2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法 一 比較法講義（含解析）新人教A版選修4-5

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法 一 比較法講義（含解析）新人教A版選修4-51作差比較法(1)作差比較法的理論依據(jù)ab0ab，ab0a0，若1，則ab；若1，則ab；b1，則ab；若b.(2)作商比較法解題的一般步驟：判定a，b的符號(hào)；作商；變形整理；判定與1大小關(guān)系；得出結(jié)論作差比較法證明不等式例1已知xy，求證：x3x2yxy2x2yxy2y3.思路點(diǎn)撥因?yàn)椴坏仁絻蛇吺峭环N性質(zhì)的整式，所以可以直接通過(guò)作差比較大小證明x3x2yxy2(x2yxy2y3)x(x2xyy2)y(x2xyy2)(xy)(x2xyy2)(xy).因?yàn)閤y，所以xy0，于是(xy)0，

2、所以x3x2yxy2x2yxy2y3.(1)作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不用考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少(2)變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法(3)因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號(hào)，常將“差式”變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的“差式”是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，常用配方法判斷符號(hào)有時(shí)會(huì)遇到結(jié)果符號(hào)不能確定，這時(shí)候要對(duì)差式進(jìn)行分類(lèi)討論1求證：a2b22(ab1)證明：a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)2已知a，bR，nN，求證：(ab)(anbn

3、)2(an1bn1)證明：(ab)(anbn)2(an1bn1)an1abnbanbn12an12bn1a(bnan)b(anbn)(ab)(bnan)當(dāng)ab0時(shí)，bnan0，ab0，(ab)(bnan)a0時(shí)，bnan0，ab0.(ab)(bnan)0時(shí)，(bnan)(ab)0.綜合可知，對(duì)于a，bR，nN，都有(ab)(anbn)2(an1bn1).作商比較法證明不等式例2設(shè)a0，b0，求證：aabb(ab).思路點(diǎn)撥不等式兩端都是指數(shù)式，它們的值均為正數(shù)，可考慮用作商比較法證明aabb0，(ab)0，ab.當(dāng)ab時(shí)，顯然有1；當(dāng)ab0時(shí)，1，0，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，有1；當(dāng)ba0時(shí)，01，

4、1.綜上可知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，都有aabb(ab).當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積形式或冪指數(shù)形式時(shí)，常采用作商比較法，用作商比較法時(shí)，如果需要在不等式兩邊同乘某個(gè)數(shù)，要注意該數(shù)的正負(fù)，且最后結(jié)果與1比較3已知abc0.求證：a2ab2bc2cabcbcacab.證明：由abc0，得abcbcacab0.作商aabaacbbcbbaccaccbabacbc.由abc0，得ab0，ac0，bc0，且1，1，1.abacbc1.a2ab2bc2cabcbcacab.4設(shè)nN，n1，求證logn(n1)log(n1)(n2)證明：因?yàn)閚1，所以logn(n1)0，log(n1)(n2)0，所以log(n

5、1)(n2)log(n1)n2221.故log(n1)(n2)logn(n1)，即原不等式得證.比較法的實(shí)際應(yīng)用例3甲、乙二人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，問(wèn)甲、乙二人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)？思路點(diǎn)撥先用m，n表示甲、乙兩人走完全程所用時(shí)間，再進(jìn)行比較解設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為s，甲、乙二人走完這段路程所用的時(shí)間分別為t1，t2 ，依題意有mns，t2.t1，t2.t1t2.其中s，m，n都是正數(shù)，且mn，t1t20.即t1a時(shí)，設(shè)max(x0)，乘坐起步價(jià)為10元的出租車(chē)費(fèi)用為P(x)元

6、乘坐起步價(jià)為8元的出租車(chē)費(fèi)用為Q(x)元，則P(x)101.2 x，Q(x)81.4x.P(x)Q(x)20.2x0.2(10x)，當(dāng)x10時(shí)，P(x)Q(x)，此時(shí)選擇起步價(jià)為10元的出租車(chē)較為合適當(dāng)xQ(x)，此時(shí)選起步價(jià)為8元的出租車(chē)較為合適當(dāng)x10時(shí)，P(x)Q(x)，兩種出租車(chē)任選，費(fèi)用相同1下列關(guān)系中對(duì)任意ab0的實(shí)數(shù)都成立的是()Aa2b2Blg b21 D.a2b2解析：選Babb0.(a)2(b)20.即a2b20.1.又lg b2lg a2lglg 10，lg b2Q BP0恒成立，QP.法二：PQ，a2a10恒成立且a4a20，PQ0，即QP.3已知a0，b0，m，n，p

7、，則m，n，p的大小關(guān)系是()Amnp BmnpCnmp Dnmp解析：選A由m，n，得ab0時(shí)，mn, 可排除B、C項(xiàng)比較A、D項(xiàng)，不必論證與p的關(guān)系取特殊值a4，b1，則m4，n213，mn，可排除D，故選A.4設(shè)mn，nN，a(lg x)m(lg x)m，b(lg x)n(lg x)n，x1，則a與b的大小關(guān)系為()AabBabC與x值有關(guān)，大小不定D以上都不正確解析：選Aablgmxlgmxlgnxlgnx(lgmxlgnx)(lgmxlgnx)(lgmxlgnx)(lgmxlgnx).x1，lg x0.當(dāng)0lg xb；當(dāng)lg x1時(shí)，ab；當(dāng)lg x1時(shí)，ab.應(yīng)選A.5若0x1，則

8、與的大小關(guān)系是_解析：.因?yàn)?x1，所以0.所以.答案：Q，則實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足的條件為_(kāi)解析：PQa2b25(2aba24a)a2b252aba24aa2b22ab14a24a(ab1)2(a2)2，PQ，PQ0，即(ab1)2(a2)20，ab1或a2.答案： ab1或a27一個(gè)個(gè)體戶(hù)有一種商品，其成本低于元如果月初售出可獲利100元，再將本利存入銀行，已知銀行月息為2.5%，如果月末售出可獲利120元，但要付成本的2%的保管費(fèi)，這種商品應(yīng)_出售(填“月初”或“月末”)解析：設(shè)這種商品的成本費(fèi)為a元月初售出的利潤(rùn)為L(zhǎng)1100(a100)2.5%，月末售出的利潤(rùn)為L(zhǎng)21202%a，則L1L210

9、00.025a2.51200.02a0.045，a，L1L2，月末出售好答案：月末8已知x，yR, 求證：sin xsin y1sin xsin y.證明：sin xsin y1sin xsin ysin x(1sin y)(1sin y)(1sin y)(sin x1)1sin x1，1sin y1.1sin y0，sin x10.(1sin y)(sin x1)0.即sin xsin y1sin xsin y.9若a0，b0，c0，求證：aabbcc(abc).證明：不妨設(shè)abc0，那么由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，有1，1，1.所以abc1.原不等式成立10已知abc，xyz ，則axbycz，axcybz，bxaycz，bxcyaz中最大的是哪一個(gè)？證明你的結(jié)論解：axbycz最大理由如下：axbycz(axcybz)(bc)y(cb)z(bc)(yz)，abc，xyz，bc0，yz0，即axbyczaxcybz.axbycz(bxaycz)(ab)x(ba)y(ab)(xy)0，axbyczbxaycz.axbycz(bxcyaz)(ab)x(bc)y(ca)z(ab)x(bc)y(cb)(ba)z(ab)(xz)(bc)(yz)0，axbyczbxcyaz.故axbycz最大