2019屆高考數(shù)學二輪復習 第二部分 突破熱點 分層教學 專項二 專題七 1 第1講 坐標系與參數(shù)方程學案

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1、第1講　坐標系與參數(shù)方程 年份 卷別 考查內(nèi)容及考題位置 命題分析 2018 卷Ⅰ 極坐標及其應用·T22 1.坐標系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標方程；二是參數(shù)方程、極坐標方程與曲線的綜合應用． 2．全國課標卷對此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時應注意轉(zhuǎn)化思想的應用. 卷Ⅱ 參數(shù)方程及其應用·T22 卷Ⅲ 參數(shù)方程及其應用·T22 2017 卷Ⅰ 參數(shù)方程與普通方程的互化、點到直線的距離·T22 卷Ⅱ 直角坐標與極坐標的互化、動點軌跡方程的求法、三角形面積的最值問題·T22

2、 卷Ⅲ 直線的參數(shù)方程與極坐標方程、動點軌跡方程的求法·T22 2016 卷Ⅰ 參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標方程與直角坐標方程的互化及應用·T23 卷Ⅱ 極坐標方程與直角坐標方程的互化及應用、直線與圓的位置關系·T23 卷Ⅲ 參數(shù)方程、極坐標方程及點到直線的距離、三角函數(shù)的最值·T23 　　　極坐標方程及其應用(綜合型) 圓的極坐標方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r，則圓的方程為：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾個特殊位置的圓的極坐標方程： (1)當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r； (2)當圓心位于M(a，0)，半徑為a：ρ＝

3、2acos θ； (3)當圓心位于M，半徑為a：ρ＝2asin θ. 直線的極坐標方程 若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸與此直線所成的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個特殊位置的直線的極坐標方程： (1)直線過極點：θ＝θ0和θ＝π＋θ0； (2)直線過點M(a，0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； (3)直線過點M且平行于極軸：ρsin θ＝b. [典型例題] (2018·南昌模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系． (1)求C的極坐標方程； (2)若

4、直線l1，l2的極坐標方程分別為θ＝(ρ∈R)，θ＝(ρ∈R)，設直線l1，l2與曲線C的交點為O，M，N，求△OMN的面積． 【解】　(1)由參數(shù)方程(θ為參數(shù))，得普通方程為x2＋(y－2)2＝4，所以C的極坐標方程為ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ. (2)不妨設直線l1：θ＝(ρ∈R)與曲線C的交點為O，M，則ρM＝|OM|＝4sin＝2. 又直線l2：θ＝(ρ∈R)與曲線C的交點為O，N，則ρN＝|ON|＝4sin＝2.又∠MON＝，所以S△OMN＝|OM||ON|＝×2×2＝2. (1)極坐標方程與普通方程互化的技巧 ①巧用極坐標

5、方程兩邊同乘以ρ或同時平方技巧，將極坐標方程構(gòu)造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形成，然后利用公式代入化簡得到普通方程． ②巧借兩角和差公式，轉(zhuǎn)化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的結(jié)構(gòu)形式，進而利用互化公式得到普通方程． ③將直角坐標方程中的x換成ρcos θ，將y換成ρsin θ，即可得到其極坐標方程． (2)求解與極坐標有關問題的主要方法 ①直接利用極坐標系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想配合使用． ②轉(zhuǎn)化為直角坐標系，用直角坐標求解．若結(jié)果要求的是極坐標，還應將直角坐標化為極坐標． [對點訓練] 1．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C

6、的極坐標方程為ρcos＝1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點． (1)寫出曲線C的直角坐標方程，并求M，N的極坐極； (2)設M，N的中點為P，求直線OP的極坐標方程． 解：(1)因為ρcos＝1， 所以ρcos θ·cos＋ρsin θ·sin＝1. 又所以x＋y＝1， 即曲線C的直角坐標方程為x＋y－2＝0，令y＝0，則x＝2；令x＝0，則y＝. 所以M(2，0)，N. 所以M的極坐標為(2，0)，N的極坐標為. (2)因為M，N連線的中點P的直角坐標為，所以P的極角為θ＝， 所以直線OP的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)． 2．(2018·高考全國卷Ⅰ)在直角坐標系x

7、Oy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程． 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1，0)，半徑為2的圓． 由題設知，C1是過點B(0，2)且關于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共

8、點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點． 當l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0.經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點． 當l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝.經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與 C2沒有公共點；當k＝時，l2與C2沒有公共點．綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 　　　參數(shù)方程及其應用(綜合型) 直線和圓錐曲線的參數(shù)方程和普通方程 點的 軌跡 普通方程 參數(shù)方程 直線 y－y0＝tan

9、 α(x－x0) (t為參數(shù)) 圓 (x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 (θ為參數(shù)) 橢圓 ＋＝1(a>b>0) (φ為參數(shù)) 雙 曲 線 －＝1(a>0，b>0) (φ為參數(shù)) 拋 物 線 y2＝2px (t為參數(shù)) [典型例題] (2018·武漢調(diào)研)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于A，B兩點． (1)求|AB|的值； (2)若F為曲線C的左焦點，求·的值． 【解】　(1)由(θ為參數(shù))，消去參數(shù)θ得＋＝1. 由消去參數(shù)t得y＝2x－4. 將y＝2

10、x－4代入x2＋4y2＝16中，得17x2－64x＋176＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝，所以|AB|的值為. (2)由(1)得，F(xiàn)(－2，0)，則 ·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2) ＝(x1＋2)(x2＋2)＋(2x1－4)(2x2－4) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋12＋4[x1x2－2(x1＋x2)＋12] ＝5x1x2－6(x1＋x2)＋60 ＝5×－6×＋60 ＝44， 所以·的值為44. (1)有關參數(shù)方程問題的2個關鍵點 ①參數(shù)方程化為普通方程的關鍵是消參數(shù)，要根據(jù)參數(shù)的特點進行轉(zhuǎn)化．

11、 ②利用參數(shù)方程解決問題，關鍵是選準參數(shù)，理解參數(shù)的幾何意義． (2)利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問題 經(jīng)過點P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．若A，B為直線l上兩點，其對應的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點為M，點M所對應的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到： ①t0＝. ②|PM|＝|t0|＝. ③|AB|＝|t2－t1|. ④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.　 [對點訓練] 1．(2018·高考全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求C和l的直角坐標方程

12、； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1，2)，求l的斜率． 解：(1)曲線C的直角坐標方程為＋＝1. 當cos α≠0時，l的直角坐標方程為y＝tan α·x＋2－tan α， 當cos α＝0時，l的直角坐標方程為x＝1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.?、? 因為曲線C截直線l所得線段的中點(1，2)在C內(nèi)，所以①有兩個解，設為t1，t2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－， 故2cos α＋sin α＝0， 于是直線l的斜率k＝tan α＝－2. 2．已

13、知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值． 解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為d＝|4cos θ＋3sin θ－6|. 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tan α＝. 當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為.當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. 　　　極坐標方程與參

14、數(shù)方程的綜合問題(綜合型) [典型例題] (2018·鄭州第二次質(zhì)量檢測)在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，點A的極坐標為，直線l的極坐標方程為ρcos＝a，且l過點A，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (1)求曲線C1上的點到直線l的距離的最大值； (2)過點B(－1，1)且與直線l平行的直線l1與曲線C1交于M，N兩點，求|BM|·|BN|的值． 【解】　(1)由直線l過點A可得cos＝a，故a＝，則易得直線l的直角坐標方程為x＋y－2＝0. 根據(jù)點到直線的距離公式可得曲線C1上的點到直線l的距離d＝＝，其中sin φ＝，cos φ＝

15、， 所以dmax＝＝. 即曲線C1上的點到直線l的距離的最大值為. (2)由(1)知直線l的傾斜角為， 則直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 易知曲線C1的普通方程為＋＝1. 把直線l1的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程可得t2＋7t－5＝0，設M，N兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，所以t1t2＝－，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義可知|BM|·|BN|＝|t1t2|＝. 解決極坐標方程與參數(shù)方程綜合問題的方法 (1)對于參數(shù)方程或極坐標方程應用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標的普通方程，這樣思路可能更加清晰． (2)對于一些運算比較復雜的問題，用參數(shù)方程計算會比較簡捷． (

16、3)利用極坐標方程解決問題時，要注意題目所給的限制條件及隱含條件．　 [對點訓練] (2018·貴陽模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C：(α為參數(shù))，在以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρcos＝－1. (1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程； (2)過點M(－1，0)且與直線l平行的直線l1交曲線C于A，B兩點，求點M到A，B兩點的距離之和． 解：(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1， 由ρcos＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直線l的直角坐標方程為x－y＋2＝0. (2)直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，將其代入

17、＋y2＝1中，化簡得：2t2－t－2＝0， 設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝，t1t2＝－1， 所以|MA|＋|MB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝＝. 1．(2018·益陽、湘潭調(diào)研)在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos＝.直線l與曲線C交于A，B兩點． (1)求直線l的直角坐標方程； (2)設點P(1，0)，求|PA|·|PB|的值． 解：(1)由ρcos＝得ρcos θcos －ρsin θsin ＝， 又ρcos θ＝x，ρsin

18、 θ＝y(tǒng)， 所以直線l的直角坐標方程為x－y－1＝0. (2)由(α為參數(shù))得曲線C的普通方程為x2＋4y2＝4， 因為P(1，0)在直線l上，故可設直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 將其代入x2＋4y2＝4得7t2＋4t－12＝0， 所以t1·t2＝－， 故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝. 2．(2018·合肥第一次質(zhì)量檢測)在直角坐標系xOy中，曲線C1：(θ為參數(shù))，在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ－2cos θ＝0. (1)求曲線C2的直角坐標方程； (2)若曲線C1上有一動點M，曲線C2上有一動點N，求|MN|的最

19、小值． 解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0. 因為ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，所以x2＋y2－2x＝0， 即曲線C2的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)由(1)可知，圓C2的圓心為C2(1，0)，半徑為1. 設曲線C1的動點M(3cos θ，2sin θ)， 由動點N在圓C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1. 因為|MC2|＝＝， 所以當cos θ＝時，|MC2|min＝， 所以|MN|min＝|MC2|min－1＝－1. 3．(2018·高考全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(0，－

20、)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程． 解：(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1. 當α＝時，l與⊙O交于兩點． 當α≠時，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點當且僅當＜1， 解得k＜－1或k＞1， 即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，＜α＜)． 設A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡

21、的參數(shù)方程是 (α為參數(shù)，＜α＜)． 4．(2018·昆明調(diào)研)在直角坐標系xOy中，已知傾斜角為α的直線l過點A(2，1)．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C的極坐標方程為ρ＝2sin θ，直線l與曲線C分別交于P，Q兩點． (1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程； (2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直線l的斜率k. 解：(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝2y. (2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0， 由Δ＝(4cos α)2－4×3>0，得cos2

22、α>， 由根與系數(shù)的關系， 得t1＋t2＝－4cos α，t1·t2＝3， 由參數(shù)的幾何意義知，|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|， 由題意知，(t1－t2)2＝t1·t2， 則(t1＋t2)2＝5t1·t2， 得(－4cos α)2＝5×3， 解得cos2α＝，滿足cos2α>， 所以sin2α＝，tan2α＝， 所以直線l的斜率k＝tan α＝±. 5．(一題多解)(2018·鄭州第一次質(zhì)量預測)在平面直角坐標系xOy中，直線l過點(1，0)，傾斜角為α，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρ＝. (1)

23、寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程； (2)若α＝，設直線l與曲線C交于A，B兩點，求△AOB的面積． 解：(1)由題知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 因為ρ＝， 所以ρsin2θ＝8cos θ， 所以ρ2sin2θ＝8ρcos θ，即y2＝8x. (2)法一：當α＝時，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 代入y2＝8x可得t2－8t－16＝0， 設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝8， t1·t2＝－16， 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝8. 又點O到直線AB的距離d＝1×sin ＝， 所以S△AOB＝|AB|×d＝×8×＝2. 法二：當

24、α＝時，直線l的方程為y＝x－1， 設M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得y2＝8(y＋1)，即y2－8y－8＝0， 由根與系數(shù)的關系得 S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×＝×＝×4＝2. 6．(2018·陜西教學質(zhì)量檢測(一))在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為(t>0，α為參數(shù))．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin＝3. (1)當t＝1時，求曲線C上的點到直線l的距離的最大值； (2)若曲線C上的所有點都在直線l的下方，求實數(shù)t的取值范圍． 解：(1)由ρsin＝3得ρsin θ＋ρco

25、s θ＝3， 把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得直線l的直角坐標方程為x＋y－3＝0， 當t＝1時，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 消去參數(shù)得曲線C的普通方程為x2＋y2＝1， 所以曲線C為圓，且圓心為O，則點O到直線l的距離d＝＝， 所以曲線C上的點到直線l的距離的最大值為1＋. (2)因為曲線C上的所有點均在直線l的下方， 所以對任意的α∈R，tcos α＋sin α－3<0恒成立， 即cos(α－φ)<3恒成立， 所以<3， 又t>0，所以0

26、，t>0)．在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l：ρcos＝. (1)若l與曲線C沒有公共點，求t的取值范圍； (2)若曲線C上存在點到l的距離的最大值為＋，求t的值． 解：(1)因為直線l的極坐標方程為ρcos＝，即ρcos θ＋ρsin θ＝2， 所以直線l的直角坐標方程為x＋y＝2. 因為曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，t>0)， 所以曲線C的普通方程為＋y2＝1(t>0)， 由消去x得，(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0， 所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)<0， 又t>0，所以0

27、直角坐標方程為x＋y－2＝0， 故曲線C上的點(tcos α，sin α)到l的距離d＝， 故d的最大值為， 由題設得＝＋. 解得t＝±. 又t>0，所以t＝. 8．(2018·濰坊模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＝sin θ(ρ≥0，0≤θ<π)． (1)寫出曲線C1的極坐標方程，并求C1與C2交點的極坐標； (2)射線θ＝β與曲線C1，C2分別交于點A，B(A，B異于原點)，求的取值范圍． 解：(1)由題意可得曲線C1的普通方程為x2＋(y－2)2＝4，

28、把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sin θ， 聯(lián)立 得4sin θcos2θ＝sin θ，此時0≤θ<π， ①當sin θ＝0時，θ＝0，ρ＝0，得交點的極坐標為(0，0)； ②當sin θ≠0時，cos2θ＝，當cos θ＝時，θ＝，ρ＝2，得交點的極坐標為， 當cos θ＝－時，θ＝，ρ＝2，得交點的極坐標為， 所以C1與C2交點的極坐標為(0，0)，，. (2)將θ＝β代入C1的極坐標方程中，得ρ1＝4sin β， 代入C2的極坐標方程中，得ρ2＝， 所以＝＝4cos2β，因為≤β≤， 所以1≤4cos2β≤3，所以的取值范圍為[1，3]． 14