2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第33講 基本不等式練習(xí) 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第33講 基本不等式練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.利用基本不等式≤求最值、證明不等式.2.利用基本不等式解決實(shí)際問題． 一、基本不等式≤ 1．基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0. 2．等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立． 3．其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)． 由公式a2＋b2≥2ab和≤可以引申出的常用結(jié)論 (1)＋≥2(a，b同號(hào))； (2)＋≤－2(a，b異號(hào))； (3)≤≤≤ (a＞0，b＞0)(或ab≤2≤(a＞0，b＞0)． 二、利用基本不等式求最大、最小值問題 1．如果x，y∈(

2、0，＋∞)，且xy＝P(定值)． 那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2.(簡(jiǎn)記：“積定和最小”) 2．如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)． 那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值.(簡(jiǎn)記：“和定積最大”) 1．函數(shù)y＝x＋(x＞0)的值域?yàn)?　　) A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)　　　 B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 【解析】　∵x＞0，∴y＝x＋≥2＝2. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)等號(hào)成立． ∴函數(shù)y＝x＋(x＞0)的值域?yàn)閇2，＋∞)． 【答案】　C 2．已知m＞0，n＞0，且mn＝81，則m＋n的最小值為(　　) A．18　　　B．3

3、6　　　C．81　　　D．243 【解析】　∵m＞0，n＞0，mn＝81， ∴m＋n≥2＝2＝18. 當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝9時(shí)等號(hào)成立． 【答案】　A 3．設(shè)0＜x＜1，則x(3－3x)取得最大值時(shí)，x的值為(　　) A. B. C. D. 【解析】　∵0＜x＜1， ∴x(3－3x)≤3·2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，即x＝時(shí)等號(hào)成立． 【答案】　B 4．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品應(yīng)為________件． 【解

4、析】　設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元，由題意得 y＝＋≥2＝20. 當(dāng)且僅當(dāng)＝(x＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝80時(shí)，“＝”成立． 【答案】　80 5．(xx·福建高考)下列不等式一定成立的是(　　) A．lg>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 【解析】　應(yīng)用基本不等式：x，y∈R＋，≥(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào))逐個(gè)分析，注意基本不等式的應(yīng)用條件及取等號(hào)的條件． 當(dāng)x>0時(shí)，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x>0)，故選項(xiàng)A不正確；運(yùn)用基本不等式時(shí)需保證一正二定三相等，而當(dāng)x≠kπ，k∈Z時(shí)

5、，sin x的正負(fù)不定，故選項(xiàng)B不正確；由基本不等式可知，選項(xiàng)C正確；當(dāng)x＝0時(shí)，有＝1，故選項(xiàng)D不正確． 【答案】　C 6．(xx·四川高考)已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a＝________. 【解析】　f(x)＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝，即x＝時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)f(x)取得最小值4.又由已知x＝3時(shí)，f(x)min＝4， ∴＝3，即a＝36. 【答案】　36 考向一 [112]　利用基本不等式求最值 　(1)(xx·青島模擬)下列命題中正確的是(　　) A．y＝x＋的最小值是2 B．y＝2－3x－(x＞0)的

6、最大值是2－4 C．y＝sin2x＋的最小值是4 D．y＝2－3x－(x＜0)的最小值是2－4 (2)(xx·貴陽模擬)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是(　　) A.　　　B.　　　C．5　　　D．6 【思路點(diǎn)撥】　(1)借助均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等”逐一判斷．(2)將條件變形＋＝1，然后注意“1”的代換． 【嘗試解答】　(1)A不正確，如取x＝－1，則y＝－2. B正確，因?yàn)閥＝2－3x－＝2－≤2－2＝2－4. 當(dāng)且僅當(dāng)3x＝，即x＝時(shí)等號(hào)成立． C不正確，令sin2x＝t，則0＜t≤1，所以g(t)＝t＋，顯然g(t)在(0,1]

7、上單調(diào)遞減，故g(t)min＝g(1)＝1＋4＝5. D不正確，∵x＜0，∴－x＞0 ∴y＝2－3x－＝2＋≥2＋4. 當(dāng)且僅當(dāng)－3x＝－，即x＝－時(shí)等號(hào)成立． (2)由x＞0，y＞0，且x＋3y＝5xy，得＋＝1. ∴3x＋4y＝(3x＋4y) ＝＋＋≥＋2 ＝5， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝1時(shí)，等號(hào)成立． ∴3x＋4y的最小值為5. 【答案】　(1)B　(2)C 規(guī)律方法1　1.第(1)題的解題關(guān)鍵是“逐一驗(yàn)證均值不等式的適用條件”.第(2)小題求解的關(guān)鍵是條件的恰當(dāng)變形與“1”的代換，常見錯(cuò)誤是條件與結(jié)論分別利用基本不等式，導(dǎo)致錯(cuò)選A，根本原因忽視等號(hào)成立條件. 2.利用

8、基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”.常用的方法為拆、湊、代換、平方. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，且＋的最小值是________． (2)設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________． 【解析】　(1)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1， ∴＋＝(x＋y)＝＋＋7 ≥2＋7＝7＋4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝且x＋y＝1， 即x＝－3＋2，y＝4－2時(shí)等號(hào)成立， ∴＋的最小值是7＋4. (2)由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋y)2－xy， ∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋， 解得－≤x＋y≤， ∴

9、x＋y的最大值為. 【答案】　(1)7＋4　(2) 考向二 [113]　簡(jiǎn)單的不等式證明 　(xx·課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明： (1)ab＋bc＋ca≤； (2)＋＋≥1. 【思路點(diǎn)撥】　(1)將a＋b＋c＝1兩邊平方，化簡(jiǎn)整理，借助不等式的性質(zhì)，即得結(jié)論． (2)證＋＋≥1，也即證＋＋≥a＋b＋c. 可分別證＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，然后相加即得． 【嘗試解答】　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1. 即a2＋b2＋c2＋2

10、ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. (2)因?yàn)椋玝≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c. 所以＋＋≥1. 規(guī)律方法2　1.“1”的代換是解決問題的關(guān)鍵，代換變形后能使用基本不等式是代換的前提，不能盲目變形． 2．利用基本不等式證明不等式，關(guān)鍵是所證不等式必須是有“和”式或“積”式，通過將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，達(dá)到放縮的效果，必要時(shí)，也需要運(yùn)用“拆、拼、湊”的技巧，同時(shí)應(yīng)注意多次運(yùn)用基本不等式時(shí)等號(hào)能否取到． 考向三 [114]　基本不等式的實(shí)際

11、應(yīng)用 　(xx·濰坊模擬)如圖6－4－1，某廣場(chǎng)要?jiǎng)澏ㄒ痪匦螀^(qū)域ABCD，并在該區(qū)域內(nèi)開辟出三塊形狀大小相同的矩形綠化區(qū)，這三塊綠化區(qū)四周和綠化區(qū)之間設(shè)有1米寬的走道。已知三塊綠化區(qū)的總面積為800平方米，求該矩形區(qū)域ABCD占地面積的最小值． 圖6－4－1 【思路點(diǎn)撥】　設(shè)出小矩形的長(zhǎng)和寬，建立矩形區(qū)域ABCD的面積S的表達(dá)式，借助不等式求最值． 【嘗試解答】　設(shè)綠化區(qū)域小矩形的一邊長(zhǎng)為x，另一邊長(zhǎng)為y，則3xy＝800， 所以y＝，所以矩形區(qū)域ABCD的面積 S＝(3x＋4)(y＋2)＝(3x＋4) ＝800＋6x＋＋8≥808＋2＝968 當(dāng)且僅當(dāng)6x＝，即x＝時(shí)取“

12、＝”， ∴矩形區(qū)域ABCD的面積的最小值為968平方米． 規(guī)律方法3　解實(shí)際應(yīng)用題要注意以下幾點(diǎn)： (1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)； (2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值； (3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　某廠家擬在xx年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元(m≥0)滿足x＝3－(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件．已知xx年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16

13、萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用)． (1)將xx年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)； (2)該廠家xx年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？ 【解】 　(1)由題意知，當(dāng)m＝0時(shí)，x＝1(萬件)， ∴1＝3－k，即k＝2.∴x＝3－. 又∵每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×(萬元)． ∴xx年的利潤(rùn) y＝x－(8＋16x＋m) ＝4＋8x－m＝4＋8－m ＝29－(m≥0)． (2)∵m≥0時(shí)，(m＋1)＋≥2＝8. ∴y≤29－8＝21，當(dāng)且僅當(dāng)＝m＋1，即當(dāng)m＝3(萬

14、元)時(shí)，ymax＝21(萬元)． 所以該廠家xx年的促銷費(fèi)用投入為3萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，最大為21萬元． 思想方法之十六　消元思想在基本不等式求最值中的巧用 所謂消元思想就是將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的思想方法．由于應(yīng)用基本不等式“≤”求最值時(shí)需滿足三個(gè)條件(一正、二定、三相等)，且只限于“二元”范疇之內(nèi)，故對(duì)于多元求最值問題可采用消元思想，轉(zhuǎn)化為“二元”問題． ————　[1個(gè)示范例]　————　[1個(gè)對(duì)點(diǎn)練]　————— 　(xx·山東高考)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，＋－的最大值為(　　) A．0　　　　B．1　　　　C.　　　　D．3 【解析】　含三個(gè)參數(shù)x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值． z＝x2－3xy＋4y2(x＞0，y＞0，z＞0)， ∴＝＝≤＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴＋－＝＋－＝－＋＝－2＋1，∴當(dāng)y＝1時(shí)，＋－的最大值為1. 設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足x－2y＋3z＝0，則的最小值是________． 【解析】　由x－2y＋3z＝0可得y＝ 所以＝ ＝＋＋ ≥2＋ ＝＋＝3 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3z時(shí)取“＝”． 【答案】　3