2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理

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1、 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第一節(jié)坐標(biāo)系 1．平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換 φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)， 稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換． 2．極坐標(biāo)系的概念 (1)極坐標(biāo)系 如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)長度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系． (2)極坐標(biāo) ①極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為ρ. ②極角：以極軸Ox為始

2、邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為θ. ③極坐標(biāo)：有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(ρ，θ)． 　一般不作特殊說明時(shí)，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實(shí)數(shù)． 3．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為： 4．簡單曲線的極坐標(biāo)方程 曲線 極坐標(biāo)方程 圓心為極點(diǎn)，半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ<2π) 圓心為(r,0)，半徑為r的圓 ρ＝2rcos θ 圓心為，半徑為r的圓 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) 過極點(diǎn)，傾斜角為α的直線 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) 過

3、點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線 ρcos θ＝a 過點(diǎn)，與極軸平行的直線 ρsin θ＝a(0<θ<π) 1．若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(3，－)，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為______． 解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(3，－)在第四象限，與原點(diǎn)的距離為2，且OP與x軸所成的角為－，所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為. 答案： 2．圓ρ＝5cos θ－5sin θ的圓心的極坐標(biāo)為________． 解析：將方程 ρ＝5cos θ－5sin θ兩邊都乘以ρ， 得ρ2＝5ρcos θ－5ρsin θ， 化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－5x＋5y＝0. 圓心坐標(biāo)為，化成極坐標(biāo)為. 答案：(答案不唯一) 3．在極

4、坐標(biāo)系中A，B兩點(diǎn)間的距離為________． 解析：法一：(數(shù)形結(jié)合)在極坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)如圖所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6. 法二：∵A，B的直角坐標(biāo)為A(1，－)，B(－2,2)． ∴|AB|＝＝6. 答案：6 4．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sin θ的圓心到直線θ＝(θ∈R)的距離是________． 解析：設(shè)圓心到直線θ＝(θ∈R)的距離為d， 因?yàn)閳A的半徑為2, d＝2·sin＝1. 答案：1 　　　　 [考什么·怎么考] 1．求橢圓＋y2＝1經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程． 解：由得到① 將①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2

5、＝1.因此橢圓＋y2＝1經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2＋y2＝1. 2．求雙曲線C：x2－＝1經(jīng)過φ：變換后所得曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo)． 解：設(shè)曲線C′上任意一點(diǎn)P′(x′，y′)， 由上述可知，將代入x2－＝1， 得－＝1，化簡得－＝1， 即－＝1為曲線C′的方程， 可見仍是雙曲線，則焦點(diǎn)(－5,0)，(5,0)為所求． 3．將圓x2＋y2＝1變換為橢圓＋＝1的一個(gè)伸縮變換公式為φ：求a，b的值． 解：由得代入x2＋y2＝1中得＋＝1，所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2. [怎樣快解·準(zhǔn)解] 伸縮變換公式應(yīng)用時(shí)的2個(gè)注意點(diǎn) (1)曲線的伸縮變換是通過曲線

6、上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)的伸縮變換實(shí)現(xiàn)的，解題時(shí)一定要區(qū)分變換前的點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)與變換后的點(diǎn)P′的坐標(biāo)(x′，y′)，再利用伸縮變換公式建立聯(lián)系． (2)已知變換后的曲線方程f(x，y)＝0，一般都要改寫為方程f(x′，y′)＝0，再利用換元法確定伸縮變換公式． 　　　　 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化是解決極坐標(biāo)問題的基礎(chǔ)，是高考?？純?nèi)容之一，既有單獨(dú)考查，也有與參數(shù)方程等內(nèi)容的綜合考查，題型為解答題，難度適中. [典題領(lǐng)悟] 在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l： ρsin＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)． (1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)θ∈(0，

7、π)時(shí)，求直線l與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)． [思維路徑] (1)由ρ＝cos θ＋sin θ及公式可將等式兩邊同乘以ρ，得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，從而可化為直角坐標(biāo)方程．將ρsin＝利用兩角差的正弦公式展開，可得ρsin θ－ρcos θ＝1，從而可化為直角坐標(biāo)方程． (2)可先求出直線l與圓O的公共點(diǎn)，然后將該公共點(diǎn)化為極坐標(biāo)． 解：(1)圓O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圓O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－x－y＝0， 直線l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 則直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋1＝0. (2)由(1)

8、知圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程， 將兩方程聯(lián)立得解得即圓O與直線l在直角坐標(biāo)系下的公共點(diǎn)為(0,1)， 將(0,1)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為即為所求． [解題師說] 1．極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法 (1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：將公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐標(biāo)方程并化簡即可． (2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：通過變形，構(gòu)造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再應(yīng)用公式進(jìn)行代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形技巧． 2．極角的確定方法 由tan θ確定角θ時(shí)，應(yīng)根據(jù)點(diǎn)P所在象限取最小正角．在這里要注意：當(dāng)x≠0時(shí)，

9、θ角才能由tan θ＝按上述方法確定．當(dāng)x＝0時(shí)，tan θ沒有意義，這時(shí)可分三種情況處理：當(dāng)x＝0，y＝0時(shí)，θ可取任何值；當(dāng)x＝0，y>0時(shí)，可取θ＝；當(dāng)x＝0，y<0時(shí)，可取θ＝. [沖關(guān)演練] 已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4， 所以圓O1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4. 因?yàn)棣?－2ρcos＝2， 所以ρ2－2ρ＝2， 所以圓O2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)將兩圓的直角

10、坐標(biāo)方程相減， 得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為x＋y＝1. 化為極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin＝. 　　　　 曲線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用是每年高考的重點(diǎn)，主要涉及線段長度、平面圖形的面積以及最值等問題，難度適中. [典題領(lǐng)悟] (2017·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4. (1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． [思維路徑] (1)

11、可先求點(diǎn)P在極坐標(biāo)系中的軌跡方程，然后再化為直角坐標(biāo)方程．設(shè)P(ρ，θ)，則M點(diǎn)的可設(shè)為(ρ1，θ)，利用|OM|·|OP|＝16及相關(guān)點(diǎn)可求． (2)由于點(diǎn)O和點(diǎn)A都是定點(diǎn)，故△AOB面積的大小取決于B點(diǎn)的位置，可設(shè)B點(diǎn)的極坐標(biāo)為(ρB，α)，然后利用面積公式S＝|OA|·ρB·sin∠AOB求解即可． 解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ＞0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16，得C2的極坐標(biāo)方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設(shè)點(diǎn)B的極

12、坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB＞0)， 由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ＝2≤2＋. 當(dāng)α＝－時(shí)，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. [解題師說] 1．方法要熟 求簡單曲線的極坐標(biāo)方程的方法 (1)設(shè)點(diǎn)M(ρ，θ)為曲線上任意一點(diǎn)，由已知條件，構(gòu)造出三角形，利用三角函數(shù)及正、余弦定理求解|OM|與θ的關(guān)系． (2)先求出曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換公式，把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程． 2．技巧要會(huì) 用極坐標(biāo)系解決問題時(shí)要注意題目中的幾何關(guān)系，如果幾何關(guān)系不容

13、易通過極坐標(biāo)表示時(shí)，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決． [沖關(guān)演練] (2015·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積． 解：(1)因?yàn)閤＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝－2， C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)將θ＝代入ρ2－2ρcos

14、θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝. 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于C2的半徑為1， 所以△C2MN的面積為. 1．在極坐標(biāo)系中，求直線ρcos＝1與圓ρ＝4sin θ的交點(diǎn)的極坐標(biāo)． 解：ρcos＝1化為直角坐標(biāo)方程為x－y＝2， 即y＝x－2. ρ＝4sin θ可化為x2＋y2＝4y， 把y＝x－2代入x2＋y2＝4y， 得4x2－8x＋12＝0， 即(x－)2＝0， 所以x＝，y＝1. 所以直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)，化為極坐標(biāo)為. 2．在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P，圓心為直線ρsin＝－與極軸的交點(diǎn)，求圓C

15、的極坐標(biāo)方程． 解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)． 因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)P， 所以圓C的半徑|PC|＝ ＝1，于是圓C過極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. 3．設(shè)M，N分別是曲線ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的動(dòng)點(diǎn)，求M，N的最小距離． 解：因?yàn)镸，N分別是曲線ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的動(dòng)點(diǎn)，即M，N分別是圓x2＋y2＋2y＝0和直線x＋y－1＝0上的動(dòng)點(diǎn)，要求M，N兩點(diǎn)間的最小距離，即在直線x＋y－1＝0上找一點(diǎn)到圓x2＋y2＋2y＝0的距離最小，即圓心(0，－1)到直線x＋y－1＝0的距離減去半徑，故最小值為－1＝－

16、1. 4．(2016·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a. 解：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C

17、1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 當(dāng)a＝1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，且在C3上． 所以a＝1. 5．(2018·洛陽模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋(y－2)2＝4.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求圓C的極坐標(biāo)方程； (2)直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin＝5，射 線OM：θ＝與圓C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長．

18、 解：(1)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋(y－2)2＝4， 得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ. (2)設(shè)P(ρ1，θ1)，則由 解得ρ1＝2，θ1＝. 設(shè)Q(ρ2，θ2)，則由 解得ρ2＝5，θ2＝. 所以|PQ|＝ρ2－ρ1＝3. 6．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos＝1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)． (1)求C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)； (2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程． 解：(1)由ρcos＝1得ρ＝1. 從而C的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1，即x＋y＝2.

19、 當(dāng)θ＝0時(shí)，ρ＝2，所以M(2,0)． 當(dāng)θ＝時(shí)，ρ＝，所以N. (2)由(1)知M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)，N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為. 所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為，所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． 7．(2018·福建質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的普通方程為(x－2)2＋y2＝4，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，曲線C3：θ＝(ρ>0)，A(2,0)． (1)把C1的普通方程化為極坐標(biāo)方程； (2)設(shè)C3分別交C1，C2于點(diǎn)P，Q，求△APQ的面積． 解：(1)因?yàn)镃1的普通方程為(x－2)2＋y2＝4，

20、 即x2＋y2－4x＝0， 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ. (2)依題意，設(shè)點(diǎn)P，Q的極坐標(biāo)分別為，. 將θ＝代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝2， 將θ＝代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1， 所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2－1. 依題意，點(diǎn)A(2,0)到曲線θ＝(ρ>0)的距離 d＝|OA|sin ＝1， 所以S△APQ＝|PQ|·d＝×(2－1)×1＝－. 8．(2018·貴州適應(yīng)性考試)在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝sin θ. (1)求

21、曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)過原點(diǎn)且傾斜角為α的射線l與曲線C1，C2分別相交于A，B兩點(diǎn)(A，B異于原點(diǎn))，求|OA|·|OB|的取值范圍． 解：(1)由曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝sin θ， 兩邊同乘以ρ，得ρ2cos2θ＝ρsin θ， 故曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＝y(tǒng). (2)射線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α，＜α≤， 把射線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C1的極坐標(biāo)方程得|OA|＝ρ＝4cos α， 把射線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C2的極坐標(biāo)方程得|OB|＝ρ＝， ∴|OA|·|OB|＝4cos α·＝4tan α. ∵＜α≤， ∴|OA|·|OB|的取值范圍

22、是. 第二節(jié)參數(shù)方程 1．參數(shù)方程 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)：并且對于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程． 2．直線、圓、橢圓的參數(shù)方程 (1)過點(diǎn)M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)圓心在點(diǎn)M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (3)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))． (4)雙

23、曲線－＝1(a>0，b>0)的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))． 1．在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，則其普通方程為____________． 解析：依題意，消去參數(shù)可得x－2＝y(tǒng)－1，即x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 2．橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，過左焦點(diǎn)F1的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|min＝________. 解析：由(φ為參數(shù))得，＋＝1， 當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|有最小值． 所以|AB|min＝2×＝. 答案： 3．曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則曲線C的普通方程為____________． 解析：由(θ為參

24、數(shù))消去參數(shù)θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)． 答案：y＝2－2x2(－1≤x≤1) 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的方程為x2＋＝1，設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長為________________________________________________________________________． 解析：將直線l的參數(shù)方程代入x2＋＝1， 得2＋＝1， 即7t2＋16t＝0， 解得t1＝0，t2＝－， 所以|AB|＝|t1－t2|＝. 答案： 　　　　 [考什么·怎么考] 參數(shù)方程

25、與普通方程的互化是每年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，常與極坐標(biāo)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系綜合考查，屬于基礎(chǔ)題． 1．將下列參數(shù)方程化為普通方程． (1)(t為參數(shù))； (2)(θ為參數(shù))． 解：(1)∵2＋2＝1， ∴x2＋y2＝1. ∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1. 又x＝，∴x≠0. 當(dāng)t≥1時(shí)，0

26、 ∴所求的普通方程為2x＋y－4＝0(2≤x≤3)． 2.如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù)，求圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程． 解：圓的半徑為， 記圓心為C，連接CP， 則∠PCx＝2θ， 故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ， yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ為參數(shù))． 所以圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 3．求直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)． 解：將消去參數(shù)t得直線x＋y－1＝0； 將消去參數(shù)α，得圓x2＋y2＝9. 又圓心(0,0)到直線x＋y－1＝0的距離d＝＜3. 因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)． [怎樣快解·準(zhǔn)解] 將

27、參數(shù)方程化為普通方程的方法 將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參．如sin2θ＋cos2θ＝1等． [注意]　將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解，如第1題． 　　　　 參數(shù)方程的應(yīng)用是每年高考的熱點(diǎn)，主要涉及直線與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程以及直線與圓、圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，難度適中，屬于中檔題. [典題領(lǐng)悟] (2017·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))

28、． (1)若a＝－1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)； (2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為，求a. 解：(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0， 由解得或 從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0， 故C上的點(diǎn)(3cos θ，sin θ)到l的距離為 d＝. 當(dāng)a≥－4時(shí)，d的最大值為 . 由題設(shè)得＝，解得a＝8； 當(dāng)a＜－4時(shí)，d的最大值為. 由題設(shè)得＝，解得a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. [解題師說] 1．方法要熟 (1)解決直線與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時(shí)，一

29、般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系來解決問題． (2)對于形如(t為參數(shù))的參數(shù)方程，當(dāng)a2＋b2≠1時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題． (3)直線參數(shù)方程的應(yīng)用：直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程主要用來解決過定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長或距離問題．它可以避免求交點(diǎn)時(shí)解方程組的繁瑣運(yùn)算，但應(yīng)用直線的參數(shù)方程時(shí)，需先判斷是否是標(biāo)準(zhǔn)形式再考慮參數(shù)的幾何意義． (4)圓、圓錐曲線的參數(shù)方程突出了其工具性作用，應(yīng)用時(shí)，把圓、圓錐曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)知識(shí)解決問題． 2．結(jié)論要記 根據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意

30、義，有如下常用結(jié)論： 過定點(diǎn)M0的直線與圓錐曲線相交，交點(diǎn)為M1，M2，所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2. (1)弦長l＝|t1－t2|； (2)弦M1M2的中點(diǎn)?t1＋t2＝0； (3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|. [沖關(guān)演練] 1．(2018·湖南五市十校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C： (θ為參數(shù))相交于不同的兩點(diǎn)A，B. (1)若α＝，求線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)； (2)若直線l的斜率為2，且過已知點(diǎn)P(3,0)，求|PA|·|PB|的值． 解：(1)由曲線C： (θ為參數(shù))，可得曲線C的普通方

31、程是x2－y2＝1. 當(dāng)α＝時(shí)，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 代入曲線C的普通方程，得t2－6t－16＝0， 得t1＋t2＝6，所以線段AB的中點(diǎn)對應(yīng)的t＝＝3， 故線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為. (2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，化簡得(cos2α－sin2α)t2＋6cos αt＋8＝0， 則|PA|·|PB|＝|t1t2|＝＝， 由已知得tan α＝2，故|PA|·|PB|＝. 2．(2018·石家莊質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝－.

32、(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)和△PAB面積的最小值． 解：(1)由消去參數(shù)t， 得(x＋5)2＋(y－3)2＝2， 所以圓C的普通方程為(x＋5)2＋(y－3)2＝2. 由ρcos＝－，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0. (2)直線l與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A(－2,0)，B(0,2)， 化為極坐標(biāo)為A(2，π)，B， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－5＋cos t,3＋sin t)， 則點(diǎn)P到直線l的距離為 d＝＝. 所以dmin

33、＝＝2，又|AB|＝2. 所以△PAB面積的最小值是S＝×2×2＝4. 　　　　 極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用是每年的必考內(nèi)容，主要涉及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用，難度適中. [典題領(lǐng)悟] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (1)寫出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)若Q為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線l：ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0距離的最小值． 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 可得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為

34、(3，)， 由得x2＋(y＋)2＝4， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y＋)2＝4. (2)直線l的普通方程為x＋2y＋1＝0， 曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 設(shè)Q(2cos α，－＋2sin α)， 則M， 故點(diǎn)M到直線l的距離 d＝＝≥＝－1， ∴點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為－1. [解題師說] 處理極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問題的方法 (1)涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解．當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程． (2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接

35、求解，能達(dá)到化繁為簡的解題目的． [沖關(guān)演練] 1．(2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑． 解：(1)消去參數(shù)t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)， 消去參數(shù)m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)． 設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)． 所以C的普通方程為

36、x2－y2＝4(y≠0)． (2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)． 聯(lián)立 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝. 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交點(diǎn)M的極徑為. 2．(2018·武昌調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝－2. (1)設(shè)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)a＝2時(shí)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值； (2)若曲線C上的所有點(diǎn)

37、均在直線l的右下方，求a的取值范圍． 解：(1)由ρcos＝－2， 得(ρcos θ－ρsin θ)＝－2， 化成直角坐標(biāo)方程，得(x－y)＝－2， 即直線l的方程為x－y＋4＝0. 依題意，設(shè)P(2cos t,2sin t)， 則點(diǎn)P到直線l的距離 d＝＝ ＝2＋2cos. 當(dāng)cos＝－1時(shí)，dmin＝2－2. 故點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為2－2. (2)∵曲線C上的所有點(diǎn)均在直線l的右下方， ∴對?t∈R，有acos t－2sin t＋4>0恒成立， 即cos(t＋φ)>－4恒成立， ∴<4， 又a>0，∴0

38、 1．已知P為半圓C：(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與C的弧AP的長度均為. (1)以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)； (2)求直線AM的參數(shù)方程． 解：(1)由已知，點(diǎn)M的極角為， 且點(diǎn)M的極徑等于， 故點(diǎn)M的極坐標(biāo)為. (2)由(1)知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，A(1,0)． 故直線AM的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1過點(diǎn)P(a,1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a∈R)．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4c

39、os θ－ρ＝0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|＝2|PB|，求實(shí)數(shù)a的值． 解：(1)∵曲線C1的參數(shù)方程為 ∴其普通方程為x－y－a＋1＝0. ∵曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， ∴x2＋4x－x2－y2＝0， 即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x. (2)設(shè)A，B兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 將曲線C1的參數(shù)方程代入曲線C2的直角坐標(biāo)方程，化簡得2t2－2t＋1－4a＝0. ∴Δ＝(－2)2－4×2(1－4a)

40、>0，即a>0， t1＋t2＝，t1·t2＝. 根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|， 又|PA|＝2|PB|可得2|t1|＝2×2|t2|， 即t1＝2t2或t1＝－2t2. ∴當(dāng)t1＝2t2時(shí)，有 解得a＝，符合題意． 當(dāng)t1＝－2t2時(shí)，有 解得a＝，符合題意． 綜上，實(shí)數(shù)a＝或a＝. 3．(2018·貴陽模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. (1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若A，B分別為

41、曲線C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)AB取最小值時(shí)△AOB的面積． 解：(1)由(t為參數(shù))得C1的普通方程為 (x－4)2＋(y－5)2＝9， 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 將x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入上式， 得C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－1)2＝1. (2)如圖，當(dāng)A，B，C1，C2四點(diǎn)共線，且A，B在線段C1C2上時(shí)，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)， 則kC1C2＝＝1， ∴直線C1C2的方程為x－y＋1＝0， ∴點(diǎn)O到直線C1C2的距離d＝＝， 又|AB|＝|C1C2|－1－3＝－4 ＝4－4， ∴S△A

42、OB＝d|AB|＝××(4－4)＝2－. 4．(2018·廣州綜合測試)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ＝2cos. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值． 解：(1)由(t為參數(shù))消去t得x＋y－4＝0， 所以直線l的普通方程為x＋y－4＝0. 由ρ＝2cos＝2＝2cos θ＋2sin θ， 得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ. 將ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)代入上式， 得x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1

43、)2＋(y－1)2＝2. 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)法一：設(shè)曲線C上的點(diǎn)P(1＋cos α，1＋sin α)， 則點(diǎn)P到直線l的距離d＝＝＝. 當(dāng)sin＝－1時(shí)，dmax＝2. 所以曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為2. 法二：設(shè)與直線l平行的直線l′：x＋y＋b＝0， 當(dāng)直線l′與圓C相切時(shí)，＝， 解得b＝0或b＝－4(舍去)， 所以直線l′的方程為x＋y＝0. 因?yàn)橹本€l與直線l′的距離d＝＝2. 所以曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為2. 5．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O(shè)為

44、極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)； (2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值． 解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0， 曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立 解得或 所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A的極坐標(biāo)為(2sin α，α)，B的極坐標(biāo)為(2cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4. 當(dāng)α＝時(shí)，|A

45、B|取得最大值，最大值為4. 6．已知直線L的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝. (1)求直線L的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與直線L夾角為的直線l，設(shè)直線l與直線L的交點(diǎn)為A，求|PA|的最大值． 解：(1)由(t為參數(shù))，得L的普通方程為2x＋y－6＝0， 令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 得直線L的極坐標(biāo)方程為2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0， 由曲線C的極坐標(biāo)方程，知ρ2＋3ρ2cos2θ＝4， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋＝1. (2)由(1)，知直線

46、L的普通方程為2x＋y－6＝0， 設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(cos α，2sin α)， 則點(diǎn)P到直線L的距離d＝. 由題意得|PA|＝＝， 所以當(dāng)sin＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為. 7．(2018·石家莊一模)在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C1上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的，得到曲線C2.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2. (1)求曲線C2的參數(shù)方程； (2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O且關(guān)于y軸對稱的兩條直線l1與l2分別交曲線C2于A，C和B，D，且點(diǎn)A在第一象限，當(dāng)四邊形ABCD的周長最大時(shí)，求直線l1的普通方程

47、． 解：(1)由ρ＝2，得ρ2＝4， 所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4. 故由題意可得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為＋y2＝1. 所以曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)設(shè)四邊形ABCD的周長為l，點(diǎn)A(2cos θ，sin θ)， 則l＝8cos θ＋4sin θ＝4sin(θ＋φ)， 所以當(dāng)θ＋φ＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，l取得最大值，最大值為4，此時(shí)θ＝2kπ＋－φ(k∈Z)， 所以2cos θ＝2sin φ＝，sin θ＝cos φ＝， 此時(shí)A. 所以直線l1的普通方程為x－4y＝0. 8．(2018·成都診斷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α

48、為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，過極點(diǎn)O的射線與曲線C相交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)A，且點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2，θ)，其中θ∈. (1)求θ的值； (2)若射線OA與直線l相交于點(diǎn)B，求|AB|的值． 解：(1)由題意知，曲線C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4， ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲線C的極坐標(biāo)方程為(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4， 即ρ＝4sin θ. 由ρ＝2，得sin θ＝， ∵θ∈，∴θ＝. (2)易知直線l的普通方程為x＋y－4＝0， ∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ－4＝0. 又射線OA的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ≥0)， 聯(lián)立解得ρ＝4. ∴點(diǎn)B的極坐標(biāo)為， ∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2. 23