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1、
章末小結(jié)
知識整合與階段檢測
[對應學生用書P47]
考情分析
矩陣與變換是新增內(nèi)容，限制了矩陣為二階矩陣，因此運算求解難度都不大，大多為基礎題，考查基本概念與方法．
真題體驗
1．(福建高考)設曲線2x2＋2xy＋y2＝1在矩陣A＝(a＞0)對應的變換作用下得到的曲線為x2＋y2＝1.
(1)求實數(shù)a，b的值；
(2)求A2的逆矩陣．
解：(1)設曲線2x2＋2xy＋y2＝1上任一點P(x，y)在矩陣A對應變換下的像是P′(x′，y′)，則＝ ＝得
又點P′(x′，y′)
2、在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，
即a2x2＋(bx＋y)2＝1，
整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.
依題意得解得或
因為a＞0，所以
(2)由(1)知，A＝，A2＝ ＝，
所以|A2|＝1，(A2)－1＝.
2．(江蘇高考)已知矩陣A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.
解：A2＝ ＝.
設α＝.由A2α＝β，得 ＝，
從而
解得x＝－1，y＝2，所以α＝.
求矩陣、逆矩陣
掌握矩陣、逆矩陣的概念，矩陣相等的定義，二階矩陣與平面向量的乘法規(guī)則，兩個二階矩陣的乘法法則
3、及簡單性質(zhì)，會求逆矩陣，會用系數(shù)矩陣的逆矩陣或二階行列式求解二元一次方程組．
[例1] 求矩陣A＝的逆矩陣．
[解] 設A－1＝，根據(jù)可逆矩陣的定義，
則 ＝，
即＝，
根據(jù)矩陣相等得以及
解得a＝－5，b＝3，c＝2，d＝－1，
所以A－1＝.
[例2] 設矩陣A＝，X＝，B＝，試解方程AX＝B.
[解] 由于A＝，
而det(A)＝＝2×2－1×3＝1≠0，
系數(shù)矩陣A可逆，
此時方程組有唯一解，
而A－1＝＝，
所以X＝A－1B
＝ ＝＝.
即
求曲線在平面變換下的方程
掌握平面變換與對應矩陣之間的相互轉(zhuǎn)化關系，理解矩陣乘法與復合變換之間
4、的關系．
[例3] 二階矩陣M1和M2對應的變換對正方形區(qū)域的作用結(jié)果如下圖．
(1)分別寫出一個滿足條件的矩陣M1和M2；
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，令M＝M2M1，求直線x－y－1＝0在矩陣M對應的變換作用下的曲線方程．
[解] (1)觀察圖形可知，M1對應的變換為橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的的伸縮變換，M2對應的變換為逆時針方向旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，
故M1＝，M2＝.
(2)M＝ ＝，
設直線x－y－1＝0上任意一點P(x0，y0)在矩陣M對應的變換作用下的對應點P′(x，y)，
則 ＝＝，
∴
因x0－y0－1＝0，∴y＋2x－1＝0.
故所求曲線方程為2x＋y－
5、1＝0.
[例4] 設矩陣M＝(其中a＞0，b＞0)．
(1)若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M－1；
(2)若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線C′：＋y2＝1，求a，b的值．
解：(1)設矩陣M的逆矩陣M－1＝，
則MM－1＝.
又M＝，所以 ＝，
所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，
即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，
故所求的逆矩陣M－1＝.
(2)設曲線C上任意一點P(x，y)，它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點P′(x′，y′)，
則 ＝，即
又點P′(x′，y′)在曲線C′上，所以＋y′2＝1，
則＋b
6、2y2＝1為曲線C的方程．
又已知曲線C的方程為x2＋y2＝1，故
又a＞0，b＞0，所以
特征值與特征向量
理解特征值、特征向量的概念，會求一個二階矩陣的特征多項式，特征值及每個特征值對應的一個特征向量；能夠計算多次變換的結(jié)果；應用二階矩陣的特征值、特征向量求解實際問題．
[例5] (江蘇高考)已知矩陣A的逆矩陣A－1＝，求矩陣A的特征值．
解：∵A－1A＝E，∴A＝(A－1)－1.
∵A－1＝，∴A＝(A－1)－1＝.
∴矩陣A的特征多項式為
f(λ)＝＝λ2－3λ－4.
令f(λ)＝0，解得矩陣A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.
[例6] 給定矩陣M＝，向
7、量α＝.
(1)求M的特征值及對應的特征向量e1，e2；
(2)確定實數(shù)m，n使向量α可表示為α＝me1＋ne2；
(3)利用(2)中表達式間接計算M2008α.
[解] (1)特征多項式
f(λ)＝＝(λ－1)2－4，
令f(λ)＝0，得λ1＝3，λ2＝－1.
M的特征值λ1＝3對應的特征向量e1＝，
特征值λ2＝－1對應的特征向量e2＝，
(2)因為α＝me1＋ne2，
所以＝m＋n，即
m＝4，n＝－3，
(3)M2008α＝M2008(4e1－3e2)
＝4(M2008e1)－3(M2008e2)＝4(λe1)－3(λe2)
＝4×32008－3×(－1)2008＝.
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2017-2018學年高中數(shù)學 章末小結(jié)教學案 蘇教版選修4-2
