式恒成立問題的求解方法 ①一元二次不等式在R上恒成立確定參數(shù)的范圍時，結(jié)合一元二次方程，利用判別式來求解． ②一元二次不等式f(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立確定參數(shù)范圍時，要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求其最小值，讓最小值大于等于0，從而求參數(shù)的范圍． ③一元二次不等式對于參數(shù)m∈[a，b]恒成立確定x的范圍，要注意變換主元，一般地，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)． (2)三個“二次”間的轉(zhuǎn)化 二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱三個“二次”，解決此類問題首先采用轉(zhuǎn)化思想，把方程、不

14、等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題．借助于函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題．　 1．若函數(shù)y＝的定義域為R，則m的取值范圍是________． 解析：要使y＝有意義，即mx2－(1－m)x＋m≥0對?x∈R恒成立， 則解得m≥. 答案：m≥ 2．若關(guān)于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：因為不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立， 所以4x－2x＋1≥a在[1，2]上恒成立． 令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1. 因為1≤x≤2，所以2≤2x≤4. 由二次函數(shù)

15、的性質(zhì)可知：當(dāng)2x＝2，即x＝1時，y取得最小值0， 所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 　　　　　　一元二次不等式的應(yīng)用 某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元輛，出廠價為12萬元輛，年銷售量為10 000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0

16、增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ 【解】　(1)由題意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000(1＋0.6x)(0

17、論還原為實際問題的結(jié)果．　 　某商品每件成本價為80元，售價為100元，每天售出100件．若售價降低x成(1成＝10%)，售出商品數(shù)量就增加x成．要求售價不能低于成本價． (1)設(shè)該商店一天的營業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)，并寫出定義域； (2)若要求該商品一天營業(yè)額至少為10 260元，求x的取值范圍． 解：(1)由題意得y＝100·100. 因為售價不能低于成本價， 所以100－80≥0，得x≤2. 所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定義域為[0，2]． (2)由題意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260，化簡得8x2－30x＋

18、13≤0. 解得≤x≤. 所以x的取值范圍是. 思想方法系列5　轉(zhuǎn)化與化歸思想在不等式中的應(yīng)用 (2020·嘉興模擬)不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集為{x|－20(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根(如本例)，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸交點的橫坐標(biāo)．　 (2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是

19、由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化． 　設(shè)a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的兩個實根，則(a－1)2＋(b－1)2的最小值是(　　) A．－　　　　　　　　　 B．18 C．8 D．－6 解析：選C.因為關(guān)于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的兩個根為a，b， 所以且Δ＝4(m2－m－6)≥0，解得m≥3或m≤－2. 所以y＝(a－1)2＋(b－1)2＝(a＋b)2－2ab－2(a＋b)＋2＝4m2－6m－10＝4－. 由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)m＝3

20、時，函數(shù)y＝4m2－6m－10取得最小值，最小值為8.故選C. [基礎(chǔ)題組練] 1．設(shè)集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B為函數(shù)y＝lg(x－1)的定義域，則A∩B＝(　　) A．(1，2)　　　　　　　　　 B．[1，2] C．[1，2) D．(1，2] 解析：選D.A＝[－1，2]，B＝(1，＋∞)，A∩B＝(1，2]． 2．若不等式ax2＋bx＋2<0的解集為，則的值為(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選A.由題意得ax2＋bx＋2＝0的兩根為－與，所以－＝－＋＝－，則＝1－＝1－＝. 3．(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(

21、x)＝則不等式f(x)≥x2的解集為(　　) A．[－1，1] B．[－2，2] C．[－2，1] D．[－1，2] 解析：選A.法一：當(dāng)x≤0時，x＋2≥x2， 所以－1≤x≤0；① 當(dāng)x>0時，－x＋2≥x2， 所以0

22、 D．(－∞，－4)∪(2，＋∞) 解析：選C.不等式x2＋2x＜＋對任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等價于x2＋2x＜，由于＋≥2 ＝8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝4b時等號成立)，所以x2＋2x＜8，解得－4＜x＜2. 5．關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(4，5) B．(－3，－2)∪(4，5) C．(4，5] D．[－3，－2)∪(4，5] 解析：選D.原不等式可化為(x－1)(x－a)<0，當(dāng)a>1時得1

23、，－2)∪(4，5]． 6．(2020·臺州聯(lián)考)在R上定義運算：＝ad－bc.若不等式≥1對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的最大值為(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選D.原不等式等價于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)對任意x恒成立，x2－x－1＝－≥－，所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤，故選D. 7．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________． 解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0

24、1(n∈N*)時，[x]＝n，則關(guān)于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集為________． 解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，化為(2[x]－3)(2[x]－15)＜0，解得<[x]<，又當(dāng)且僅當(dāng)n≤x

25、立的m的最大值是5，所以x＝5是方程g(x)＝0的一個根，將x＝5代入g(x)＝0，可以解得k＝(經(jīng)檢驗滿足題意)． 答案： 10．已知f(x)＝若|f(x)|≥ax在x∈[－1，1]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是____________． 解析：當(dāng)x＝0時，|f(x)|≥ax恒成立，a∈R；當(dāng)0＜x≤1時，|f(x)|≥ax轉(zhuǎn)化為a≤＝＝|3－|.因為|3－|的最小值為0，所以a≤0；當(dāng)－1≤x＜0時，|f(x)|≥ax轉(zhuǎn)化為a≥＝－||＝－|x－|.因為－|x－|的最大值為－1，所以a≥－1，綜上可得a∈[－1，0]． 答案：[－1，0] 11．若不等式ax2＋5x－2>0的解集

26、是. (1)求實數(shù)a的值； (2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集． 解：(1)由題意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的兩個根為，2，代入解得a＝－2. (2)由(1)知不等式為－2x2－5x＋3>0， 即2x2＋5x－3<0，解得－30的解集為. 12．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為(1，t)，記函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－b)x－c. (1)求證：函數(shù)y＝f(x)必有兩個不同的零點； (2)若函數(shù)y＝f(x)的兩個零點分別為m，n求|m－n|的取值范圍． 解：(1)證明：由題意知a＋b＋c＝0，且－＞1.

27、所以a＜0且＞1，所以ac＞0. 對于函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－b)x－c 有Δ＝(a－b)2＋4ac＞0. 所以函數(shù)y＝f(x)必有兩個不同零點． (2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝＝＋8＋4. 由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的兩個解分別為1和t(t＞1)，由根與系數(shù)的關(guān)系知＝t， 所以|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)． 所以|m－n|＞， 所以|m－n|的取值范圍為(，＋∞)． [綜合題組練] 1．(2020·金華市東陽二中高三調(diào)研)若關(guān)于x的不等式x2＋ax－2＞0在區(qū)間[1，5]上有解，則實數(shù)a

28、的取值范圍為(　　) A. B. C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) 解析：選A.由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有兩個不等實根，又知兩根之積為負(fù)， 所以方程必有一正根、一負(fù)根． 于是不等式在區(qū)間[1，5]上有解的充要條件是f(5)>0，解得a>－，故a的取值范圍為. 2．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，對任意實數(shù)x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若當(dāng)x∈[－1，1]時，f(x)＞0恒成立，則b的取值范圍是(　　) A．(－1，0) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．不能確定 解析：選C.由f(1－x)＝f(

29、1＋x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，即＝1，解得a＝2. 又因為f(x)開口向下， 所以當(dāng)x∈[－1，1]時，f(x)為增函數(shù)， 所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立， 解得b＜－1或b＞2. 3．(2020·杭州模擬)若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，則a的取值范圍是________． 解析：原不等式即(x－a)(x－1)≤0，當(dāng)a<1時，不等式的解集為[a，1]，此時只要a≥－4即可，即－4≤a<1；當(dāng)a＝1時，不等式的解為x＝1，此時符合要求；當(dāng)a>1時，不等

30、式的解集為[1，a]，此時只要a≤3即可，即1

31、f(x)＝ax2＋bx＋c，函數(shù)F(x)＝f(x)－x的兩個零點為m，n(m0的解集； (2)若a>0，且00， 即a(x＋1)(x－2)>0. 當(dāng)a>0時，不等式F(x)>0的解集為{x|x<－1，或x>2}； 當(dāng)a<0時，不等式F(x)>0的解集為{x|－10，且0

32、0. 所以f(x)－m<0，即f(x)1； (2)對任意的b∈(0，1)，當(dāng)x∈(1，2)時，f(x)>恒成立，求a的取值范圍． 解：(1)f(x)＝>1?x2＋1<|x＋1|?或?0?|x＋a|>b(x＋)?x＋a>b(x＋)或x＋a<－b(x＋)?a>(b－1)x＋或a<－[(b＋1)x＋]對任意x∈(1，2)恒成立．所以a≥2b－1或a≤－(b＋2)對任意b∈(0，1)恒成立．所以a≥1或a≤－. 15