上海交大概率統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí).ppt

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地點(diǎn)閔行中院 312 9 00 11 00 18 00 20 00 期末答疑安排 6月19日 6月20日 6月21日 13 00 16 00 18 00 20 00 18 00 20 00 古格王朝遺址 白云壓住高山湖 王 宏 衛(wèi) 崗巴拉山海拔4852m 西 藏 的 圖 騰 概率統(tǒng)計(jì) 復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)2 各章比重 第一章 16 第二章 11 第三章 13 第四章 13 第五章 15 第六章 3 第七章 17 第八章 12 概率 68 統(tǒng)計(jì) 32 題型題量 25 是非題 6 7 選擇題 5 6 填空題 5 6 計(jì)算題 5 6 證明題 0 1 各章要點(diǎn) 第一章 1 概率性質(zhì)古典概率 2 條件概率 乘法公式 全 貝公式 3 事件獨(dú)立性 第二章 1 分布律分布函數(shù)定義性質(zhì) 2 七個(gè)常用分布 P 159表格 3 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 一二章 例1 例1 1 在古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)中 2 若事件A B C D相互獨(dú)立 則 事件 若事件A1 A2 An相互獨(dú)立 將它們?nèi)我夥殖蒶組 同一事件不能同時(shí)屬于兩個(gè)不同的組 則對每組事件進(jìn)行求和 積 差 逆等運(yùn)算所得到的k個(gè)事件也相互獨(dú)立 3 若事件A與B獨(dú)立 B與C獨(dú)立 則事件A與C也相互獨(dú)立 事件相互獨(dú)立不具有傳遞性 例2 例2 對任意事件A B下列結(jié)論正確的是 a b c d 解 選b d c顯然錯(cuò) 可證b是對的 b 例3小王忘了朋友家電話號(hào)碼的最后一位 數(shù) 故只能隨意撥最后一個(gè)號(hào) 則他撥三次 由乘法公式 設(shè)事件表示 三次撥號(hào)至少一次撥通 表示 第i次撥通 則 解 例3 可撥通朋友家的概率為 0 3 例4小王忘了朋友家電話號(hào)碼的最后一位 數(shù) 他只能隨意撥最后一個(gè)號(hào) 他連撥三次 由乘法公式 設(shè) 表示 第i次撥通 解一 例4 求第三次才撥通的概率 解二 從題目敘述看要求的是無條件概率 產(chǎn)生誤解的原因是未能仔細(xì)讀題 未能分清條件概率與無條件概率的區(qū)別 本題若改敘為 他連撥三次 已 知前兩次都未撥通 求第三次撥通的概率 此時(shí) 求的才是條件概率 例5 例510件產(chǎn)品中有3件次品 從中任取2件 在所取2件中有一件是次品的條件下 求 另一件也是次品的概率 解1 設(shè)事件表示 所取2件中有一件次品 事件表示 另一件也是次品 則 解2 某廠卡車運(yùn)送防 非典 用品下鄉(xiāng) 頂層裝10個(gè)紙箱 其中5箱民用口罩 2箱醫(yī)用口罩 3箱消毒棉花 到目的地時(shí)發(fā)現(xiàn)丟失1箱 不知丟失哪一箱 現(xiàn)從剩下9箱中任意打開2箱 結(jié)果都是民用口罩 求丟失的一箱也是民用口罩的概率 例6 例6 表示事件 丟失的一箱為k 表示事件 任取2箱都是民用口罩 解 分別表示民用口罩 醫(yī)用 口罩 消毒棉花 由全概率公式 由貝葉斯公式 解二 縮減樣本空間法 去掉打開的2箱民用口罩 解二比解一簡單十倍 基本事件總數(shù) 有利的基本事件數(shù) 例7 1 是的密度函數(shù)則 2 若 則 事實(shí)上由 2 4得非均勻分布函數(shù) 3 若 則 例7 例8 內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率 例8設(shè)隨機(jī)變量的絕對值不大于1 在事件出現(xiàn)的條件下 與該子區(qū)間的長度成正比 1 的分布函數(shù) 2 取負(fù)值的概率 解 1 2 在 試求 的三性質(zhì)都不滿足 單調(diào)減 右不連續(xù) 未定義 分布函數(shù)三性質(zhì) 解 當(dāng) 當(dāng)推導(dǎo)較復(fù)雜先做準(zhǔn)備工作 由題設(shè)知 設(shè) 于是 上式中令得 又 于是當(dāng)時(shí) 2 由題設(shè)得 附 k的另一求法 落入?yún)^(qū)間 1 3 的概率最大 例9設(shè)當(dāng)時(shí) 令 解 例9 第三章 2 邊緣分布條件分布 3 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 第四章 1 期望方差定義性質(zhì) 2 相關(guān)系數(shù)相關(guān)性 3 期望的應(yīng)用 1 聯(lián)合分布律分布函數(shù)定義性質(zhì) 4 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 三四章 例10設(shè)獨(dú)立同分布 且已知 求行列式的概率分布 解 令則獨(dú)立同分布 可能取值為則 例10 練4 求的概率分布 答案 具體推導(dǎo) 設(shè)A B為隨機(jī)試驗(yàn)E的兩個(gè)事件 0 P A 1 0 P B 1 書例 證明 若 XY 0 則隨機(jī)變量X Y相互獨(dú)立 證由 XY 0 而 令 書例 錯(cuò)誤原因 而這并不表明X Y相互獨(dú)立 即 本題要證明離散隨機(jī)變量X Y相互 獨(dú)立 必需證明如下四個(gè)等式都成立 正確證明 由題設(shè)得 X Y 的聯(lián)合分布 由 同理可證 故X Y相互獨(dú)立 由于事件A B相互獨(dú)立 必有 也相互獨(dú)立 即 二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 的p d f 練 練習(xí) 設(shè)隨機(jī)變量 均勻分布 指數(shù)分布 且它們相互獨(dú)立 試求的密度函數(shù) 答案 判斷獨(dú)立性的簡便方法 已知聯(lián)合分布 判斷是否獨(dú)立需要做次 加法和乘法 共需運(yùn)算13次 判獨(dú)立例11 解 一眼看出 命題 求表內(nèi)各 練習(xí) 字母值 使 獨(dú)立 練習(xí) 解 由題意應(yīng)有 從而有右表 由歸一性得 3 1 由 1 得 2 聯(lián)立 2 3 得 或 設(shè) 或 0 480 320 20 0 0625 0 4375 0 5 經(jīng)檢驗(yàn) 正確 例12 例12設(shè)隨機(jī)變量X Y相互獨(dú)立 且都服 求 從 解 當(dāng)時(shí) 由獨(dú)立性 當(dāng)時(shí) 所以 由于X Y的隨機(jī)性 故不能保證恒有 或 解 由于相互獨(dú)立的正態(tài)變量的線性組合 仍是正態(tài)變量 故 本題設(shè)是關(guān)鍵 若不然 雖能算出但很難算 例13卡車裝運(yùn)水泥 設(shè)每袋重量 gk X服從 例13 問裝多少袋水泥 使總重量 超過2000的概率不大于0 05 解一 設(shè)裝m袋水泥 總重量為mX 據(jù)題設(shè)有 所以至多裝43袋水泥 要學(xué)會(huì)對答案的粗略檢驗(yàn) 解二 設(shè)裝m袋水泥 總重量為mX 據(jù)題設(shè)有 所以至多裝37袋水泥 要徹底的隨機(jī) 解 設(shè)裝m袋水泥 表示第袋水泥重量 于是總重量為 所以至多裝39袋水泥 第五章 1 切貝雪夫不等式 2 中心極限定理的應(yīng)用 第六章 1 統(tǒng)計(jì)量總體樣本及其空間 2 常用 三抽樣分布 定義性質(zhì)各分布分位點(diǎn)定義及相互關(guān)系 五六章 例14 例14 某大賣場某種商品價(jià)格波動(dòng)為隨機(jī) 變量 設(shè)第i天 較前一天 的價(jià)格變化為 獨(dú)立同分布 為 元 斤 為現(xiàn)在的 價(jià)格 第n天的價(jià)格 解 應(yīng)用 應(yīng)用題 備一筆現(xiàn)金 已知這批債券共發(fā)放了500張 每張須付本息1000元 設(shè)持券人 一人一券 銀行為支付某日即將到期的債券須準(zhǔn) 到期日到銀行領(lǐng)取本息的概率為0 4 問銀 行于該日應(yīng)準(zhǔn)備多少現(xiàn)金才能以99 9 的 把握滿足客戶的兌換 解 設(shè) 1第i個(gè)持券人到期日來兌換 0第i個(gè)持券人到期日未兌換 則到期日來銀行兌換的總?cè)藬?shù)為 設(shè)銀行需準(zhǔn)備1000m元 兌換總額為 由中心極限定理 所以銀行需準(zhǔn)備23 4萬元 例15一本書有1000000個(gè)印刷符號(hào) 排版 時(shí)每個(gè)符號(hào)被排錯(cuò)的概率為千分之一 校 對時(shí) 每個(gè)排版錯(cuò)誤被改正的概率為0 99 求在校對后錯(cuò)誤不多于15個(gè)的概率 解 設(shè) 1第i個(gè)印刷符號(hào)被排錯(cuò) 0第i個(gè)印刷符號(hào)未排錯(cuò) 則總的被排錯(cuò)的印刷符號(hào)個(gè)數(shù) 且 例15 設(shè)校對后錯(cuò)誤個(gè)數(shù)為 則近似有 由中心極限定理 于是 則 解 令 1第i個(gè)符號(hào)被排錯(cuò)校對后仍錯(cuò) 0其他 由于排版與校對是兩個(gè)獨(dú)立的工作 因而 設(shè)校對后錯(cuò)誤個(gè)數(shù)為 則 由中心極限定理 例16一保險(xiǎn)公司有10000人投保 每人每年 付12元保險(xiǎn)費(fèi) 已知一年內(nèi)投保人死亡率 為0 006 若死亡公司給死者家屬1000元 求 1 保險(xiǎn)公司年利潤為0的概率 2 保險(xiǎn)公司年利潤大于60000元的概率 解 例16 設(shè)為投保的10000人中一年內(nèi)死亡的 人數(shù) 則 利用泊松定理 取 1 設(shè)保險(xiǎn)公司年利潤為 則 2 由中心極限定理 例17從正態(tài)總體N 2 中取容量為16的樣本 S2為樣本方差 則D S2 解 例17 例18設(shè)是來自正態(tài)總體X 的簡單隨機(jī)樣本 證明 證 從而 例18 正態(tài)分布與由正態(tài)分布導(dǎo)出的分布間的關(guān)系 推導(dǎo) 相仿推導(dǎo) 例如 證明 設(shè)X t n 則其中Z N 0 1 于是 由t分布與F分布分位點(diǎn)的定義 由t分布的對稱性 從而有 此即教材P 203習(xí)題六12題 2002年印 第七章 點(diǎn)估計(jì)的三種方法及評價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 2 參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 第八章 1 假設(shè)檢驗(yàn)的有關(guān)概念 2 參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 七八章 例19 例19設(shè)總體X的分布密度函數(shù)為 求的矩估計(jì)量 并計(jì)算 解 估計(jì)量是樣本的函數(shù) 令 例20 例20設(shè)總體X的密度函數(shù)為 解 的極大似然估計(jì)量 為X的一個(gè)樣本 求參數(shù) 任一樣本函數(shù) 似然方程組為 本題的估計(jì)并不能通過似然方程求得 解 由題設(shè) 若必須 即 越大 越大 故 的極大似然估計(jì)可通過似然方程求得 是取自對數(shù)正態(tài)分布 例21 設(shè) 求的極大似然估計(jì) 解 例21 的密度函數(shù) 的密度函數(shù) 由極大似然估計(jì)的不變性得 其中 一般正態(tài)參數(shù)的極大似然估計(jì)是 則對數(shù)正態(tài)參數(shù)的極大似然估計(jì)是 例22 例22設(shè)總體X服從 其密度函 數(shù)為 對于容量為n的樣本 求使得 的點(diǎn)的極大似然估計(jì) 解 由教材P 211例7知 設(shè)為總體X N 2 的一個(gè)樣本 求常數(shù)k 使 解 例23 例23 令 則 故 解 故 假設(shè)檢驗(yàn)步驟 三部曲 其中 根據(jù)實(shí)際問題所關(guān)心的內(nèi)容 建立H0與H1 在H0為真時(shí) 選擇合適的統(tǒng)計(jì)量V 由H1確 給定顯著性水平 其對應(yīng)的拒絕域 雙側(cè)檢驗(yàn) 左邊檢驗(yàn) 定拒絕域形式 根據(jù)樣本值計(jì)算 并作出相應(yīng)的判斷 右邊檢驗(yàn) 三部曲 例24設(shè)某次概率統(tǒng)計(jì)考試考生的成績 X N 2 從中隨機(jī)地抽取36位考生 的成績 算得平均成績?yōu)?6 5分 標(biāo)準(zhǔn)差 為15分 問在顯著性水平0 05下 是否可 以認(rèn)為這次考試的平均成績?yōu)?0分 并給出檢驗(yàn)過程 解 例24 拒絕域 落在拒絕域外 接受 即認(rèn)為這次考試的平均成績?yōu)?0分 例25用包裝機(jī)包裝洗衣粉 在正常情況下 問該天包裝機(jī)工作是否正常 例25 每袋重量為1000克 標(biāo)準(zhǔn)差不能超過15克 假設(shè)每袋凈重 某天為檢查機(jī)器 工作是否正常 隨機(jī)抽取10袋得其凈重的 均值 方差 解 H0 1000 H1 1000 取統(tǒng)計(jì)量 解 拒絕域 0 落在拒絕域外 接受 即認(rèn)為該天包裝機(jī)工作正常 本題只做了一半 還應(yīng)繼續(xù)做下去 2 設(shè) 取統(tǒng)計(jì)量 拒絕域 0 落在拒絕域內(nèi) 拒絕 綜合 1 2 雖然平均凈重合格 但方差 偏大 故包裝機(jī)工作不太正常