2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第九章 9-2古典概型《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第九章 9-2古典概型教案1基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是互斥的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；(2)每個基本事件的發(fā)生都是等可能的3如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包括的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P(A).4古典概型的概率公式P(A).【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀

2、察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事件()(3)從市場上出售的標(biāo)準(zhǔn)為5005 g的袋裝食鹽中任取一袋，測其重量，屬于古典概型()(4)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為.()(5)從1,2,3,4,5中任取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是0.2.()(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A，且集合A中的元素個數(shù)為n，所有的基本事件構(gòu)成集合I，且集合I中元素個數(shù)為m，則事件A的概率為.()1

3、一枚硬幣連擲2次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為_答案解析一枚硬幣連擲2次，共有4種不同的結(jié)果：正正，正反，反正，反反，所以一次出現(xiàn)正面的概率為.2袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球，從中任取一球抽到白球的概率為_答案解析從15個球中任取一球有15種抽法，抽到白球有6種，所以抽到白球的概率P.3(xx重慶)若甲、乙、丙三人隨機地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為_答案解析甲、乙、丙三人隨機地站成一排，共有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6種排法，其中甲、乙兩人相鄰而站共甲、乙、丙，乙、甲、丙，丙、甲、乙，丙、乙、甲4種排法，故P.4從1,2,3,4,5,

4、6這6個數(shù)字中，任取2個數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的概率是_答案解析從6個數(shù)中任取2個數(shù)的可能情況有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種，其中和為偶數(shù)的情況有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6種，所以所求的概率是.題型一基本事件與古典概型的判斷例1袋中有大小相同的5個白球，3個黑球和3個紅球，每球有一個區(qū)別于其他球的編號，從中摸出一個球(1)有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作一個基本事件建立概率模型，

5、該模型是不是古典概型？(2)若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？思維點撥古典概型的判斷依據(jù)是“有限性”和“等可能性”解(1)由于共有11個球，且每個球有不同的編號，故共有11種不同的摸法又因為所有球大小相同，因此每個球被摸中的可能性相等，故以球的編號為基本事件的概率模型為古典概型(2)由于11個球共有3種顏色，因此共有3個基本事件，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”，又因為所有球大小相同，所以一次摸球每個球被摸中的可能性均為，而白球有5個，故一次摸球摸到白球的可能性為，同理可知摸到黑球、紅球的可能性均為

6、，顯然這三個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等，所以以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型思維升華一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型下列試驗中，是古典概型的個數(shù)為_向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；向正方形ABCD內(nèi)，任意拋擲一點P，點P恰與點C重合；從1,2,3,4四個數(shù)中，任取兩個數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率；在線段0,5上任取一點，求此點小于2的概率答案1解析中，硬幣質(zhì)地不均勻，不是等可能事件，所以不是古典概型的基本事件都不是有限個，不是古典概型符合古典概型的特點，是古典概型問題題型二古

7、典概型的概率例2(xx山東)某小組共有A，B，C，D，E五位同學(xué)，他們的身高(單位：米)及體重指標(biāo)(單位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82體重指標(biāo)19.225.118.523.320.9(1)從該小組身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在18.5,23.9)中的概率思維點撥列舉出基本事件解(1)從身高低于1.80的4名同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共

8、6個設(shè)“選到的2人身高都在1.78以下”為事件M，其包括事件有3個，故P(M).(2)從小組5名同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10個設(shè)“選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在18.5,23.9)”為事件N，且事件N包括事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)共3個則P(N).思維升華求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活

9、選擇(xx天津)某校夏令營有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級情況如下表：一年級二年級三年級男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果；(2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率解(1)從6名同學(xué)中隨機選出2人參加知識競賽的所有可能結(jié)果為A，B，A，C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X，B，Y，B，Z，C，X，C，Y，C，Z，X，Y，X，Z，Y，Z，共15種(2)選出的2人來自在不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為A，Y，A，

10、Z，B，X，B，Z，C，X，C，Y，共6種因此，事件M發(fā)生的概率P(M).題型三古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用例3(xx陜西)有7位歌手(1至7號)參加一場歌唱比賽，由500名大眾評委現(xiàn)場投票決定歌手名次，根據(jù)年齡將大眾評委分為五組，各組的人數(shù)如下：組別ABCDE人數(shù)5010015015050(1)為了調(diào)查評委對7位歌手的支持情況，現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委，其中從B組中抽取了6人請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表.組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6(2)在(1)中，若A，B兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到的評委中分別任選1人，求這2人都支持1號歌手

11、的概率思維點撥各組抽取人數(shù)的比率是相等的，因此，由B組抽取的比率可求得其它各組抽取的人數(shù)解(1)由題設(shè)知，分層抽樣的抽取比例為6%，所以各組抽取的人數(shù)如下表：組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)36993(2)記從A組抽到的3個評委為a1，a2，a3，其中a1，a2支持1號歌手；從B組抽到的6個評委為b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1號歌手從a1，a2，a3和b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取1人的所有結(jié)果為由以上樹狀圖知所有結(jié)果共18種，其中2人都支持1號歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4種，故所求概率P.思維升華有關(guān)古典概型與統(tǒng)

12、計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型，已成為高考考查的熱點概率與統(tǒng)計結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決(xx湖南)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機抽取這兩個小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：(a，b)，(a，)，(a，b)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b)其中a，分別表示甲組研發(fā)成功和失??；b，分別表示乙組研發(fā)成功和失敗(1)若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記1分，否則記0分試計算甲、乙

13、兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平；(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計恰有一組研發(fā)成功的概率解(1)甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均數(shù)為甲；方差為s.乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均數(shù)為乙；方差為s.因為甲乙，ss，所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組(2)記E恰有一組研發(fā)成功在所抽得的15個結(jié)果中，恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是(a，)，(，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(a，)，(，b)，共7個故事件E發(fā)生的頻率為.將頻率視為概率，即得所求概

14、率為P(E).六審細(xì)節(jié)更完善典例：(14分)一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求nm2的概率 (1)基本事件為取兩個球(兩球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取兩個球的所有結(jié)果列舉出來1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4兩球編號之和不大于4(注意：和不大于4，應(yīng)為小于4或等于4)1,2，1,3利用古典概型概率公式P(2)兩球分兩次取，且有放回(兩球的編號記錄是有次序的，用坐標(biāo)的形式表

15、示)基本事件的總數(shù)可用列舉法表示(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(注意細(xì)節(jié)，m是第一個球的編號，n是第2個球的編號)nm2的情況較多，計算復(fù)雜(將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題)計算nm2的概率nm2的所有情況為(1,3)，(1,4)，(2,4)P1(注意細(xì)節(jié)，P1f(3,16)是nm2的概率，需轉(zhuǎn)化為其,對立事件的概率)nm2的概率為1P1.規(guī)范解答解(1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,

16、4，3,4，共6個2分從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有1,2，1,3兩個因此所求事件的概率P.6分(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個8分又滿足條件nm2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，所以滿足條件nm2的事件的概率為P1.12分故滿足條件nm2的事件的概率為1P11.14分溫馨提醒(1)本

17、題在審題時，要特別注意細(xì)節(jié)，使解題過程更加完善如第(1)問，注意兩球一起取，實質(zhì)上是不分先后，再如兩球編號之和不大于4等；第(2)問，有次序(2)在列舉基本事件空間時，可以利用列舉、畫樹狀圖等方法，以防遺漏同時要注意細(xì)節(jié)，如用列舉法，第(1)問應(yīng)寫成1,2的形式，表示無序，第(2)問應(yīng)寫成(1,2)的形式，表示有序(3)本題解答時，存在格式不規(guī)范，思維不流暢的嚴(yán)重問題如在解答時，缺少必要的文字說明，沒有按要求列出基本事件在第(2)問中，由于不能將事件n90的概率是_答案解析(m，n)(1,1)mnn.基本事件總共有6636(個)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4

18、,2)，(4,3)，(5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共1234515(個)P.6若A、B為互斥事件，P(A)0.4，P(AB)0.7，則P(B)_.答案0.3解析因為A、B為互斥事件，所以P(AB)P(A)P(B)，故P(B)P(AB)P(A)0.70.40.3.7(xx江蘇)從1,2,3,6這4個數(shù)中一次隨機地取2個數(shù)，則所取2個數(shù)的乘積為6的概率是_答案解析取兩個數(shù)的所有情況有：1,2，1,3，1,6，2,3，2,6，3,6，共6種情況乘積為6的情況有：1,6，2,3，共2種情況所求事件的概率為.8用兩種不同的顏色給圖中三個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，則相鄰兩個矩形

19、涂不同顏色的概率是_答案解析由于只有兩種顏色，不妨將其設(shè)為1和2，若只用一種顏色有111；222.若用兩種顏色有122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有8種又相鄰顏色各不相同的有2種，故所求概率為.9設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3)(1)求使得事件“ab”發(fā)生的概率；(2)求使得事件“|a|b|”發(fā)生的概率解(1)由題意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的取法共36種ab，即m3n0，即m3n，共有2種：(3,1)，(6,2)，所以事件ab的概率為.(2)|a|b|，即m2n210，共

20、有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6種，其概率為.10(xx天津)某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標(biāo)分別為x，y，z，用綜合指標(biāo)Sxyz評價該產(chǎn)品的等級若S4，則該產(chǎn)品為一等品現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下：產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5質(zhì)量指標(biāo)(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)產(chǎn)品編號A6A7A8A9A10質(zhì)量指標(biāo)(x，y，z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率；(2)在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)

21、品用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果；設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”，求事件B發(fā)生的概率解(1)計算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S，如下表：產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為0.6，從而可估計該批產(chǎn)品的一等品率為0.6.(2)在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為A1，A2，A1，A4，A1，A5，A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，A5，A2，A7，A2，A9，A4，A5，A4，A7，A4，A9，A5，A7，A5，A9，A7，A9，共15種在

22、該樣本的一等品中，綜合指標(biāo)S等于4的產(chǎn)品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為A1，A2，A1，A5，A1，A7，A2，A5，A2，A7，A5，A7，共6種所以P(B).B組專項能力提升(時間：25分鐘)1從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率_.答案解析如圖所示，從正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選4個頂點，可以看作隨機選2個頂點，剩下的4個頂點構(gòu)成四邊形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15種若要構(gòu)成矩形，只要選相對頂點即可，有A、D

23、，B、E，C、F，共3種，故其概率為.2(xx湖北改編)隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點數(shù)之和不超過5的概率記為p1，點數(shù)之和大于5的概率記為p2，點數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3，則p1，p2，p3的大小關(guān)系為_答案p1p3p2解析隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所有可能的結(jié)果共有36種事件“向上的點數(shù)之和不超過5”包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共10種，其概率p1.事件“向上的點數(shù)之和大于5”與“向上的點數(shù)之和不超過5”是對立事件，所以“向上的點數(shù)之和大于5”的概率p2.因為朝上的點數(shù)之和不

24、是奇數(shù)就是偶數(shù)，所以“點數(shù)之和為偶數(shù)”的概率p3.故p1p3p2.3xx年3月8日發(fā)生的馬來西亞航空公司MH370失聯(lián)事件，引起了全世界人們長達(dá)數(shù)周的密切關(guān)注為了消除人們對航空安全的擔(dān)憂，某航空公司決定對該公司所屬的波音777200，波音777300，空客A350，空客A380四架客機進(jìn)行集中安全大檢查若檢測人員分兩周對客機進(jìn)行全方位的檢測，每周檢測兩架客機，則波音777200，波音777300兩架客機在同一周被檢測的概率為_答案解析設(shè)波音777200，波音777300，空客A350，空客A380四架客機分別記為A，B，C，D，檢測人員分兩周對客機進(jìn)行全方位的檢測，每周檢測兩架客機基本事件是：

25、(A，B；C，D)，(A，C；B，D)，(A，D；B，C)，(B，C；A，D)，(B，D；A，C)，(C，D；A，B)，共6種，其中波音777200，波音777300兩架客機在同一周被檢測即(A，B；C，D)，(C，D；A，B)，共2種，所以波音777200，波音777300兩架客機在同一周被檢測的概率為P.4(xx課標(biāo)全國)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為_答案解析所有的基本事件共有A6個，2本數(shù)學(xué)相鄰的排法有AA4種故2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為.5一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：轎車A

26、轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛(1)求z的值；(2)按型號用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；(3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：94,8.6,9.2,9.6,8.7，9.3，9.0,8.2，把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率解(1)設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得，所以n2 000，則z2 0001003001504

27、50600400.(2)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意得，則a2.因此在抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個故P(E)，即所求概率為.(3)樣本平均數(shù)(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9.設(shè)D表示事件“從樣本中任取一個數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”，則基本事件空間中有8個基本事件，事件D包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7，9.3，9.0，共6個，所以P(D)，即所求概率為.