高中數(shù)學(xué) 3.4.1 基本不等式的證明教學(xué)設(shè)計(jì) 蘇教版必修.doc

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3.4.1　基本不等式的證明 教學(xué)目標(biāo)： 1．探索并了解基本不等式的證明； 2．體會(huì)證明不等式的基本思想方法； 3．能應(yīng)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的不等式證明問(wèn)題． 教學(xué)重點(diǎn)： 基本不等式的證明． 教學(xué)難點(diǎn)： 基本不等式的證明． 教學(xué)過(guò)程： 一、問(wèn)題情境，導(dǎo)入新課 口述：有一個(gè)珠寶商人，很多人到他那里買(mǎi)的東西回家一稱(chēng)發(fā)現(xiàn)分量都有問(wèn)題，于是向工商局投訴，工商局派人去調(diào)查，商人承認(rèn)他用的天平左右的桿長(zhǎng)有問(wèn)題，向人們提出一個(gè)調(diào)解方案，放左邊稱(chēng)變重對(duì)人們不公平，放右邊稱(chēng)變輕商人要虧本，那么用兩次稱(chēng)重的平均值作為物品的實(shí)際重量，如果你是購(gòu)買(mǎi)者，你接受他的方案嗎？ 問(wèn)題1　你能不能把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題？ 珠寶放左邊稱(chēng)砝碼顯示重量為a，放右邊稱(chēng)砝碼顯示重量為b，假設(shè)天平的左杠桿長(zhǎng)為l1，右杠桿長(zhǎng)l2，那么這個(gè)珠寶的實(shí)際重量是多少？（會(huì)算嗎？用什么原理來(lái)算？你認(rèn)為珠寶商的方案合理嗎，那也就是 哪個(gè)大？） 問(wèn)題2　 哪個(gè)大？（你估計(jì)一下哪個(gè)大？）（如果回答取值代，那么可以追問(wèn)取一正一負(fù)行嗎？如果回答作差，可以追問(wèn)你估計(jì)一下哪個(gè)大？） 二、學(xué)生活動(dòng) 問(wèn)題3　如何證明呢？ 請(qǐng)2個(gè)同學(xué)上黑板（巡視，有不同的解法讓他上黑板寫(xiě)一下）． 證法一（比較法）：==， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=”． 證法二：要證 ， 只要證 ， 只要證 ， 只要證 因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成立，所以 成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“＝”． 證法三：對(duì)于正數(shù)，有 ， ， ， ． 先讓學(xué)生談一談證的對(duì)不對(duì)，他這個(gè)證明方法有什么特點(diǎn)？ 點(diǎn)評(píng)：回顧我們上面的證明過(guò)程，我們來(lái)看一下各種證法的特點(diǎn)： 證法一是比較法，比較法常用的就是作差將差值與零去比較； 證法二是分析法，分析法的特點(diǎn)是盯住我們要的目標(biāo)，尋找結(jié)論成立的條件； 證法三是綜合法，它們都是證明不等式的基本方法． （看來(lái)珠寶商還是多賺錢(qián)的，只有a＝b時(shí)才是一個(gè)守法的商人?。? 三、建構(gòu)數(shù)學(xué) 定理：如果是實(shí)數(shù)且，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”）． 問(wèn)題：對(duì)于這個(gè)定理你怎么認(rèn)識(shí)它？（結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)??？成立的條件是什么？什么叫當(dāng)且僅當(dāng)??？） （上式中稱(chēng)為的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)為的幾何平均數(shù)，兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于等于它們的幾何平均數(shù)，有的時(shí)候我們也把這個(gè)定理寫(xiě)成）．要用這個(gè)定理首先兩個(gè)數(shù)必須都是非負(fù)數(shù)． 當(dāng)時(shí)，取“＝”，并且只有當(dāng)時(shí)，取“＝”，我們把這種等號(hào)成立的情況稱(chēng)之為當(dāng)且僅當(dāng)． 四、數(shù)學(xué)運(yùn)用 例1　設(shè)是正數(shù)，證明下列不等式成立： （1） （2） （3） （先讓學(xué)生點(diǎn)評(píng)，對(duì)不對(duì)，關(guān)注格式與條件，他用什么方法來(lái)證明的？還有什么別的思路？） 點(diǎn)評(píng)：我們證明不等式通常有比較法，分析法，現(xiàn)在有了這個(gè)定理，也可以應(yīng)用它來(lái)證明 什么時(shí)候取等號(hào)？ 師：我們現(xiàn)在已經(jīng)對(duì)這個(gè)不等式有了一定的認(rèn)識(shí)了，你能不能從圖形的角度來(lái)認(rèn)識(shí)一下它呢？ 有線段AB長(zhǎng)為a，線段BC長(zhǎng)為b，你能找到和嗎？（一個(gè)學(xué)生講完了可以讓另一個(gè)學(xué)生再解釋一下） 例2 　（1）已知函數(shù)，求此函數(shù)的最小值． 點(diǎn)評(píng)：什么是最小值，最小值就是大于等于一個(gè)數(shù)，你說(shuō)大于等于2，那也大于等于1嘛，我能說(shuō)最小值就是1嗎？ （2）已知函數(shù)，求此函數(shù)的最大值； （3）已知函數(shù)，求此函數(shù)的最小值． 五、回顧小結(jié) 回顧本節(jié)課，你對(duì)基本不等式有哪些認(rèn)識(shí)？