二次函數(shù)全章學(xué)案.doc

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27.1二次函數(shù)(第1課時) 班級： 教學(xué)時間： 年 月 日 星期 第 節(jié) 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、 從實(shí)際情景中經(jīng)歷探索分析和建立兩個變量之間的二次函數(shù)關(guān)系的過程，進(jìn)一步體驗(yàn)如何用數(shù)學(xué)的方法去描述變量之間的數(shù)量關(guān)系。 2、 理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的形式。 3、 會建立簡單的二次函數(shù)的模型，并能根據(jù)實(shí)際問題確定自變量的取值范圍。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：通過具體問題引入二次函數(shù)的概念，在解決問題的過程中體會二次函數(shù)的意義． 4、 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的形式。 教學(xué)過程： 一、知識鏈接： 1.我們學(xué)過了哪些函數(shù)? ; 什么叫一次函數(shù)？(y=kx+b，其中k≠0)表達(dá)式中的自變量是 函數(shù)是 常量是 為什么要有k≠0的條件？ 2、請用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式表示下列問題中情景中的兩個變量y與x之間的關(guān)系： 1.面積y (cm2)與圓的半徑 x ( Cm )的關(guān)系 2.農(nóng)機(jī)廠第一個月水泵的產(chǎn)量為50(臺)第三個月的產(chǎn)量y(臺)與月平均增長率x之間的函數(shù)關(guān)系如何表示？函數(shù)關(guān)系式是y=50(1＋x)2，即y=50x2+100x+50. 3.正方形鐵片邊長為15cm，在四個角上各剪去一個邊長為x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一個無蓋的盒子．(1)求盒子的表面積S（cm2）與小正方形邊長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)小正方形邊長為3cm時，求盒子的表面積． 二．探究新知 觀察：以上幾個函數(shù)解析式具有哪些共同特征？ 雖然函數(shù)有一項(xiàng)的，兩項(xiàng)的或三項(xiàng)的，但自變量的最高次項(xiàng)的次數(shù)都是______次的整式。 二次函數(shù)的定義: 一般地，形如____________________________的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________． 1.請講出上述三個函數(shù)解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng) 2.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有 (1) (2) (3) （4） （5） （6） 三、例題精析 例1． m取哪些值時，函數(shù)是以x為自變量的二次函數(shù)？ 解: 延伸:已知函數(shù)是關(guān)于X的二次函數(shù)，求m的值 例2．寫出下列各函數(shù)關(guān)系，并判斷它們是什么類型的函數(shù)． （1）寫出圓的面積y（cm2）與它的周長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系 （2）某種儲蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不計(jì)利息，求本息和y（元）與所存年數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系； （4）菱形的兩條對角線的和為26cm，求菱形的面積S（cm2）與一對角線長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系． 四、課堂小結(jié)： 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念,判斷二次函數(shù)時，應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)a≠0及次數(shù) 五．鞏固新知： (A組) 1.下列函數(shù)中哪些是二次函數(shù)？哪些不是？若是二次函數(shù)，指出a、b、c． (1)y=1-3x2；(2)y=x(x-5)；　(3)y=3x(2-x)＋3x2；　(4)y＝(x＋2)(2-x)； (5)y=x4＋2x2＋1．(可指出y是關(guān)于x2的二次函數(shù)) 2、分別說出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)： （1） （2） （3） 3.已知函數(shù)， 當(dāng)m為何值時，這個函數(shù)是二次函數(shù)？當(dāng)m為何值時，這個函數(shù)是一次函數(shù)？ 4、若函數(shù)為二次函數(shù)，則m的值為 。 5.、已知二次函數(shù) 當(dāng)x=1時，函數(shù)值是4；當(dāng)x=2時，函數(shù)值是-5。求這個二次函數(shù)的解析式。 （B組） 1.已知二次函數(shù) ，當(dāng)x=2時，函數(shù)值是3；當(dāng)x=-2時，函數(shù)值是2。求這個二次函數(shù)的解析式。 2.寫出正方體的表面積S（cm2）與正方體棱長a（cm）之間的函數(shù)關(guān)系； 3．已知二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋3．當(dāng)x＝2時，y＝3，求 這個二次函數(shù)解析式． （C組） 1.用20米的籬笆圍一個矩形的花圃，設(shè)連墻的一邊為x,矩形的面積為y,求： (1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式. (2)當(dāng)x=3時,矩形的面積為多少? 解: 2，在Rt⊿ABC中，∠C=90，BC=4，AC=8，點(diǎn)D在斜邊AB上，分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，得四邊形DECF，設(shè)DE=x，DF=y． （1）用含y的代數(shù)式表示AE； （2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍； （3）設(shè)四邊形DECF的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系以及S的最大值． 解: 3.某化工材料經(jīng)銷公司購進(jìn)了一批化工原材料共7000千克，購進(jìn)價(jià)格為每千克30元，物價(jià)部門規(guī)定銷售單價(jià)不得高于70元/千克，也不得低于30元/千克，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)定為70元/千克時，日均銷售60千克；單價(jià)每降低1元，每天多銷售2千克，在銷售過程中，每天還需支出各種費(fèi)用500元（天數(shù)不足1天按1天計(jì)算）。設(shè)銷售單價(jià)為元/千克，日均獲利為元，求與之間的函數(shù)關(guān)系式。 27．2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1(第2課時) 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1．知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線； 2．會畫二次函數(shù)y＝ax2的圖象； 3．掌握二次函數(shù)y＝ax2的性質(zhì)，并會靈活應(yīng)用． 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握二次函數(shù)y＝ax2的性質(zhì)，并會靈活應(yīng)用．；學(xué)習(xí)難點(diǎn)：識圖能力的培養(yǎng) 一、 知識回顧： 1、二次函數(shù)的定義：一般地，形如y= 叫做二次函數(shù)。 2、二次函數(shù)的解析式：（1）一般形式： ；（2）特殊形式 3、如果函數(shù)是二次函數(shù)，那么m的值是（ ） 4、將函數(shù)y=（-2+3x）（5-x）化成一般形式是 。 5、畫函數(shù)圖象的步驟：（1） ；（2） ；（3） 。 前面學(xué)過，一次函數(shù)，反比例函數(shù)的圖象分別是 、 ，那么二次函數(shù)的圖象是什么呢？它有什么特點(diǎn)？ 二、實(shí)踐與探索 三、探索新知： 畫二次函數(shù)y＝x2的圖象． 【提示：畫圖象的一般步驟：①列表（取幾組x、y的對應(yīng)值；②描點(diǎn)（表中x、y的數(shù)值在坐標(biāo)平面中描點(diǎn)（x，y）；③連線（用平滑曲線）．】 列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 … … 描點(diǎn)，并連線 由圖象可得二次函數(shù)y＝x2的性質(zhì)： 1．二次函數(shù)y＝x2是一條曲線，把這條曲線叫做______________． 2．二次函數(shù)y＝x2中，二次函數(shù)a＝_______，拋物線y＝x2的圖象開口__________． 3．自變量x的取值范圍是____________． 4．觀察圖象，當(dāng)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)時，函數(shù)y值相等，所描出的各對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于________對稱，從而圖象關(guān)于___________對稱． 5．拋物線y＝x2與它的對稱軸的交點(diǎn)（ ， ）叫做拋物線y＝x2的_________． 因此，拋物線與對稱軸的交點(diǎn)叫做拋物線的_____________． 6．拋物線y＝x2有____________點(diǎn)（填“最高”或“最低”） ． 四、例題分析 例1 在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝x2，y＝x2，y＝2x2的圖象． 解：列表并填： x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y＝x2 … … y＝x2的圖象剛畫過，再把它畫出來． x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y＝2x2 … … 歸納：拋物線y＝x2，y＝x2，y＝2x2的二次項(xiàng)系數(shù)a_______0；頂點(diǎn)都是__________； 對稱軸是_________；頂點(diǎn)是拋物線的最_________點(diǎn)（填“高”或“低”） ． 例2 請?jiān)诶?的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝－x2，y＝－x2， y＝－2x2的圖象． 列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 … … x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y=－x2 … … x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y＝－2x2 … … 歸納：拋物線y＝－x2，y＝－x2， y＝－2x2的二次項(xiàng)系數(shù)a______0，頂點(diǎn)都是________， 對稱軸是___________，頂點(diǎn)是拋物線的最________點(diǎn)（填“高”或“低”） ． 五、理一理 1．拋物線y＝ax2的性質(zhì) 圖象（草圖） 開口 方向 頂點(diǎn) 對稱軸 有最高或最低點(diǎn) 最值 a＞0 當(dāng)x＝____時，y有最_______值，是______． a＜0 當(dāng)x＝____時，y有最_______值，是______． 2．拋物線y＝x2與y＝－x2關(guān)于________對稱，因此，拋物線y＝ax2與y＝－ax2關(guān)于_______ 對稱，開口大小_______________． 3．當(dāng)a＞0時，a越大，拋物線的開口越___________； 當(dāng)a＜0時，｜a｜ 越大，拋物線的開口越_________； 因此，｜a｜ 越大，拋物線的開口越________，反之，｜a｜ 越小，拋物線的開口越________． 注意:在列表、描點(diǎn)時，要注意合理靈活地取值以及圖形的對稱性，因?yàn)閳D象是拋物線，因此，要用平滑曲線按自變量從小到大或從大到小的順序連接． 例2．已知是二次函數(shù)，且當(dāng)時，y隨x的增大而增大． （1）求k的值；（2）求頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸． 試一試：已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)。（1）求m的值；（2）m為何值時，圖象有最高點(diǎn)？求出最高點(diǎn)的坐標(biāo)；此時，當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而減小。 例3．已知正方形周長為Ccm，面積為S cm2．（1）求S和C之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖象；（2）根據(jù)圖象，求出S=1 cm2時，正方形的周長； （3）根據(jù)圖象，求出C取何值時，S≥4 cm2． 分析 此題是二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題，解這類問題時要注意自變量的取值范圍；畫圖象時，自變量C的取值應(yīng)在取值范圍內(nèi)． C 2 4 6 8 … … 解 （1）由題意，得．列表 描點(diǎn)、連線，（2）根據(jù)圖象得S=1 cm2時，正方形的周長是 cm．（3）根據(jù)圖象得，當(dāng)C cm時，S≥4 cm2． 注意 ：（1）此圖象原點(diǎn)處為空心點(diǎn)；（2）橫軸、縱軸字母應(yīng)為題中的字母C、S，不要習(xí)慣地寫成x、y．（3）在自變量取值范圍內(nèi)，圖象為拋物線的一部分． 三、課堂練習(xí)： 1、在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）。 2、根據(jù)上題所畫的函數(shù)圖象填空：（1）拋物線的對稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，當(dāng)x 時，拋物線上的點(diǎn)都在x軸的上方；（2）拋物線的開口向 ，除頂點(diǎn)外，拋物線上的點(diǎn)都在x軸的 ，它的頂點(diǎn)是圖象的最 點(diǎn)。 3．（1）函數(shù)的開口 ，對稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ； （2）函數(shù)的開口 ，對稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ． 4、設(shè)圓的半徑為r，面積為s，s是r的函數(shù)。 （1）試寫出s關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出這個函數(shù)的圖象。 四、課堂小結(jié)：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)： 1、二次函數(shù)的主要特征：（1）是一條 ；（2）當(dāng)時，畫出圖象 ；當(dāng)時，畫出圖象 ；（3）當(dāng)時，開口方向 ，頂點(diǎn)坐標(biāo) ，對稱軸 ；當(dāng)時，開口方向 ，頂點(diǎn)坐標(biāo) ，對稱軸 ；（4）函數(shù)變化：當(dāng)時y隨x的增大而 ，當(dāng)時y隨x的增大而 ，當(dāng)x=0時， ；當(dāng)時y隨x的增大而 ，當(dāng)時y隨x的增大而 ，當(dāng)x=0時， 。 2、決定拋物線開口大小，越大，拋物線開口 。 五、作業(yè)：A組1．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象．（1）；（2） 2．填空：（1）拋物線，當(dāng)x= 時，y有最 值，是 ． （2）當(dāng)m= 時，拋物線開口向下．（3）已知函數(shù)是二次函數(shù)，它的圖象開口 ，當(dāng)x 時，y隨x的增大而增大． 3．已知拋物線中，當(dāng)時，y隨x的增大而增大． （1）求k的值； （2）作出函數(shù)的圖象（草圖）． 4．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，3），求當(dāng)y=9時，x的值． 5.已知點(diǎn)A（2，），B（4，）在二次函數(shù)的圖象上，則 . 6已知點(diǎn)A（－2，），B（4，）在二次函數(shù)的圖象上，則 . B組5．底面是邊長為x的正方形，高為0．5cm的長方體的體積為ycm3．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)圖象，求出y=8 cm3時底面邊長x的值；（4）根據(jù)圖象，求出x取何值時，y≥4．5 cm3． 6．二次函數(shù)與直線交于點(diǎn)P（1，b）．（1）求a、b的值； （2）寫出二次函數(shù)的關(guān)系式，并指出x取何值時，該函數(shù)的y隨x的增大而減小． 7、一個函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，y軸為對稱軸的拋物線，且過M（-2，2）． （1）求出這個函數(shù)的關(guān)系式并畫出函數(shù)圖象； （2）寫出拋物線上與點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求出⊿MON的面積． 第三課時 27．2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（2）(第3課時) 班級： 教學(xué)時間： 年 月 日 星期 第 節(jié) 教學(xué)目標(biāo)：會畫出這類函數(shù)的圖象，通過比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì)． 教學(xué)重點(diǎn)：通過畫圖得出二次函數(shù)性質(zhì) 教學(xué)難點(diǎn)：識圖能力的培養(yǎng) 教學(xué)過程： 一、銜接知識回顧： 1.一次函數(shù)的圖象 移動 單位，可得的圖象。 2.你能由此推測二次函數(shù)與的圖象之間的關(guān)系嗎？ ，那么與的圖象之間又有何關(guān)系？ 1．會畫二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象； 2．掌握二次函數(shù)y＝ax2＋k的性質(zhì)，并會應(yīng)用； 3．知道二次函數(shù)y＝ax2與y＝的ax2＋k的聯(lián)系． 二、新知自習(xí)探究：（學(xué)生先獨(dú)立完成下列題目） 例1．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)與的圖象． 解 列表． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 18 8 2 0 2 8 18 … … 20 10 4 2 4 10 20 … 描點(diǎn)、連線，畫出這兩個函數(shù)的圖象． 反思 1. 當(dāng)自變量x取同一數(shù)值時，這兩個函數(shù)的函數(shù)值之間有什么關(guān)系？ 2.反映在圖象上，相應(yīng)的兩個點(diǎn)之間的位置又有什么關(guān)系？ 探索 1.觀察這兩個函數(shù)，它們的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)有那些是相同的？ 又有哪些不同？ 2.你能由此說出函數(shù)與的圖象之間的關(guān)系嗎？ 例2、在同一直角坐標(biāo)系中，畫出二次函數(shù)y＝x2＋1，y＝x2－1的圖象． 解：先列表 x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2＋1 … … y＝x2－1 … … 描點(diǎn)并畫圖 觀察圖象得： 1． 開口方向 頂點(diǎn) 對稱軸 有最高（低）點(diǎn) 最值 y＝x2 y＝x2－1 y＝x2＋1 2．可以發(fā)現(xiàn)，把拋物線y＝x2向______平移______個單位，就得到拋物線y＝x2＋1；把拋物線y＝x2向_______平移______個單位，就得到拋物線y＝x2－1． 3．拋物線y＝x2，y＝x2－1與y＝x2＋1的形狀_____________． 三、理一理知識點(diǎn) 1． y＝ax2 y＝ax2＋k 開口方向 頂點(diǎn) 對稱軸 有最高（低）點(diǎn) 最值 a＞0時，當(dāng)x＝______時，y有最____值為________； a＜0時，當(dāng)x＝______時，y有最____值為________． 增減性 2．拋物線y＝2x2向上平移3個單位，就得到拋物線__________________； 拋物線y＝2x2向下平移4個單位，就得到拋物線__________________． 因此，把拋物線y＝ax2向上平移k（k＞0）個單位，就得到拋物線_______________； 把拋物線y＝ax2向下平移m（m＞0）個單位，就得到拋物線_______________． 3．拋物線y＝－3x2與y＝－3x2＋1是通過平移得到的，從而它們的形狀__________，由此可得二次函數(shù)y＝ax2與y＝ax2＋k的形狀__________________． 四、課堂鞏固訓(xùn)練 1．填表 函數(shù) 草圖 開口方向 頂點(diǎn) 對稱軸 最值 對稱軸右側(cè)的增減性 y＝3x2 y＝－3x2＋1 y＝－4x2－5 2．將二次函數(shù)y＝5x2－3向上平移7個單位后所得到的拋物線解析式為_________________． 3．寫出一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－3），開口方向與拋物線y＝－x2的方向相反，形狀相同的拋 物線解析式____________________________． 五．方法歸納： （a、k是常數(shù)，a≠0）的圖象的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)歸納如下： 開口方向 對稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) 六、作業(yè)：A 1．填表 函數(shù) 開口方向 頂點(diǎn) 對稱軸 最值 對稱軸左側(cè)的增減性 y＝－5x2＋3 y＝7x2－1 2．拋物線y＝－x2－2可由拋物線y＝－x2＋3向___________平移_________個單位得到的． 3．拋物線y＝－x2＋h的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），則h＝_______________． 4．拋物線y＝4x2－1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_____________，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_________． 5．拋物線的開口 ，對稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，它可以看作是由拋物線向 平移 個單位得到的． 6．函數(shù)，當(dāng)x 時，函數(shù)值y隨x的增大而減?。?dāng)x 時，函數(shù)取得最 值，最 值y= ． 7.已知拋物線y=mx2+n向下平移2個單位后得到的函數(shù)圖像是y=3x2-1,求m,n 的值. B、1．在同一直角坐標(biāo)系中與的圖象的大致位置是( ) 2．已知二次函數(shù)，當(dāng)k為何值時，此二次函數(shù)以y軸為對稱軸？寫出其函數(shù)關(guān)系式． 3．二次函數(shù)中，若當(dāng)x取x1、x2（x1≠x2）時，函數(shù)值相等，則當(dāng)x取x1＋x2時，函數(shù)值等于 。 4．拋物線y＝4x2＋1關(guān)于x軸對稱的拋物線解析式為______________________． 27．2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3）(第4課時) 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、會畫出這類函數(shù)的圖象，通過比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì)． 2．掌握二次函數(shù)y＝a（x-h）2的性質(zhì)，并要會靈活應(yīng)用； 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握二次函數(shù)y＝a（x-h）2的性質(zhì)，并要會靈活應(yīng)用 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：識圖能力的培養(yǎng) 一、 知識回顧： 一、知識回顧： 請?zhí)顚懴卤恚? 函數(shù) 開口方向 對稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) y的最值 增減性 在對稱軸左側(cè) 在對稱軸右側(cè) y=ax2 a＞0 a＜0 y=ax2+c a＞0 a＜0 我們已經(jīng)了解到，函數(shù)的圖象，可以由函數(shù)的圖象 平移 所得，那么函數(shù)的圖象，是否也可以由函數(shù)平移而得呢？畫圖試一試，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？ 二、實(shí)踐與探索 1. 函數(shù)y=(x+3)2的圖象與y=x2的圖象有什么關(guān)系？ (1)在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=x2和y=(x+3)2的圖象； 列表： x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=(x+3)2 … … 思考： （2）函數(shù)y=(x+3)2的圖象與y=x2的圖象的形狀相同嗎? （3）從表格中的數(shù)值看，函數(shù)y=(x+3)2的函數(shù)值與函數(shù)y=x2的函數(shù)值相等時,它們所對應(yīng)的自變量的值有什么關(guān)系? （4）從點(diǎn)的位置看，函數(shù)y=(x+3)2的圖象與函數(shù)y=x2的圖象的位置有什么關(guān)系？它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么? 結(jié)論:函數(shù)y=(x+3)2的圖象可以由函數(shù)y=x2的圖像沿x軸向 平移 個單位長度得到,所以它是 ,這條拋物線的對稱軸是 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,當(dāng)x 時,y隨x的增大而增大,當(dāng)x 時,y隨x的增大而減小. 2、在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=-3(x+1)2和y=-3(x-1)2的圖象，利用上面的方法觀察函數(shù)，y=-3(x+1)2 ，y=-3(x-1)2與函數(shù)y=x2的圖像的關(guān)系，與同學(xué)交流你的看法. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=(x-3)2 … … 觀察下圖,思考并回答下列問題: ①拋物線y=-3(x-1)2可以看作是拋物線y=-3x2沿x軸 平移了 個單位;拋物線y=-3(x+1)2可以看作是拋物線y=-3x2沿x軸 平移了 個單位. ②圖象向左平移還是向右平移,移多少個單位長度,有什么規(guī)律嗎? ③拋物線y=-3(x-1)2的頂點(diǎn)是 ;對稱軸是 ; 拋物線y=-3(x+1)2的頂點(diǎn)是 ;對稱軸是 . ④拋物線y=-3(x-1)2在對稱軸(x=1)的左側(cè),即當(dāng)x 時, y隨著x的增大而 ;在對稱軸(x=1)右側(cè),即當(dāng)x 時, y隨著x的增大而 .當(dāng)x= 時,函數(shù)y有最 值是 ; 拋物線y=-3(x+1)2在對稱軸(x=-1)的左側(cè),即當(dāng)x< 時, y隨著x的增大而 ;在對稱軸(x=-1)右側(cè),即當(dāng)x 時, y隨著x的增大而 .當(dāng)x= 時,函數(shù)y有最 值是 . 三、整理知識點(diǎn) 1． y＝ax2 y＝ax2＋k y＝a (x-h)2 開口方向 頂點(diǎn) 對稱軸 最值 增減性 （對稱軸左側(cè)） 2．對于二次函數(shù)的圖象，只要｜a｜相等，則它們的形狀_________，只是_________不同． 四、課堂訓(xùn)練 1．填表 圖象（草圖） 開口 方向 頂點(diǎn) 對稱軸 最值 對稱軸 右側(cè)的增減性 y＝x2 y＝－5 (x＋3)2 y＝3 (x－3)2 2．拋物線y＝4 (x－2)2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是___________，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為________． 3．把拋物線y＝3x2向右平移4個單位后，得到的拋物線的表達(dá)式為____________________． 把拋物線y＝3x2向左平移6個單位后，得到的拋物線的表達(dá)式為____________________． 4．將拋物線y＝－(x－1)x2向右平移2個單位后，得到的拋物線解析式為____________． 5．寫出一個頂點(diǎn)是（5，0），形狀、開口方向與拋物線y＝－2x2都相同的二次函數(shù)解析式 ___________________________． （1）二次函數(shù)y=2（x+5）2的圖像是 ，開口 ，對稱軸是 ，當(dāng)x= 時，y有最 值，是 . （2）二次函數(shù)y=-3（x-4）2的圖像是由拋物線y= -3x2向 平移 個單位得到的；開口 ，對稱軸是 ，當(dāng)x= 時，y有最 值，是 . （3）將二次函數(shù)y=2x2的圖像向右平移3個單位后得到函數(shù) 的圖像，其對稱軸是 ，頂點(diǎn)是 ，當(dāng)x 時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x 時，y隨x的增大而減小. ⑷將二次函數(shù)y= -3（x-2）2的圖像向左平移3個單位后得到函數(shù) 的圖像，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，對稱軸是 ，當(dāng)x= 時，y有最 值，是 . （5）將函數(shù)y=3（x－4）2的圖象沿x軸對折后得到的函數(shù)解析式是 ；將函數(shù)y=3（x－4）2的圖象沿y軸對折后得到的函數(shù)解析式是 ； （6）把拋物線y=a（x-4）2向左平移6個單位后得到拋物線y=- 3（x-h）2的圖象，則 a= ，h= .若拋物線y= a（x-4）2的頂點(diǎn)A，且與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y= - 3（x-h）2的頂點(diǎn)是M，則SΔMAB= . （7）將拋物線y=2x2－3先向上平移3單位，就得到函數(shù) 的圖象，在向 平移 個單位得到函數(shù)y= 2（x-3）2的圖象. （8）函數(shù)y=3（x+6）2的圖象是由函數(shù) 的圖象向左平移5個單位得到的，其圖象開口向 ，對稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，當(dāng)x 時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x= 時，y有最 值是 . 五、課內(nèi)小結(jié)：見（三） 六、課外作業(yè)： A1．拋物線y＝2 (x＋3)2的開口______________；頂點(diǎn)坐標(biāo)為__________________；對稱軸是_________；當(dāng)x＞－3時，y______________；當(dāng)x＝－3時，y有_______值是_________． 2．拋物線y＝m (x＋n)2向左平移2個單位后，得到的函數(shù)關(guān)系式是y＝－4 (x－4)2，則 m＝__________，n＝___________． 3．若將拋物線y＝2x2＋1向下平移2個單位后，得到的拋物線解析式為_______________． 4．若拋物線y＝m (x＋1)2過點(diǎn)（1，－4），則m＝_______________． 5．拋物線y=2(x-3)的開口方向是 ，對稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，它可以看作是由拋物線y= 向 平移 個單位得到的． 6．函數(shù)y= -2x，當(dāng)x 時，函數(shù)值y隨x的增大而減小．當(dāng)x 時，函數(shù)取得最 值，最 值y= ． 5.函數(shù)y= -5(x -4)2的圖象?？梢杂蓲佄锞€y= 向 平移 4 個單位. 6.拋物線y=3(x-4)向 平移 個單位得到拋物線y=3(x+1). 7.已知拋物線y= -2(x-3),當(dāng)x>3時，y隨x的增大而 . 8．將拋物線y=ax向左平移后所得新拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為 -2，且新拋物線經(jīng)過點(diǎn) （1，3），求a的值． 9．二次函數(shù)y=a(x-h)的圖象如圖,已知a=,OA＝OC，試求該拋物線的解析式。 27．2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（4）(第5課時) 教學(xué)時間：班級： 教學(xué)時間： 年 月 日 星期 第 節(jié) 教學(xué)目標(biāo)： 1．掌握把拋物線平移至+k的規(guī)律； 2．會畫出+k 這類函數(shù)的圖象，通過比較，掌握這類函數(shù)的性質(zhì)． 教學(xué)重點(diǎn)：通過畫圖得出二次函數(shù)性質(zhì) 教學(xué)難點(diǎn)：識圖能力的培養(yǎng) 教學(xué)過程： 一、知識銜接 由前面的知識，我們知道，函數(shù)的圖象，向上平移2個單位，可以得到函數(shù)________________()的圖象；函數(shù)的圖象，向右平移3個單位，可以得到函數(shù)_________________()的圖象，那么函數(shù)的圖象，如何平移，才能得到函數(shù)的圖象呢？ 二、實(shí)踐與探索 例1．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象． ，，，并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)． 解 列表． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 2 0 2 … … 8 2 0 2 … … 6 0 -2 0 … 描點(diǎn)、連線，畫出這三個函數(shù)的圖象． 它們的開口方向都向 ，對稱軸分別為 、 、 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 、 、 ． 并觀察三個圖象之間的關(guān)系．,把函數(shù)y=的圖象沿x軸向 平移 個單位長度,可得的圖象;再把函數(shù)的圖象沿y軸方向向 平移 個單位長度就可以得到函數(shù)的圖象. 即．把拋物線y＝－x2向_______平移______個單位，再向_______平移_______個單位，就得到拋物線y＝－(x＋1)2－1． 三、歸納 1. 二次函數(shù)的圖象的上下平移，只影響二次函數(shù)+k中______________________的值；左右平移，只影響__________________________的值，拋物線的____ _________________不變，所以平移時，可根據(jù) ______________的改變，確定平移前、后的函數(shù)關(guān)系式及平移的路徑． 2、理一理知識點(diǎn) y＝ax2 y＝ax2＋k y＝a (x-h)2 y＝a (x－h(huán))2＋k 開口方向 頂點(diǎn) 對稱軸 最值 增減性 （對稱軸右側(cè)） 3．拋物線y＝a (x－h(huán))2＋k與y＝ax2形狀___________，位置________________． 例2．把拋物線向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到拋物線，求b、c的值． 四、課堂練習(xí) 1． y＝3x2 y＝－x2＋1 y＝(x＋2)2 y＝－4 (x－5)2－3 開口方向 頂點(diǎn) 對稱軸 最值 增減性 （對稱軸左側(cè)） 2．y＝6x2＋3與y＝6 (x－1)2＋10_____________相同，而____________不同． 3．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，3），開口方向和大小與拋物線y＝x2相同的解析式為（ ） A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x＋2)2－3 C．y＝(x＋2)2＋3 D．y＝－(x＋2)2＋3 4．二次函數(shù)y＝(x－1)2＋2的最小值為__________________． 5．將拋物線y＝5(x－1)2＋3先向左平移2個單位，再向下平移4個單位后，得到拋物線的解析式為_______________________． 6．若拋物線y＝ax2＋k的頂點(diǎn)在直線y＝－2上，且x＝1時，y＝－3，求a、k的值． 7．若拋物線y＝a (x－1)2＋k上有一點(diǎn)A（3，5），則點(diǎn)A關(guān)于對稱軸對稱點(diǎn)A’的坐標(biāo)為 __________________． 五、作業(yè)： 1．將拋物線如何平移可得到拋物線 2．把拋物線向左平移3個單位，再向下平移4個單位，所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 ． 4.已知函數(shù)。 （1） 確定此拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)； ． （2） 當(dāng)x= 時，拋物線有最 值，是 。 （3） 當(dāng)x 時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x 時，y隨x的增大而減小。 （4） 求出該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)； ． （5） 求出該拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)； ． （6） 該函數(shù)圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的平移得到的？ ． 5.已知函數(shù)。 （1） 指出函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2） 若圖象與x軸的交點(diǎn)為A、B和與y軸的交點(diǎn)C，求△ABC的面積； （3） 指出該函數(shù)的最值和增減性； （4） 若將該拋物線先向右平移2個單位，在向上平移4個單位，求得到的拋物線的解析式； （5） 該拋物線經(jīng)過怎樣的平移能經(jīng)過原點(diǎn)。 （6） 畫出該函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時，函數(shù)值大于0；當(dāng)x取何值時，函數(shù)值小于0。 27.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（5）(第6課時) 班級： 教學(xué)時間： 年 月 日 星期 第 節(jié) 教學(xué)目標(biāo)： 1．能通過配方把二次函數(shù)化成+k的形式，從而確定開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)； 2．會利用對稱性畫出二次函數(shù)的圖象． 教學(xué)重點(diǎn)：通過畫圖得出二次函數(shù)性質(zhì) 教學(xué)難點(diǎn)：識圖能力的培養(yǎng)、配方法、數(shù)形結(jié)合思想。 教學(xué)過程： 一、知識回顧 我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)的圖象，可以由函數(shù)的圖象先向 平移 個單位，再向 平移 個單位得到，因此，可以直接得出：函數(shù)的開口 ，對稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ．那么，對于任意一個二次函數(shù)，如，你能很容易地說出它的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？ 二、自主學(xué)習(xí)探究 問題1．通過配方，確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再描點(diǎn)畫圖． 可啟發(fā)：通過變形能否將y=ax+bx+c轉(zhuǎn)化為y = a(x-h)2 +k的形式 ？ 解： =-2（x-2 x-3） =-2（x-2 x+1-4） =-2（x-2 x+1）+8 =-2（x-1）+8 所以，函數(shù)的圖像開口 ，對稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ， ）． 問題2：求二次函數(shù)y=ax+bx+c （ a≠0 ）的對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么？ 并畫出草圖討論它的增減性。 = 由此可見函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的形狀、開口方向均相同，只是位置不同，可以通過平移得到。 2、二次函數(shù)的圖性質(zhì)： （1）二次函數(shù) ( a≠0)的圖象是一條拋物線； （2）對稱軸是直線x= ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是為（， ） (3)當(dāng)a>0時，拋物線的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線上的最低點(diǎn)。 當(dāng)a<0時，拋物線的開口向下，頂點(diǎn)是拋物線上的最高點(diǎn)。 (4).增減性與最值 當(dāng)a ﹥0時，在對稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，y隨著x的增大而增大；當(dāng) 時，函數(shù)y有最小值 。 當(dāng)a ﹤0時，在對稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而減小。當(dāng) 時，函數(shù)y有最大值 三、例題及同類題型 例1．利用配方法，把下列函數(shù)寫成+k的形式，并寫出它們的圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．并畫出草圖討論它的增減性 （1） （2） 例2．已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，求的值． 分析：因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，所以將進(jìn)行配方后得，。其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ） 此頂點(diǎn)要在坐標(biāo)軸上,即= ，或= 。所以= ,= 解：略 四、歸納小結(jié)： y＝ax2 y＝ax2＋k y＝a(x－h(huán))2 y＝a(x－h(huán))2＋k y＝ax2＋bx＋c 開口方向 頂點(diǎn) 對稱軸 最值 增減性 （對稱軸左側(cè)） 五、課堂練習(xí) 1．用配方法求二次函數(shù)y＝－2x2－4x＋1的頂點(diǎn)坐標(biāo)． 2．用兩種方法求二次函數(shù)y＝3x2＋2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)． 3．二次函數(shù)y＝2x2＋bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，－2），則b＝________，c＝_________． 4．已知二次函數(shù)y＝－2x2－8x－6，當(dāng)___________時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＝________時，y有_________值是___________． 5．二次函數(shù)y＝－x2＋mx中，當(dāng)x＝3時，函數(shù)值最大，求其最大值． 六、延伸設(shè)計(jì)： A組 1．（1）二次函數(shù)的對稱軸是 ． （2）二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)是 ，當(dāng)x 時，y隨x的增大而減小． （3）拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是-2，則= ． （4）拋物線可由拋物線向 平移 個單位，再向 平移 個單位而得到． 2．拋物線的頂點(diǎn)是，則、c的值是多少？ 3．已知拋物線，求出它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出函數(shù)的圖象． B組 5．拋物線是由拋物線向上平移3個單位，再向左平移2個單位得到的，求b、c的值． 7．當(dāng)時，求拋物線的頂點(diǎn)所在的象限． 8. 已知拋物線的頂點(diǎn)A在直線上，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo) 9.拋物線y= (k2-2)x2+m-4kx的對稱軸是直線x=2，且它的最低點(diǎn)在直線y= -+2上，求函數(shù)解析式。 10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)（1，0）（0，3），對稱軸x= -1。①求函數(shù)解析式②若圖象與x軸交于A、B（A在B左）與y軸交于C,頂點(diǎn)D，求四邊形ABCD的面積。 11.拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B. （1）求拋物線的解析式； （2）P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且△PAB是等腰三角形，試求點(diǎn)P的坐標(biāo). 27.3二次函數(shù)與一元二次方程(1) (第7課時) 一、學(xué)習(xí)目標(biāo): 1、經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的過程，體會方程與函數(shù)之間的關(guān)系。 2、理解二次函數(shù)的圖象與x軸公共點(diǎn)的個數(shù)與相應(yīng)的一元二次方程根的對應(yīng)關(guān)系。 3、進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法。 二、知識回顧： 1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)中：當(dāng)Δ=>0時，一元二次方程有_______________， 當(dāng)Δ==0時，一元二次方程有_______________， 當(dāng)Δ=<0時，一元二次方程有_______________， 2、將代數(shù)式x2-2x-3分解因式： 一元二次方程x2-2x-3=0 的根為： 3．二次函數(shù)y=x2-2x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______________，對稱軸為______________． 三、思考與探索： （一）思考：二次函數(shù)y=x2-2x-3與一元二次方程x2-2x-3=0有怎樣的關(guān)系？ 1、從關(guān)系式看二次函數(shù)y=x2-2x-3成為一元二次方程x2-2x-3=0的條件是什么？ 2、反應(yīng)在圖象上：觀察二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象，你能確定一元二次方程 x2-2x-3=0的根嗎？ 3、結(jié)論： 一般地，如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點(diǎn)（x1,0）、(x2,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x=x1、x=x2。反過來也成立。 4、觀察與思考： 觀察下列圖象： （1）觀察函數(shù)y= x2-6x+9與y= x2-2x+3的圖象與x軸的公共點(diǎn)的個數(shù)； （2）判斷一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情況； （3）你能利用圖象解釋一元二次方程的根的不同情況嗎？ 四、歸納： 一般地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下關(guān)系： 1、如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸有兩個交點(diǎn)（m,0）、(n,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有 實(shí)數(shù)根x1= ,x2= . 2、如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸有一個交點(diǎn)（m,0）,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有 實(shí)數(shù)根x1=x2= . 3、如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸沒有交點(diǎn),那么一元二次方程ax2+bx+c=0 實(shí)數(shù)根. 反過來，由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況可以判斷二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)。 當(dāng)Δ=>0時，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況是 ，此時二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸有 交點(diǎn)； 當(dāng)Δ==0時，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況是 ，此時二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸有 交點(diǎn)； 當(dāng)Δ=<0時，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況是 ，此時二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸有 交點(diǎn). 五、隨堂練習(xí)： 1、根據(jù)圖象回答下列問題． 如圖由圖可得： a_______0 b_______0 c_______0 △______0 2．如圖：由圖可得： a_______0 b_______0 c_______0 △＝b2－4ac______0 3．如圖， 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解為________________ 4、不畫圖象 求函數(shù)y=-x2+x+6與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 與y軸交點(diǎn)坐標(biāo) 求y＝x2－2x－3與x軸交點(diǎn)坐標(biāo) 與y軸交點(diǎn)坐標(biāo) 求拋物線y＝x2－2x－3與x軸交點(diǎn)坐標(biāo) 與y軸交點(diǎn)坐標(biāo) 5、判斷下列函數(shù)的圖象與x軸是否有公共點(diǎn)，說明理由. （1）y=x2-x (2)y=-x2+6x-9 (3)y=3x2+6x+11 6、已知二次函數(shù)y＝x2＋kx＋9．①當(dāng)k為何值時，對稱軸為y軸； ②當(dāng)k為何值時，拋物線