2019年高考數(shù)學一輪復習 第10章 概率 第3節(jié) 幾何概型學案 文 北師大版

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1、 第三節(jié)　幾何概型 [考綱傳真]　1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.2.了解幾何概型的意義． (對應學生用書第153頁) [基礎知識填充] 1．幾何概型 向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機地投擲點M，若點M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關，即P(點M落在G1)＝，則稱這種模型為幾何概型． 2．幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應的概率是體積之比或長度之比． 3．借助模擬方法可以估計隨機事件發(fā)生的概率． (1)使用計算機或者其他方式進行的模擬試驗，以便通過這個試驗求出隨機事件的概率的近似值的方法就是模擬方法．

2、 (2)用計算機或計算器模擬試驗的方法為隨機模擬方法．這個方法的基本步驟是①用計算器或計算機產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù)，并賦予每個隨機數(shù)一定的意義；②統(tǒng)計代表某意義的隨機數(shù)的個數(shù)M和總的隨機數(shù)的個數(shù)N；③計算頻率fn(A)＝作為所求概率的近似值． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率．(　　) (2)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是.(　　) (3)概率為0的事件一定是不可能事件．(　　) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(　　)

3、[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是 (　　) A　[P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝， ∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．] 3．(2016·全國卷Ⅱ)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． B　[如圖，若該行人在時間段AB的某一時刻來到該路口，則

4、該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈．AB長度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為＝，故選B．] 4．(2018·石家莊模擬)如圖10-3-1所示，在邊長為1的正方形中隨機撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為________． 圖10-3-1 0．18　[由題意知， ＝＝0.18. ∵S正＝1，∴S陰＝0.18.] 5．設不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是________. 【導學號：00090357】 1－　[如圖所示，區(qū)域D為正方形OAB

5、C及其內(nèi)部，且區(qū)域D的面積S＝4.又陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標原點的距離大于2的區(qū)域．易知該陰影部分的面積S陰＝4－π， ∴所求事件的概率P＝＝1－.] (對應學生用書第154頁) 與長度(角度)有關的幾何概型 　(1)(2016·全國卷Ⅰ)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． 圖10-3-2 (2)如圖10-3-2所示，四邊形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB內(nèi)作

6、射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為________． (3)(2017·江蘇高考)記函數(shù)f(x)＝的定義域為D．在區(qū)間[－4,5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是________． (1)B　(2)　(3)　[(1)如圖，7：50至8：30之間的時間長度為40分鐘，而小明等車時間不超過10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達發(fā)車站，此兩種情況下的時間長度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P＝＝.故選B． (2)以A為圓心，以AD＝1為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C′，P′，B′. 依題意，點P′在上任何位置是等

7、可能的，且射線AP與線段BC有公共點，則事件“點P′在上發(fā)生”． 又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝. 故所求事件的概率P＝＝＝. (3)由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如圖，區(qū)間[－4,5]的長度為9，定義域D的長度為5， ∴P＝. ] [規(guī)律方法]　1.解答幾何概型問題的關鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動范圍，當考查對象為點，且點的活動范圍在線段上時，用“線段長度”為測度計算概率，求解的核心是確定點的邊界位置． 2．(1)第(2)題易出現(xiàn)“以線段BD為測度”計算幾何概型的概率，導致錯求P＝. (2)當涉及射線的轉動，

8、扇形中有關落點區(qū)域問題時，應以角對應的弧長的大小作為區(qū)域度量來計算概率．事實上，當半徑一定時，曲線弧長之比等于其所對應的圓心角的弧度數(shù)之比． [變式訓練1]　(1)(2017·唐山質(zhì)檢)設A為圓周上一點，在圓周上等可能地任取一點與A連接，則弦長超過半徑倍的概率是(　　) 【導學號：00090358】 A． B． C． D． (2)(2016·山東高考)在[－1,1]上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________． (1)B　(2)[(1)作等腰直角△AOC和△AMC，B為圓上任一點，則當點B在上運動時，弦長|A

9、B|＞R， ∴P＝＝. (2)由直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，得<3， 即16k2<9，解得－

10、都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機抽取，所以構成的n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對應的數(shù)對在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點所對應的數(shù)對)，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對有m個．用隨機模擬的方法可得＝，即＝，所以π＝.] 角度2　與線性規(guī)劃交匯問題 　(2018·長沙模擬)在區(qū)間[0,4]上隨機取兩個實數(shù)x，y，使得x＋2y≤8的概率為(　　) A． B． C． D． D　[由x，y∈[0,4]可知(x，y)構成的區(qū)域是邊長為4的正方形及其內(nèi)部，其中滿足x＋2y≤8的區(qū)域為如圖所示的陰影部

11、分． 易知A(4,2)，S正方形＝16，S陰影＝＝12. 故“使得x＋2y≤8”的概率P＝＝.] [規(guī)律方法]　求解與面積有關的幾何概型的注意點 求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據(jù)題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結果構成的平面圖形，以便求解． [變式訓練2]　(1)(2017·全國卷Ⅰ)如圖10-3-3，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(　　) 【導學號：00090359】 圖10-3-3

12、 A． B． C． D． (2)(2018·莆田模擬)從區(qū)間(0,1)中任取兩個數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長，則所取的兩個數(shù)使得斜邊長不大于1的概率是(　　) A． B． C． D． (1)B　(2)B　[(1)不妨設正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4. 由圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，得S黑＝S白＝S圓＝，所以由幾何概型知所求概率P＝＝＝. 故選B． (2)任取的兩個數(shù)記為x，y，所在區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部，而符合題意的x，y位于陰影區(qū)域內(nèi)(不包括x，y軸)，故所求概率P＝＝. ]

13、與體積有關的幾何概型 　在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為(　　) A． B．1－ C． D．1－ B　[設“點P到點O的距離大于1”為事件A． 則事件A發(fā)生時，點P位于以點O為球心，以1為半徑的半球的外部． ∴V正方體＝23＝8，V半球＝π·13×＝π. ∴P(A)＝＝1－.] [規(guī)律方法]　對于與體積有關的幾何概型問題，關鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的也可利用其對立事件求解． [變式訓練3]　如圖10-3-4，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M，則使四棱錐M-ABCD的體積小于的概率為________． 圖10-3-4 　[設四棱錐M-ABCD的高為h，由于V正方體＝1. 且·SABCD·h＜， 又SABCD＝1，∴h＜， 即點M在正方體的下半部分， ∴所求概率P＝＝.] 8