基于MATLAB的數(shù)值分析.ppt

《基于MATLAB的數(shù)值分析.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《基于MATLAB的數(shù)值分析.ppt（33頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第三章線性代數(shù) 3 1常用矩陣函數(shù) norm 矩陣或向量范數(shù) Forvectors norm V P sum abs V P 1 P norm V norm V 2 norm V inf max abs V norm V inf min abs V 例x 12345 x 120300405 x 100002000300405 norm x 1 norm x 2 norm x 3 norm x inf 例 不同范數(shù)意義下的單位圓運行以下Matlab程序 文件名為 normpolt m描繪norm x 1 1 norm x 2 1 norm x inf 1的圖形 Formatrices norm X isthelargestsingularvalueofX max svd X norm X 2 isthesameasnorm X norm X 1 isthe1 normofX thelargestcolumnsum max sum abs X norm X inf istheinfinitynormofX thelargestrowsum max sum abs X norm X fro istheFrobeniusnorm sqrt sum diag X X norm X P isavailableformatrixXonlyifPis1 2 infor fro 例x 120300 400506 708009 norm x 1 norm x 2 norm x inf norm x fro dot x y 向量的內(nèi)積det A 方陣的行列式 rank A 矩陣的秩 trace A 矩陣的跡 rref A 初等變換化矩陣A為階梯矩陣inv A 矩陣的逆 即A 1pinv A 矩陣的廣義逆A null A 零空間的基陣roth A 值空間的基陣orth A 將A標(biāo)準(zhǔn)正交化cond A flag 矩陣的條件數(shù) flag 2 1 inf fro 例 分別求x 1378 2 y 393 39 的長度與它們的夾角 x 1378 2 y 393 39 xx norm x 2 yy norm y 2 theta acos dot x y xx yy s xx yy theta 例 給定一組線性無關(guān)的向量 將其標(biāo)準(zhǔn)正交化a magic 5 b orth a d eig A 方陣的特征值 V D eig A A V V D V J jordan A A V V Jc condeig A 向量c中包含矩陣A關(guān)于各特征值的條件數(shù) V D c condeig A 例 A 100 120 123 d eig A V D eig A C condeig A V D C condeig A 例 觀察7階隨機(jī)矩陣特征值的分布a rands 7 7 產(chǎn)生7階隨機(jī)矩陣e eig a title 特征值的分布 plot real e imag e o xlabel 實軸 ylabel 虛軸 注 本例驗證了如下定理 實方陣的特征值或為實數(shù)或呈共軛對出現(xiàn) 例 觀察正交矩陣的特征值分布a rands 7 7 b orth a 構(gòu)造一個正交矩陣theta 0 0 01 2 pi e eig b plot real e imag e r cos theta sin theta axisequaltitle 正交矩陣特征值的分布 xlabel 實軸 ylabel 虛軸 注 本例驗證了正交矩陣的特征值分布在復(fù)平面的單位圓上 例 矩陣范數(shù)與譜半徑之間的關(guān)系 觀察所有特征值的分布是否在半徑為 A 的復(fù)單位圓內(nèi) a rands 7 7 phro norm normspet a p p 1 2 inf 3 2矩陣的運算 一 矩陣的轉(zhuǎn)置 乘積 逆 A 100 120 123 A trans A H 123 210 123 K 123 210 231 HK H KH inv inv H K inv K 1 二 矩陣的左除和右除 左除 求矩陣方程AX B的解 A B的行要保持一致 解為X A B 當(dāng)A為方陣且可逆時有X A B inv A B 右除 求矩陣方程XA B的解 A B的列要保持一致 解為X B A 當(dāng)A為方陣且可逆時有X B A B inv A 例 求逆 法和 左除 法解恰定方程的性能對比 1 構(gòu)造一個條件數(shù)很大的高階恰定方程randn state 0 A gallery randsvd 100 2e13 2 x ones 100 1 b A x cond A ans 1 9990e 013 2 用 求逆 法求解ticxi inv A b ti toceri norm x xi rei norm A xi b norm b ti 0 4400eri 0 0469rei 0 0047 3 用 左除 法求解tic xd A b td toc erd norm x xd red norm A xd b norm b td 0 0600erd 0 0078red 2 6829e 015 ti 0 4400eri 0 0469rei 0 0047 求矩陣方程 設(shè)A B滿足關(guān)系式 AB 2B A 求B 其中A 301 110 014 解 有 A 2I B A程序 A 301 110 014 B inv A 2 eye 3 A BB A 2 eye 3 A觀察結(jié)果 三 矩陣函數(shù)的計算 給定n階方陣A 求exp A sqrt A log A 矩陣函數(shù)的Matlab函數(shù)分別為expm A sqrtm A logm A 例 求三個特殊矩陣函數(shù)a magic 3 e expm a 求矩陣函數(shù)ee exp a 求矩陣中每個元素的函數(shù)值s sqrtm a ss sqrt a l logm a ll log a L U P lu A PA LUr chol A A LLT r LT Q R qr A Q R qr A 0 A QR U S V svd A A USVT Q R schur A QTAQ R P H hess A PAP 1 H 3 3常用矩陣分解函數(shù) 實方陣的初等化簡分解 A1 313 252 123 L U lu A1 A2 112 123 121 116 Q R qr A2 Q1 R1 qr A2 0 A3 211 14 1 1 13 r chol A3 奇異值分解 A 11 11 00 U D V svd A U1 D1 V1 svd A 0 實方陣的正交相似化簡 Q R schur A A1 310 4 10 48 2 Q1 R1 schur A1 A2 9 314930 1000 1100 0010 Q2 R2 schur A2 A3 211 14 1 1 13 Q3 R3 schur A3 實方陣的上Hessenberg分解 P H hess A A1 310 4 10 48 2 P H hess A1 P H inv P 3 4稀疏矩陣 一 稀疏矩陣的特點和存儲 在編輯器內(nèi)建立一個數(shù)據(jù)文本文件 st m行列aij11321212122132542134332 loadst m sa spconvert st sa 1 1 3 2 1 2 1 2 1 2 2 1 3 2 5 4 2 1 2 3 4 3 3 2 二 稀疏矩陣的運算 例 a full sa a 310214052010 pa 0100 10000001 0010 pa 0100100000010010 pa saans 214310010052 1 稀疏矩陣的初等變換 行初等變換 pv 2143 s1 sa pv 列初等變換 pv 213 s2 sa pv s1 spa sas1 1 1 2 2 1 3 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 5 1 3 4 4 3 2 spa sparse pa spa 2 1 1 1 2 1 4 3 1 3 4 1 2 稀疏矩陣的特殊運算函數(shù) P394 3 稀疏矩陣的分解函數(shù) L U P lu sa L U luinc sa 0 r chol sa r cholinc sa 0 Q R qr sa eigs sa svds sa 例A 41000 14100 01410 00141 00014 sa sparse A L U P lu sa 用下面例子說明稀疏矩陣的處理優(yōu)點 xs m 設(shè)n 3000 輸入n 3000 b 1 n a1 sparse 1 n 1 n 1 n n a2 sparse 2 n 1 n 1 1 n n a 4 a1 a2 a2 輸出用稀疏矩陣求解的時間t1tic x a b t1 tocaa full a 輸出用滿矩陣求解的時間t2tic xx aa b t2 toc 為檢驗x與xx是否相同分別輸出其分量之和y sum x yy sum xx 結(jié)果y與yy相同 而t1與t2相差巨大 1 不用預(yù)優(yōu)矩陣的共軛斜量法x pcg a b tol kmax 2 用預(yù)優(yōu)矩陣的共軛斜量法 1 x pcg a b tol kmax m 2 r chol m x pcg a b tol kmax r r x0 3 未給定預(yù)優(yōu)矩陣的共軛斜量法r cholinc sa 0 x pcg a b tol kmax r r x0 3 5用預(yù)條件共軛斜量法求解線性方程組 其中a m為對稱正定矩陣 1 不用預(yù)優(yōu)矩陣的雙共軛梯度法x bicg a b tol kmax 2 用預(yù)優(yōu)矩陣的雙共軛梯度法 l u lu m x bicg a b tol kmax l u x0 3 未給定預(yù)優(yōu)矩陣的雙共軛梯度法 l u luinc sa 0 x bicg a b tol kmax l u x0 3 6求解大型稀疏非對稱正定的線性方程組 一 雙共軛梯度法 二 廣義極小殘差法gmres 3 7不可解問題 例 考察下面三個線性方程組的解 A1 x y 1 A2 x y 1 A3 x 2y 2 2x 2y 2 x y 0 x y 12x y 0 A1 11 22 b1 1 2 x1 A1 b1A10 11 b10 1 x10 A10 b10 A2 11 11 b2 1 0 x2 A2 b2 A3 12 11 2 1 b3 2 1 0 x3 A3 b3 注 系數(shù)矩陣A必須是行滿秩或列滿秩 3 8病態(tài)問題 例 考察舍入誤差對線性方程組解的影響0 12065x 0 98775y 2 010450 12032x 0 98755y 2 00555 A 0 120650 98775 0 120320 98755 b 2 01045 2 00555 x A b A 0 120650 98775 0 120320 98755 b1 2 01145 2 00555 x1 A b1 A1 0 121650 98775 0 120320 98755 b 2 01144 2 00555 x2 A1 b