一元一次方程-全章學案.doc

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3.1.1從算式到方程 [學習目標]能根據(jù)題意用字母表示未知數(shù)，然后分析出等量關系,再根據(jù)等量關系列出方程。[學習重點] 能根據(jù)題意用字母表示未知數(shù)，然后分析出等量關系,再根據(jù)等量關系列出方程。 [學習難點]體會找等量關系，會用方程表示簡單實際問題。 [學習過程] 問題1：根據(jù)條件列出式子 1、數(shù)的關系： ①比a大10的數(shù)： ； ②b的一半與7的差： ； ③的2倍減去10： ； ④某數(shù)的30%與這個數(shù)的2倍的積： ； ⑤a的3倍與a的2的商： ； 2、基本圖形關系： ①正方形的邊長為a，則面積為 ，周長為 ； ②長方形的長為a，寬為b，則面積為 ，周長為 ； ③圓的半徑為r，則周長為 ，面積為 ； ④三角形的三邊長分別為a、b、c，則周長為 ，若長為a的邊上的高為h，則面積為 ； ⑤正方體的棱長為a，則體積為 ，表面積為 ； ⑥長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則長方體的體積為 ，表面積為 ； ⑦圓柱的底面圓半徑為r，高為h，則側(cè)面積為 ，體積為 ； ⑧梯形的上、下底長分別為a、b，高為h，則面積為 。 3、其他關系： ①某商品原價為a元，降價20%后售價 為 元； ②某商品原價為a元，升價20%后售價 為 元； ③某商品原價為a元，打七五折后售價 為 元； ④某商品每件x元, 買a件共要花 元； ⑤汽車每小時行駛v千米，行駛t小時后的路 為 千米； ⑥某建筑隊一天完成一件工程的，天完成這件工程的 ； 練習一根據(jù)條件列出式子 ①比a小7的數(shù)： ； ②x的三分之一與9的和： ； ③的3倍減去的倒數(shù)： ； ④某數(shù)的一半與b的積： ； ⑤x與y的平方差： ； 問題2：根據(jù)條件列出等式： ①比a大5的數(shù)等于8： ； ②b的一半與7的差為 ： ； ③的2倍比10大3： ； ④比a的3倍小2的數(shù)等于a與b的和： ； ⑤某數(shù)的30%比它的2倍少34： ； 問題3：根據(jù)下面實際問題中的數(shù)量關系，設未知數(shù)列出方程： ①用一根長為24cm的鐵絲圍成一個正方形，正方形的邊長為多少？ 解：設正方形的邊長為cm，列方程得： 。 ②某校女生人數(shù)占全體學生數(shù)的52%，比男生多80人，這個學校有多少學生？ 解：設這個學校學生數(shù)為，則女生數(shù)為 ， 男生數(shù)為 ，依題意得方程： 。 ③練習本每本0.8元，小明拿了10元錢買了若干本，還找回4.4元。問：小明買了幾本練習本？ 解：設小明買了本，列方程得： 。 ④長方形的周長為24cm，長比寬多2cm，求長和寬分別是多少。 解：設 為 cm，則 為 cm ， 依題意得方程： 。 ⑤A、B兩地相距100千米，一輛小卡車從A地開往B地，3小時后離B地還有4千米，求小卡車的平均速度。 練習二根據(jù)條件列出式子或方程： ①比a小5的數(shù)： ； ②x的四分之一與8的和： ； ③的5倍減去的絕對值： ； ④與 b的積的相反數(shù)： ； ⑤x與y的平方和： ； ⑥邊長為x的正方形面積為25： ； ⑦長方形的長為a，寬比長小2，已知長方形的面積為20，得方程： ； ⑧某校學生總數(shù)為x，其中男生占全體學生的51%，比女生多12人，得方程： 。 練習三根據(jù)下面實際問題中的數(shù)量關系，設未知數(shù)列出方程： ①用一根長為50cm的鐵絲圍成一個正方形，正方形的邊長為多少？ ②某校女生人數(shù)占全體學生數(shù)的44%，比男生少90人，這個學校有多少學生？ ③練習本每本0.6元，小明拿了15元錢買了若干本，還找回4.2元。問：小明買了幾本練習本？ 小結(jié)：設未知數(shù)，找等量關系，用方程表示簡單實際問題中的相等關系是本節(jié)課的重點。你學會了嗎？ 課后作業(yè)：1、用等式表示： ①比a小6的數(shù)等于80： ； ②x的一半與2的差為 ： ； ③的2倍比30大6： ； ④比a的2倍大2的數(shù)等于a與b的差： ； ⑤的25%比它的5倍少3： ； 2、設未知數(shù)列出方程： ①用一根長為100cm的鐵絲圍成一個正方形，正方形的邊長為多少？ ②長方形的周長為40cm，長比寬多3cm，求長和寬分別是多少。 ③某校女生人數(shù)占全體學生數(shù)的55%，比男生多50人，這個學校有多少學生？ ④A、B兩地相距200千米，一輛小車從A地開往B地，3小時后離B地還有20千米，求小卡車的平均速度。 3.1.1一元一次方程 [學習目標] 1、理解什么是一元一次方程。2、理解什么是方程的解及解方程，學會檢驗一個數(shù)值是不是方程的解的方法。3、進一步體會找等量關系，會用方程表示簡單實際問題。4、體會數(shù)學與我們?nèi)粘Ｉ盥?lián)系密切，培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣。 [學習重點] 1、一元一次方程的概念及方程的解；2、能驗證一個數(shù)是否是一個方程的根。 [學習難點] 找等量關系列方程及估算法尋求方程的解. [學習過程] 問題1：前面學過有關方程的一些知識，同學們能說出什么是方程嗎? 答： 叫做方程。 問題2： 判斷下列是不是方程,是打“√”，不是打“”： ①；（ ） ②3+4=7；（ ） ③；（ ）④；（ ） ⑤；（ ） ⑥ ；（ ） 問題3：根據(jù)下面實際問題中的數(shù)量關系，設未知數(shù)列出方程： ①用一根長為48cm的鐵絲圍成一個正方形，正方形的邊長為多少？ 解：設正方形的邊長為cm，列方程得： 。 ②某校女生人數(shù)占全體學生數(shù)的52%，比男生多80人，這個學校有多少學生？ 解：設這個學校學生數(shù)為，則女生數(shù)為 ， 男生數(shù)為 ，依題意得方程： 。 ③練習本每本0.8元，小明拿了10元錢買了若干本，還找回4.4元。問：小明買了幾本練習本？ 解：設小明買了本，列方程得： 。 小結(jié)：象上面問題3的①、②、③中列出的方程，它們都含有 個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是 ，這樣的方程叫做一元一次方程。 （即方程的一邊或兩邊含有未知數(shù)） 歸納：問題3的分析過程可以表示如下： 實際問題 設未知數(shù) 列方程 一元一次方程 **分析實際問題中的數(shù)量關系，利用其中的相等關系列出方程，是用數(shù)學解決實際問題的一種方法。 練習一判斷下列是不是一元一次方程,是打“√”，不是打“”： ①=4；（ ） ② ；（ ） ③； （ ）④；（ ） ⑤； （ ） ⑥3+4=7；（ ） 問題4：如何求出使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值？ 如方程=4中，=？ 方程中的呢？ 請用小學所學過的逆運算嘗試解決上面的問題。 **解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值就是方程的解。 例 檢驗2和-3是否為方程的解。 解：當x=2時， 左邊= = ， 右邊= = ， ∵左邊 右邊（填＝或≠） ∴x=2 方程的解（填是或不是） 當x=時， 左邊= = ， 右邊= = ， ∵左邊 右邊（填＝或≠） ∴x=6 方程的解（填是或不是） 練習二 1、檢驗3和-1是否為方程的解。 2、x=1是下列方程（ ）的解： A）， B）， C）， D） 3、已知方程是關于x的一元一次方程，則a= 。 課堂小結(jié)：1、這節(jié)課我們學習了什么內(nèi)容？ 2、用列方程的方法解決實際問題的一般思路是什么？ 3、什么是方程的解？如何檢驗員一個數(shù)是否是方程的解？ 課后作業(yè)： 1、x=2是下列方程（ ）的解： A）， B）， C））， D） 2、在下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A） B） C） D） 3、在 2+1=3, 4+x=1, y2-2y=3x, x2-2x+1 中，一元一次方程有 ( ) A）1個 B）2個 C）3個 D）4個 4、檢驗2和是否為方程的解。 5、老師要求把一篇有2000字的文章輸入電腦，小明輸入了700字，剩下的讓小華輸入，小華平均每分鐘能輸入50個字，問：小華要多少分鐘才能完成？（請設未知數(shù)列出方程，并嘗試求出方程的解） 3.1.2等式的性質(zhì) [學習目標]1、知道等式的性質(zhì)；2、會用等式的性質(zhì)解簡單的一元一次方程。 [重點難點] 理解并掌握等式的性質(zhì)。 [學習過程] [練習一] 已知，請用等于號“=”或不等號“”填空： ① ；② ； ③ ；④ ；⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ 。 ⑨ ； ⑩ 。 [等式的性質(zhì)1]等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍相等。 如果，那么 [練習二]已知，請用等于號“=”或不等號“”填空： ① ；② ； ③ ；④ 。 [等式的性質(zhì)2]等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。 如果，那么 ； 如果，那么 。 [例]利用等式的性質(zhì)解下列方程： （1）；（2）； （3）；（4）。 解：（1）兩邊減7，得 ∴ 。 （2）兩邊 ，得 ∴ 。 （3）兩邊 ，得 ， 兩邊 ，得 ， ∴ 。 （4）兩邊 ，得 ， 兩邊 ，得 ， ∴ 。 **請檢驗上面四小題中解出的是否為原方程的解。 [練習三] 利用等式的性質(zhì)解下列方程并檢驗： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 [小結(jié)]1、等式有哪些性質(zhì)？2、在用等式的性質(zhì)解方程時要注意什么？ [課后作業(yè)] A組 利用等式的性質(zhì)解下列方程并檢驗： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 B組 1、下列結(jié)論正確的是 A）x +3=1的解是x= 4 B）3-x = 5的解是x=2 C）的解是 D）的解是x = -1 2、方程的解是，那么等于（ ）A) －1 B) 1 C) 0 D) 2 3、已知，則　　　　　。 4、已知t=3是方程at－6= 18的解，則a=________ 5、當y=_______時，y的2倍與3的差等于17。 6、代數(shù)式x+6的值與3互為相反數(shù)，則x的值為 。 3.2.1解一元一次方程（一） ----合并同類項與移項 [學習目標]1、讓學生正確、熟練的掌握和應用解一元一次方程的三個基本步驟：“移項”與“合并同類項”、“將未知數(shù)的系數(shù)化為1”；2、自主探索、歸納解一元一次方程的一般步驟。 [重點難點]怎樣將方程變形既是重點也是難點。 [學習過程] [問題1]南村僑聯(lián)中學三年來共購買計算機210臺，去年購買數(shù)量是前年的2倍，今年購買數(shù)量是去年的4倍，前年學校購買了多少臺計算機？ 解：設前年購買計算機x臺，則去年購買 臺， 今年購買 臺，依題意得 要解這個方程，可以先把方程左邊合并同類項，再用等式的性質(zhì)解出x的值，解法如下： **思考：上面解方程中“合并同類項”起了什么作用？ [例1] 解下列方程： （1）9x—5 x =8 ； （2）4x－6x－x =－15； （3） 解：（1）合并同類項得： = 兩邊 ，得 ， ∴ ； (2) 合并同類項得： = x的系數(shù)化為1，得 ； （3） [練習一] 解下列方程： （1）6x —x = 4 ； （2）－4x + 6x－0.5x =－0.3； （3）. （4） [思考]方程的兩邊都含有的項（）和常數(shù)項（），怎樣才能把它化成（為常數(shù)）的形式呢？ 解：利用等式的性質(zhì)1，得 ， ∴ 。 ∴ 。 **像上面那樣把等式一邊的某項改變符號后移到另一邊，叫做移項。 [問題]移項起到什么作用？ [例2] 解下列方程： （1）； （2）。 [練習二] 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； [小結(jié)] 1，本節(jié)學習的解一元一次方程，主要步驟有①移項,②合并同類項, ③將未知數(shù)的系數(shù)化為1,最后得到的形式。 2，移項時要注意，移正變負，移負變正。 [課后作業(yè)] A組： 1，下列方程的變形是否正確？為什么？ （1）由,得 ( ) （2）由,得 ( ) （3）由得 ( ) （4）由,得 ( ) 2、直接寫出下列方程的解 （1） ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) （5） ( ) 3、解下列方程： （1）； (2) (3) ； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； 3.2.2解一元一次方程（二） ----去括號 [學習目標] 1、了解“去括號”是解方程的重要步驟。2、準確而熟練地運用去括號法則解帶有括號的方程。3、列一元一次方程解應用題時，關鍵是找出條件中的相等關系。 [重點難點] 重點：了解“去括號”是解方程的重要步驟。難點：括號前是“－”號的，去括號時，括號內(nèi)的各項要改變符號，乘數(shù)與括號內(nèi)多項式相乘，乘數(shù)應乘遍括號內(nèi)的各項。 [學習過程] [練習一] 1、敘述去括號法則，化簡下列各式： （1）= ； （2）= ； （3）= ； （4）= ； （5）= 。 **前幾節(jié)學習的是不帶括號的一類方程的解法，本節(jié)課是學習帶有括號的方程的解法，如果去掉括號，就與前面的方程一樣了，所以我們要先去括號。要去括號，就要根據(jù)去括號法則，及乘法分配律，特別是當括號前是“－”號，去括號時，各項都要變號，若括號前有數(shù)字，則要乘遍括號內(nèi)所有項，不能漏乘并注意符號。 [問題1]你會解方程嗎？這個方程有什么特點？ 解：去括號，得 ， 合并同類項，得 ， 系數(shù)化為1，得 。 [例1]解方程。 注意：1、當括號前是“－”號，去括號時，各項都要變號。2、括號前有數(shù)字，則要乘遍括號內(nèi)所有項，不能漏乘并注意符號。 解：去括號，得 ， 移項，得 ， 合并同類項，得 ， 系數(shù)化為1，得 。 [練習二]1、解方程： （1） （2） （3） 2、 列方程求解： （1）當x取何值時，代數(shù)式和的值相等？ （2）、當y取何值時，代數(shù)式2（3y＋4）的值比5（2y－7）的值大3？ [例2]設未知數(shù)列方程解應用題： 一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了2.5小時。已知水流的速度是3千米/時，求船在靜水中的平均速度。 解：設船在靜水中的平均速度為千米/時，則順流行駛的速度為 千米/時，逆流行駛的速度為 千米/時， 根據(jù) 相等，得方程 去括號，得 移項，得 合并同類項，得 系數(shù)化為1，得 答：船在靜水中的平均速度為 千米/時。 [練習三]解方程： （1） （2） （3） [小結(jié)] 去括號時要注意什么？ [課后作業(yè)] A組 解方程： （1）5（x＋2）=2（5x－1） （2）4x＋3=2（x－1）＋1 （3）（x＋1）－2（x－1）=1－3x （4）2（x－1）－（x＋2）=3（4－x） B組 列方程求解： （1）當x取何值時，代數(shù)式4x－5與3x－6的值互為相反數(shù)？ （2）一架飛機在兩城之間飛行，風速為24千米/時。順風飛行需要2小時50分，逆風飛行需要3小時，求無風時飛機的速度和兩城之間的航程. C組： 已知 A= 3x＋2 ， B=4＋2x ① 當x取何值時, A=B; ② 當x取何值時, A=B＋1 3.2.3解一元一次方程（三） ----去分母 [學習目標] 會運用等式性質(zhì)2正確去分母解一元一次方程。 [重點難點] 重點：去分母解方程。難點：去分母時，不含分母的項會漏乘公分母，及沒有對分子加括號。 [學習過程] [復習]1、解方程： （1）；（2） 2、求下列各數(shù)的最小公倍數(shù)： （1）2，3，4 （2）3，6，8。 （3）3，4，18。 **在上面的復習題1中，可以保留分母，也可以去掉分母，得到整數(shù)系數(shù)，這樣做比較簡便。所以若方程中含有分母，則應先去掉分母，這樣過程比較簡便。 [例1] 解方程： 解：兩邊都乘以 ，去分母，得 去括號，得 ， 移項，得 ， 合并同類項，得 ， 系數(shù)化為1，得 。 [同步練習一] 解方程： [例2] 解方程： 解：兩邊都乘以 ，去分母，得 去括號，得 移項， 得 合并同類項，得 系數(shù)化為1， 得 [同步練習二] 解方程： [練習三] 解方程：（1）； （2）； （3）； [小結(jié)]1、含有分母的方程的解法。 2、解一元一次方程的一般步驟為：①分母,②去括號,③移項,④合并同類項,⑤ 系數(shù)化為1 . 3、 去分母時要注意什么？（兩點） [課后作業(yè)] A組 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7） （8）。 B組 1、k取何值時，代數(shù)式的值比的值小1？ 2、一件工作由一個人做要50小時完成，現(xiàn)在計劃由一部分人先做5小時，再增加8人和他們一起做10小時，完成了這項工作，問：先安排多少人工作？ 3.3.1實際問題與一元一次方程（一） 基本數(shù)量關系：路程=速度時間 順流速度=靜水速度+水速 逆流速度=靜水速度-水速 ----路程問題 [學習目標] 1、理解一元一次方程解簡單應用題的方法和步驟；2、會列出一元一次方程解簡單的應用題。 [重點難點]正確找出等量關系列方程。 [學習過程] [復習]1、解一元一次方程的簡單步驟： 2、 解一元一次方程的理論根據(jù)： 問題1：乙兩人分別從相距10千米的兩地同時同向出發(fā)，乙在前，甲在后，甲乙兩人的時速分別為5千米和3千米，則甲經(jīng)過多少小時后追上乙？ 解：設甲經(jīng)過小時后追上乙，依題意得 答： [練習一] 甲、 乙兩人分別從相距12千米的兩地同時同向出發(fā)，乙在前，甲在后，甲乙兩人的時速分別為9千米和5千米，則甲經(jīng)過多少小時后追上乙？ 問題2：甲、乙騎自行車同時從相距60千米的兩地相向而行，5小時相遇．甲比乙每小時多騎2千米，求甲、乙的速度各是多少？ 解：設甲的速度為千米/時，則乙的速度 為 千米/時，依題意得 [練習二] 甲、乙騎自行車同時從相距45千米的兩地相向而行，3小時相遇．甲比乙每小時多騎3千米，求甲、乙的速度各是多少？ 問題3：一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了2.5小時。已知水流的速度是3千米/時，求船在靜水中的平均速度以及兩個碼頭之間的航程。 解：設船在靜水中的平均速度為千米/時，依題意得 [練習三]一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了4小時；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了2.8小時。已知水流的速度是2千米/時，求船在靜水中的平均速度以及兩個碼頭之間的航程。 問題4：甲、乙兩人登一座山，甲每分登高10米，并且先出發(fā)30分，乙每分登高15米，兩人同時登上山頂。甲用多少時間登高？這座山有多高？ [練習四] 甲、乙兩人登一座山，甲每分登高16米，并且先出發(fā)兩分鐘，乙每分登高比甲快4米，兩人同時登上山頂。甲用多少時間登高？這座山有多高？ 問題5：從甲地到乙地的長途汽車需行駛7個小時，開通高速公路后，路程近了30千米，而平均速度每小時增加了30千米，只需4個小時即可到達。求甲乙兩地之間高速公路的路程。 解：設長途汽車的速度是每小時x千米，依題意得 ＝ 小結(jié)：用一元一次方程解答實際問題，關鍵在于抓住問題中有關數(shù)量的相等關系，列出方程.求得方程的解后，經(jīng)過檢驗，就可得到實際問題的解答. 這一過程也可以簡單地表述為： 其中分析和抽象的過程通常包括： （1）弄清題意和其中的數(shù)量關系，用字母表示適當?shù)? ； （2）找出問題所給出的數(shù)量相等關系，它反映了 與已知量之間的關系。 （3）對這個等量中涉及的量，列出所需的 ，根據(jù)等量關系得到方程。 [課后作業(yè)]1、一架飛機在兩城之間飛行，風速為24千米/時，順風飛行要2小時50分，逆風飛行要3小時，求無風時飛機的航速和兩城之間的航程。 2、甲、乙兩人從A、B兩地相向而行，上午8時同時出發(fā)，到上午10時，兩人還相距36千米，到中午12時，兩人又相距36千米。求A、B兩地間的距離。 3、運動場的跑道一圈長400米。甲練習騎自行車，平均每分騎350米，乙練習跑步，平均每分跑250米，兩人從同一處同時反向出發(fā)，經(jīng)過多少時間首次相遇？又經(jīng)過多少時間再次相遇？ 4、一名通訊員，騎自行車在規(guī)定時間內(nèi)把文件送到某處，如果他每小時騎行15公里，可以早到24分鐘，如果他每小時騎行12公里，那么遲到15分鐘，求通訊員到某處的距離。