有限元知識點總結(jié).docx

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有限元分析及其應(yīng)用-2010；思考題： 1、 有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步驟有那些？其中“離散”的含義是什么？是如何將無限自由度問題轉(zhuǎn)化為有限自由度問題的？ 答：基本思想：幾何離散和分片插值。 基本步驟：結(jié)構(gòu)離散、單元分析和整體分析。 離散的含義：用假想的線或面將連續(xù)物體分割成由有限個單元組成的集合，且單元之間僅在節(jié)點處連接，單元之間的作用僅由節(jié)點傳遞。當單元趨近無限小，節(jié)點無限多，則這種離散結(jié)構(gòu)將趨近于實際的連續(xù)結(jié)構(gòu)。 2、 有限元法與經(jīng)典的差分法、里茲法有何區(qū)別？ 區(qū)別：差分法：均勻離散求解域，差分代替微分，要求規(guī)則邊界，幾何形狀復(fù)雜精度較低； 里茲法：根據(jù)描述問題的微分方程和相應(yīng)的定解構(gòu)造等價的泛函表達式，求得近似解； 有限元：基于變分法，采用分片近似進而逼近總體的求解微分方程的數(shù)值計算方法。 3、 一根單位長度重量為q的懸掛直桿，上端固定，下端受垂直向下的外力P，試 1） 建立其受拉伸的微分方程及邊界條件； 2） 構(gòu)造其泛函形式； 3） 基于有限元基本思想和泛函求極值構(gòu)造其有限元的計算格式（即最小勢能原理）。 4、 以簡單實例為對象，分別按虛功原理和變分原理導(dǎo)出有限元法的基本格式（單元剛度矩陣）。 5、 什么是節(jié)點力和節(jié)點載荷？兩者有何區(qū)別？ 答：節(jié)點力：單元與單元之間通過節(jié)點相互作用 節(jié)點載荷：作用于節(jié)點上的外載 6、 單元剛度矩陣和整體剛度矩陣各有何特點？其中每個矩陣元素的物理意義是什么（按自由度和節(jié)點解釋）？ 答：單元剛度矩陣：對稱性、奇異性、主對角線恒為正 整體剛度矩陣：對稱性、奇異性、主對角線恒為正、稀疏性、帶狀性。 Kij，表示j節(jié)點產(chǎn)生單位位移、其他節(jié)點位移為零時作用i節(jié)點的力，節(jié)點力等于節(jié)點位移與單元剛度元素乘積之和。 7、 單元的形函數(shù)具有什么特點？有哪些性質(zhì)？ 答：形函數(shù)的特點：Ni為x，y的坐標函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。 形函數(shù)Ni在i節(jié)點的值為1，而在其他節(jié)點上的值為0； 單元內(nèi)任一點的形函數(shù)之和恒等于1； 形函數(shù)的值在0~1間變化。 8、 描述彈性體的基本變量是什么？基本方程有哪些組成？ 答：基本變量：外力、應(yīng)力、應(yīng)變、位移 基本方程：平衡方程、幾何方程、物理方程、幾何條件 9、 何謂應(yīng)力、應(yīng)變、位移的概念？應(yīng)力與強度是什么關(guān)系？ 答：應(yīng)力：lim△Q/△A=S △A→0 應(yīng)變：物體形狀的改變 位移：彈性體內(nèi)質(zhì)點位置的變化 10、 問題的微分方程提法、等效積分提法和泛函變分提法之間有何關(guān)系？何謂“強形式”？何謂“弱形式”，兩者有何區(qū)別？建立弱形式的關(guān)鍵步驟是什么？ 答：強弱的區(qū)分在于是否完全滿足物理模型的條件。所謂強形式，是指由于物理模型的復(fù)雜性，各種邊界條件的限制，使得對于所提出的微分方程，對所需要求得的解的要求太強。也就是需要滿足的條件太復(fù)雜。比如不連續(xù)點的跳躍等等。將微分方程轉(zhuǎn)化為弱形式就是弱化對方程解的要求。不拘泥于個別特殊點的要求，而放松為一段有限段上需要滿足的條件，使解能夠以離散的形式存在。 11、 以平面微元體為例，考慮彈性力學(xué)基本假設(shè)，推導(dǎo)微分平衡方程。 12、 常見的彈性力學(xué)問題解法有哪幾類？各有何特點或局限？簡述求解思路？ 13、 何謂平面應(yīng)力問題？何謂平面應(yīng)變問題？應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)如何？如何判斷？舉例說 明？ 答：平面應(yīng)力問題：作用于很薄的板上的載荷平行于板平面且沿厚度方向均勻分布，而在兩板面上無外力作用 平面應(yīng)變問題：長柱體的橫截面沿長度方向不變，作用于長柱體結(jié)構(gòu)上的載荷平行于橫截面且沿縱向方向均與分布，兩端面不受力。 14、 何謂軸對稱問題？如何判斷？推導(dǎo)極坐標下的平衡方程和幾何方程。 答：軸對稱：幾何形狀、約束情況及所受的外力都對稱于空間的某一跟軸，則通過該軸的任何平面都是物體的對稱面，物體內(nèi)的所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移都關(guān)于該軸對稱。 15、 何謂虛位移原理？推導(dǎo)彈性體虛功方程的矩陣形式，并寫出軸對稱問題的虛功方 程。 16、 什么叫外力勢能？什么叫應(yīng)變能？簡述勢能變分原理。試問勢能變分原理代表了彈 性力學(xué)的那些方程？同時，附加了什么條件？ 17、 在三維彈性體中，若系統(tǒng)勢能對位移變分為零。試證明一定滿足應(yīng)力平衡方程和應(yīng) 力邊界條件。 18、 為了保證有限元解的收斂性，位移函數(shù)必須滿足那些條件？為什么？ 答：1.位移函數(shù)應(yīng)包含剛體位移 2.位移函數(shù)應(yīng)能反映單元的常應(yīng)變狀態(tài) 3.位移函數(shù)在單元內(nèi)要連續(xù)，在單元邊界上要協(xié)調(diào)。 19、 位移函數(shù)構(gòu)造為何按Pascal三角形進行？為什么？ 答：選取多項式具有坐標的對稱性，保證單元的位移分布不會因為人為選取的方位坐標不同而變化。 20、 如何理解有限元解的下限性？簡要說明。 21、 何謂剛性位移？何謂常量應(yīng)變？ 答：剛性位移就是物體的形狀不發(fā)生變化產(chǎn)生的位移 變形位移就是考慮物體產(chǎn)生的變形 22、 在按位移法求解有限元法中，為什么說應(yīng)力解的精度低于位移解的精度？ 答：實際結(jié)構(gòu)本來是具有無限個自由度，當用有限元求解時，結(jié)構(gòu)被離散為有限個單元的集合，便只有有限個自由度了，限制了結(jié)構(gòu)變形能力，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的剛度增大、計算的位移減少，所以有限元求得的位移近似解小于精確解。 23、 何為單元的協(xié)調(diào)性和完備性條件？為什么要滿足這些條件？平面問題三節(jié)點三角形單元是如何滿足這些條件？矩形四節(jié)點單元是否滿足？ 答：完備性準則：如果在能量泛函中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則有限元解收斂的條件之一是單元函數(shù)至少是m階的完全多項式。 24、 何為協(xié)調(diào)單元？何為非協(xié)調(diào)單元？為什么有時非協(xié)調(diào)單元的計算精度還高于協(xié)調(diào)單元？ 答：協(xié)調(diào)性準則：如果在能力泛函中的位移函數(shù)出現(xiàn)最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則位移函數(shù) 在單元邊界上必須具有m-1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。 網(wǎng)格劃分不一樣 25、 何為常應(yīng)變單元？其位移、應(yīng)變、應(yīng)力在單元內(nèi)、單元邊界上有何特性？ 答：常應(yīng)變單元：單元的應(yīng)變分量均為常量。 位移函數(shù)在單元內(nèi)部線性函數(shù)，內(nèi)部連續(xù)。公共邊界處位移協(xié)調(diào)。 單元的應(yīng)力應(yīng)變?yōu)槌Ａ浚谙噜弳卧吔缣?，?yīng)變應(yīng)力不連續(xù)，有突變。 26、 假設(shè)平面三節(jié)點三角形單元的的位移模式為： U=a1x2+a2xy+a3y2 V=a4x2+a5xy+a6y2 試計算該單元的形函數(shù)矩陣、單元剛度矩陣，并討論該單元的特性。 27、 平面矩形單元的位移、應(yīng)力在單元內(nèi)、單元邊界上有何特性？試說明矩形單元剛度矩陣的計算與坐標原點位置無關(guān)。 答：常數(shù)項和線性項的系數(shù)反映了單元的剛體位移和常應(yīng)變，滿足收斂性的必要條件；在單元邊界上，由于u，v分別僅為x或y的線性函數(shù)，則這樣的單元的位移函數(shù)是雙線性函數(shù)，這說明單元邊界上的兩點能唯一確定變形后的邊界，而對于相鄰的單元公共邊界，它們具有公共節(jié)點，則不論按哪個單元確定公共邊界上的位移，都能保證公共邊界上具有相同的位移，即單元邊界處位移具有連續(xù)性，滿足協(xié)調(diào)性要求。 28、 何謂面積坐標？其特點是什么？ 答：Li=Ai/A；Lj=Aj/A;Lm=Am/A特點：只有兩個坐標是獨立的：Ai+Aj+Am=1 29、 試分析以下幾種平面單元的位移在單元公共邊界上的連續(xù)性：1）常應(yīng)變?nèi)切螁卧?）四節(jié)點矩形單元；3）六節(jié)點三角形單元；4）四節(jié)點直線邊界四邊形等參單元； 5）八節(jié)點曲線邊界四邊形等參單元。 答：常應(yīng)變?nèi)切螁卧盒魏瘮?shù)只與節(jié)點坐標有關(guān)；單元應(yīng)變分量均為常量； 收斂性：位移函數(shù)含單元常量應(yīng)變；反應(yīng)單元剛體位移；單元內(nèi)部位移連續(xù)；相鄰公共邊界連續(xù)協(xié)調(diào)。 四節(jié)點矩形單元：位移函數(shù)滿足收斂性條件，為協(xié)調(diào)單元；較常應(yīng)變單元有更高的計算精度。 六節(jié)點三角形單元：比常應(yīng)變?nèi)切螁卧雀? 30、 非節(jié)點載荷等效的基本原則是什么？ 答：能量等效原則和圣維南原理。 31、 試計算三節(jié)點三角形邊界上不同線性分布載荷的等效節(jié)點載荷。（參考教材P58面） 答：1.均質(zhì)材料單元所受體力等效，只需將單元外載荷均勻等分至各個節(jié)點即可 2.邊界受均勻分布力等效，只需將單元邊界上的分布載荷之和平均分配至受力的連個節(jié)點 3.邊界受三角形分布面力等效，總力ql/2，分布力ql/6;ql/3 4.邊界受梯形分布面力的等效，疊加原理， 32、 何謂等參單元？等參單元具有哪些特點？使用等參單元應(yīng)注意什么？在等參單元計算中，數(shù)值積分階次是否越高越好呢？為什么？ 答：定義：以規(guī)則形狀單元的位移函數(shù)相同階次函數(shù)為單元幾何邊界的變換函數(shù)，通過 坐標變換所獲得的單元。 特點：單元幾何邊界的變換函數(shù)與規(guī)則單元位移函數(shù)具有相同的節(jié)點參數(shù)。 注意：單元為凸 不是，階次提高，單元自由度相應(yīng)增加，計算更加復(fù)雜，積分更困難。 33、 平面三角形單元能否看成等參數(shù)單元，如能，其母元（標準元）為何？按等參單元定義進行解釋。 答：能；直角等腰三角形；以三角形單元的位移函數(shù)相同階次函數(shù)為單元幾何邊界的變換函數(shù)，通過坐標變換所獲得的單元。 34、 桿梁單元如何區(qū)分？各有何特點？應(yīng)用時如何選擇？ 答：桿：承受軸力和扭矩的桿件；梁：承受橫向力和彎矩的桿件。 桿：節(jié)點數(shù)2，節(jié)點自由度1；梁：節(jié)點數(shù)2，節(jié)點自由度2。 根據(jù)受力情況進行選擇。