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1、初中數學競賽輔導 第三十四講梯形教案2 北師大版與平行四邊形一樣，梯形也是一種特殊的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重要地位，本講就來研究它們的有關性質的應用例1 如圖2-43所示在直角三角形ABC中，E是斜邊AB上的中點，D是AC的中點，DFEC交BC延長線于F求證：四邊形EBFD是等腰梯形分析 因為E，D是三角形ABC邊AB，AC的中點，所以EDBF此外，還要證明(1)EB=DF；(2)EB不平行于DF證 因為E，D是ABC的邊AB，AC的中點，所以EDBF又已知DFEC，所以ECFD是平行四邊形，所以EC=DF 又E是RtABC斜邊AB上的中點，所以EC=EB 由，EB=DF下面證明E
2、B與DF不平行若EBDF，由于ECDF，所以有ECEB，這與EC與EB交于E矛盾，所以EBDF根據定義，EBFD是等腰梯形例2 如圖2-44所示ABCD是梯形， ADBC， ADBC，AB=AC且ABAC，BD=BC，AC，BD交于O.求BCD的度數分析 由于BCD是等腰三角形，若能確定頂點CBD的度數，則底角BCD可求由等腰RtABC可求知斜邊BC(即BD)的長又梯形的高，即RtABC斜邊上的中線也可求出通過添輔助線可構造直角三角形，求出BCD的度數解 過D作DEEC于E，則DE的長度即為等腰RtABC斜邊上的高AF設AB=a，由于ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知AF2+BF2=AB2
3、，即又BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，由于BC=DB，所以，在RtBED中，從而EBD=30(直角三角形中30角的對邊等于斜邊一半定理的逆定理)在CBD中，例3 如圖2-45所示直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，ADC=135，CD的垂直平分線交BC于N，交AB延長線于F，垂足為M求證：AD=BF分析 MF是DC的垂直平分線，所以ND=NC由ADBC及ADC=135知，C=45，從而NDC=45，DNC=90，所以ABND是矩形，進而推知BFN是等腰直角三角形，從而AD=BN=BF證 連接DN因為N是線段DC的垂直平分線MF上的一點，所以ND=NC由已知，ADBC及ADC=13
4、5知C=45，從而NDC=45在NDC中，DNC=90(=DNB)，所以ABND是矩形，所以AFND，F=DNM=45BNF是一個含有銳角45的直角三角形，所以BN=BF又AD=BN，所以 AD=BF例4 如圖2-46所示直角梯形ABCD中，C=90，ADBC，AD+BC=AB，E是CD的中點若AD=2，BC=8，求ABE的面積分析 由于AB=AD+BC，即一腰AB的長等于兩底長之和，它啟發(fā)我們利用梯形的中位線性質(這個性質在教材中是梯形的重要性質，我們將在下一講中深入研究它，這里只引用它的結論)取腰AB的中點F，(或BC)過A引AGBC于G，交EF于H，則AH，GH分別是AEF與BEF的高，
5、所以AG2=AB2-BG2=(8+2)2-(8-2)2=100-36=64，所以AG=8這樣SABE(=SAEF+SBEF)可求解 取AB中點F，連接EF由梯形中位線性質知EFAD(或BC)，過A作AGBC于G，交EF于H由平行線等分線段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF在RtABG中，由勾股定理知AG2=AB2-BG2=(AD+BC)2-(BC-AD)2 =102-62=82，所以 AG=8，從而 AH=GH=4，所以SABE=SAEF+SBEF例5 如圖2-47所示四邊形ABCF中，ABDF，1=2，AC=DF，FCAD(1)求證：ADCF是等腰梯形；(2)若ADC的周長為16厘米
6、(cm)，AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四邊形ADCF的周長分析 欲證ADCF是等腰梯形歸結為證明ADCF，AF=DC，不要忘了還需證明AF不平行于DC利用已知相等的要素，應從全等三角形下手計算等腰梯形的周長，顯然要注意利用AC-FC=3厘米的條件，才能將ADC的周長過渡到梯形的周長解 (1)因為ABDF，所以1=3結合已知1=2，所以2=3，所以EA=ED又 AC=DF，所以 EC=EF所以EAD及ECF均是等腰三角形，且頂角為對頂角，由三角形內角和定理知3=4，從而ADCF不難證明ACDDFA(SAS)，所以 AF=DC若AFDC，則ADCF是平行四邊形，則AD=CF與FCAD矛盾，
7、所以AF不平行于DC綜上所述，ADCF是等腰梯形(2)四邊形ADCF的周長=AD+DC+CF+AF 由于ADC的周長=AD+DC+AC=16(厘米)， AF=3(厘米)， FC=AC-3， 將，代入四邊形ADCF的周長=AD+DC+(AC-3)+AF=(AD+DC+AC)-3+3=16(厘米)例6 如圖2-48所示等腰梯形ABCD中，ABCD，對角線AC，BD所成的角AOB=60，P，Q，R分別是OA，BC，OD的中點求證：PQR是等邊三角形分析 首先從P，R分別是OA，OD中點知，欲證等邊三角形PQR的邊長應等于等腰梯形腰長之半，為此，只需證明QR，QP等于腰長之半即可注意到OAB與OCD均
8、是等邊三角形，P，R分別是它們邊上的中點，因此，BPOA，CROD在RtBPC與RtCRB中，PQ，RQ分別是它們斜邊BC(即等腰梯形的腰)的中線，因此，PQ=RQ=腰BC之半問題獲解證 因為四邊形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性質知，它的同一底上的兩個角及對角線均相等進而推知，OAB=OBA及OCD=ODC又已知，AC與BD成60角，所以，ODC與OAB均為正三角形連接BP，CR，則BPOA，CROD在RtBPC與RtCRB中，PQ，RQ分別是它們的斜邊BC上的中線，所以又RP是OAD的中位線，所以因為 AD=BC， 由，得PQ=QR=RP，即PQR是正三角形說明 本題證明引人注目之處有二
9、：(1)充分利用特殊圖形中特殊點所帶來的性質，如正三角形OAB邊OA上的中點P，可帶來BPOA的性質，進而又引出直角三角形斜邊中線PQ等于斜邊BC之半的性質(2)等腰梯形的“等腰”就如一座橋梁“接通”了“兩岸”的髀使PQR的三邊相等 練習十三1如圖2-49所示梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC，BDCD求A的度數2如圖2-50所示梯形ABCD中，ADBC，AEDC交BC于E，ABE的周長=13厘米，AD=4厘米求梯形的周長3如圖2-51所示梯形ABCD中，ABCD，A+B=90，AB=p，CD=q，E，F分別為AB，CD的中點求EF4如圖2-52所示梯形ABCD中，ADBC，M是腰DC的中點，MNAB于N，且MN=b，AB=a求梯形ABCD的面積5已知：梯形ABCD中，DCAB，A=36，B=54，M，N分別是DC，AB的中點求證：
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