2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（奧賽班）

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1、2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（奧賽班）本試卷分第I卷和第II卷兩部分.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請把答案涂在答題卡的相應(yīng)位置.1.若那么下列命題中正確的是( ).A. B. C. D.2.關(guān)于的不等式的解集是,則等于( ). A.24 B.6 C.14 D. 3.當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則的取值范圍是( ). A. B. C. D.4.若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值是( ).A.13 B.15 C.20 D.285.命題是的圖象的一條對稱軸,命題是的最小正周期,下

2、列命題:其中真命題的有( ).A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)6.若拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離,則點(diǎn)的坐標(biāo)為( ).A. B. C. D. 7.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),作垂直于實(shí)軸的弦,是另一個(gè)焦點(diǎn),若,則雙曲線的離心率等于( ).A. B. C. D. 8.若直線與橢圓相交于兩點(diǎn),當(dāng)變化時(shí), 的最大值為( ).A. 2 B. C. D. 9.若存在實(shí)數(shù)使成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ).A. B. C. D. 10.已知正數(shù)滿足,則的最小值為( ).A.27 B.18 C.36 D.5411.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn), 是橢圓上任一點(diǎn),過一焦點(diǎn)引的外角平分線的垂線,垂足為,則的軌

3、跡為( ).A橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓12.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足,則當(dāng)取得最大值時(shí), 的最大值為( ).A.0 B.1 C. D.3第II卷(非選擇題,共90分)二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.不等式的解集為 . 14.已知函數(shù),在時(shí)取最小值，則 .15.已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到此拋物線的準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為 .16.已知過點(diǎn)的直線L與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線L的斜率k= .三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本題滿分11分)在直角坐標(biāo)系中，直線L的參數(shù)方程為在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系長度

4、單位相同，且以O(shè)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為.(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓C與直線L交于點(diǎn)A，B,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求的值. 18. (本題滿分12分)正方形所在平面與四邊形所在平面互相垂直，為等腰直角三角形,（1）求證：;（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，在直線上是否存在一點(diǎn),使得？若存在，請指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由；（3）求二面角的余弦值.19.(本題滿分12分)設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,且,求點(diǎn)的軌跡方程.20.(本題滿分12分)已知,對于值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù),使不等式恒成立,求的取值范圍.21.

5、(本題滿分12分)設(shè)是圓上的動點(diǎn),點(diǎn)是在軸上的投影, 為上一點(diǎn),且.(1)當(dāng)在圓上運(yùn)動時(shí),求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被曲線所截得的線段的長度. 22.(本題滿分12分) 是拋物線上的一點(diǎn),動弦分別交軸于兩點(diǎn),且.(1)若為定點(diǎn),證明直線的斜率為定值;(2)若為動點(diǎn),且,求的重心的軌跡方程.參考答案一、選擇題DACAC.BCCDB,DB二、填空題三、解答題17.解：（1）由題意知1，b為方程的兩根即（2）不等式等價(jià)于17（奧賽）解（1）（2）將L的參數(shù)方程代入圓C得化簡得由t的幾何意義得=18（奧賽）提示建立空間直角坐標(biāo)系（2）M為線段AE的中點(diǎn)（3）18.解：因此所求的充要條件是，一個(gè)必要而不充分條件是19.解由已知，由得20.解：對于值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù),不等式恒成立,即21.解：22解：設(shè)（2）由（1）得，