2022年人教A版高中數(shù)學 選修2-1 2-3-2雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 教案

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1、2022年人教A版高中數(shù)學 選修2-1 2-3-2雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 教案 （一）教學目標 1.知識與技能： （1）通過對雙曲線圖形的研究，讓學生熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)（對稱性、范圍、頂點、離心率）以及離心率的大小對雙曲線形狀的影響，進一步加強數(shù)形結(jié)合的思想。 （2）熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，會用雙曲線的幾何性質(zhì)解決相應的問題。 （3）理解等軸雙曲線的特點與性質(zhì) 2.過程與方法：通過講解雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，理解并會用雙曲線的相關(guān)性質(zhì)解決問題。 3.情感、態(tài)度與價值觀： （1）學生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創(chuàng)造地解決問題； （2）培養(yǎng)學生抽象概括能力和

2、邏輯思維能力。 （二）教學重點與難點 重點：雙曲線的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想的貫徹，運用曲線方程研究幾何性質(zhì) 難點：數(shù)形結(jié)合思想的貫徹，運用曲線方程研究幾何性質(zhì) （三）教學過程 活動一：創(chuàng)設(shè)情景、引入課題 （5分鐘） 問題1：前面兩節(jié)課，說一說所學習過的內(nèi)容？ 1、 雙曲線的定義？ 2、 兩種不同雙曲線方程的對比？ 問題2：類比橢圓幾何性質(zhì)，觀察雙曲線（a>0,>b>0）的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對稱性？雙曲線上哪些點比較特殊？ 點題：今天我們學習“雙曲線的簡單幾何性質(zhì)” 活動二：師生交流、進入新知，（20分鐘） 1、雙曲線的簡單幾何性質(zhì) ①范圍：

3、，或； 由雙曲線的標準方程得，，進一步得：，或．這說明雙曲線在不等式，或所表示的區(qū)域； ②對稱性：關(guān)于以軸和軸為對稱軸，原點為對稱中心； 由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究雙曲線的標準方程發(fā)生變化沒有，從而得到雙曲線是以軸和軸為對稱軸，原點為對稱中心； ③頂點：實頂點：為，；實軸為||=；實半軸長為 虛頂點為，；虛軸為||=；虛半軸長為 圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點．因此雙曲線有兩個頂點，由于雙曲線的對稱軸有實虛之分，焦點所在的對稱軸叫做實軸，焦點不在的對稱軸叫做虛軸； ④漸近線：直線叫做雙曲線的漸近線； 直線叫做雙曲線的

4、漸近線； 問題3：雙曲線的范圍在以直線和為邊界的平面區(qū)域內(nèi)，那么從x,y的變化趨勢看，雙曲線與直線具有怎樣的關(guān)系呢？ ⑤離心率： 雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率（）． 問題4：當時，雙曲線方程有什么變化？漸近線？離心率？ 2、等軸雙曲線：當時，雙曲線為叫等軸雙曲線，漸近線為，離心率 問題5：書本P58頁思考？ 例3： 求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點的坐標、離心率、漸近線方程． 分析：由雙曲線的方程化為標準方程，容易求出．引導學生用雙曲線的實半軸長、虛半軸長、離心率、焦點和漸近線的定義即可求相關(guān)量或式子，但要注意焦點在軸上的漸近線是． 練習：書本P61頁練習1

5、擴展：求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線的標準方及離心率． 解法剖析：雙曲線的漸近線方程為．①焦點在軸上時，設(shè)所求的雙曲線為，∵點在雙曲線上，∴，無解；②焦點在軸上時，設(shè)所求的雙曲線為，∵點在雙曲線上，∴，因此，所求雙曲線的標準方程為，離心率．這個要進行分類討論，但只有一種情形有解，事實上，可直接設(shè)所求的雙曲線的方程為． 練習：書本P61頁練習3 活動三：合作學習、探究新知（18分鐘） 例4：雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面如圖（1），它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為．試選擇適當?shù)淖鴺讼?，求出雙曲線的方程（各長度量精確到）． 解法剖析：建立適

6、當?shù)闹苯亲鴺讼担O(shè)雙曲線的標準方程為，算出的值；此題應注意兩點：①注意建立直角坐標系的兩個原則；②關(guān)于的近似值，原則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定． 引申：如圖所示，在處堆放著剛購買的草皮，現(xiàn)要把這些草皮沿著道路或送到呈矩形的足球場中去鋪墊，已知，，，．能否在足球場上畫一條“等距離”線，在“等距離”線的兩側(cè)的區(qū)域應該選擇怎樣的線路？說明理由． 解題剖析：設(shè)為“等距離”線上任意一點，則，即 （定值），∴“等距離”線是以、為焦點的雙曲線的左支上的一部分，容易“等距離”線方程為．理由略． 練習：書本P61頁練習2 例5:如圖，設(shè)與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點的軌跡方程． 分析：若設(shè)點，則，到直線：的距離 ，則容易得點的軌跡方程． 解:設(shè)是點M到直線的距離,根據(jù)題意,所求軌跡就是集合P={M|}, 即 所以，點M的軌跡是實軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線 例6：如圖，過雙曲線 的右焦點，傾斜角為的直線交雙曲線于A、B兩點，求。 練習：書本P61頁練習5 活動四：歸納整理、提高認識（2分鐘） 1． 說說本節(jié)課學習了雙曲線的那些題型？ 活動五：作業(yè)布置、提高鞏固 1．書面作業(yè)：書本P61B組1、3、4 書本P61 A組3、4、5